基于多元表征的數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)
——以函數(shù)的奇偶性教學(xué)設(shè)計(jì)為例

江蘇省江陰市山觀高級中學(xué) (214437) 孫 彬

數(shù)學(xué)概念課是數(shù)學(xué)課型中一種常見的課型，是體現(xiàn)教師教學(xué)基本功的良好素材，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的重要平臺.概念是思維的單元和細(xì)胞，由概念組成命題，命題形成判斷，數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括.也正是如此，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中一項(xiàng)十分重要的內(nèi)容.對于教師來說，提升概念教學(xué)水平，最切實(shí)的是選取學(xué)生熟悉的典型實(shí)例，提供豐富的學(xué)習(xí)素材，引導(dǎo)學(xué)生在活動體驗(yàn)中熟悉數(shù)學(xué)抽象的過程，而這正與多元表征的教學(xué)理念契合.多元表征概念的“心理表征”(mentalrepresentation)，也稱“內(nèi)在表征”(internalrepresentation)早已獲得了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)家的高度關(guān)注，這方面的研究工作經(jīng)歷了由“外”到“內(nèi)”、由“一”到“多”、由主要集中于“了解學(xué)生”到“努力促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展”的重要轉(zhuǎn)變.本文以蘇教版第二章函數(shù)的奇偶性這節(jié)課為例，從表征的符號差異、思維的發(fā)展水平、表征在學(xué)習(xí)中的交流認(rèn)知作用、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)表征的抽象水平出發(fā)，談?wù)劧嘣碚髟诮虒W(xué)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用.這里說明一下，根據(jù)函數(shù)概念形成從一般到具體、具體到抽象的發(fā)展過程，從數(shù)學(xué)概念教學(xué)的角度，本文將函數(shù)概念的多種表征形式分為一般表征，具體表征和抽象表征.一般表征主要是有豐富現(xiàn)實(shí)背景的情境表征，具體表征包括圖像表征、列表表征、解析表征，抽象表征包括函數(shù)概念的書面語言表征(定義)、符號表征.因此對多元表征的研究主要是基于名詞意義上的多元外在表征，即對數(shù)學(xué)概念的多種外在表征形式進(jìn)行運(yùn)用.

一、創(chuàng)設(shè)情境、激發(fā)興趣

(情境表征)情境：請同學(xué)們觀看葡萄酒杯和風(fēng)車折紙的縱截面圖片(圖1)，感受酒杯和折紙藝術(shù)的對稱美.

師：這種對稱美在我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，也有所體現(xiàn)，你能說說這兩張圖片分別對應(yīng)我們數(shù)學(xué)中學(xué)過的哪兩種對稱關(guān)系嗎？

生：葡萄酒杯是軸對稱，風(fēng)車是中心對稱.

師補(bǔ)充：不錯(cuò)，葡萄酒杯的縱截面是一個(gè)軸對稱圖形，風(fēng)車折紙的縱截面是一個(gè)中心對稱圖形.

圖1

師追問：那么我們學(xué)過的哪些函數(shù)圖像也具有類似的對稱性呢？請大家舉例.

生：老師，還有函數(shù)f(x)=|x|的圖像關(guān)于y軸對稱，函數(shù)函數(shù)f(x)=x的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱.

設(shè)計(jì)意圖：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中指出：“基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，要特別重視情境的創(chuàng)設(shè)和問題的提出.核心素養(yǎng)是在特定情境中表現(xiàn)出來的知識、能力和態(tài)度，只有通過合適的情境才有利于學(xué)生感悟和形成.”如此采用生活中的實(shí)例進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)不僅增加了教師與學(xué)生的距離感，還激發(fā)了學(xué)生對知識的探求欲.通過視覺化的沖擊和若干問題將函數(shù)奇偶性的情境表征、和圖形表征融入教學(xué)設(shè)計(jì)，啟發(fā)學(xué)生觀察和思考，為后續(xù)學(xué)生抽象出函數(shù)奇偶性的概念提供感性材料.

二、引導(dǎo)探究、建構(gòu)概念

師：同學(xué)們，你知道如何用數(shù)量關(guān)系來刻畫投影上面這兩個(gè)函數(shù)圖像的對稱關(guān)系嗎？

生沉默……

(列表表征)師：我們先來做一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，請大家觀察函數(shù)y=x2的圖像，并完成下面的函數(shù)值表.

x-3-2-10123y=x2

(解析表征)師：同學(xué)們能否從函數(shù)值對應(yīng)表中觀察自變量和函數(shù)值有什么特點(diǎn)？

生：f(-3)=9=f(3)，f(-2)=4=f(2)，

f(-1)=1=f(1).

(語言表征)師：同學(xué)們能嘗試用數(shù)學(xué)語言來描述上述表格中的這種對稱特征嗎？

生：在表中，我發(fā)現(xiàn)互為相反數(shù)的兩個(gè)實(shí)數(shù)的函數(shù)值相等.

師追問：對其它任意一組相反數(shù)，它們的函數(shù)值也具有這樣的關(guān)系嗎？

生：是的，對任意一組相反數(shù)，它們的函數(shù)值也相等.

師：同學(xué)們能否用數(shù)學(xué)符號語言來描述這種現(xiàn)象？

(符號表征)沉默一會之后，生：對每一個(gè)實(shí)數(shù)x，f(-x)=x2=f(x).

師微笑，并補(bǔ)充：很好，實(shí)際上，對于函數(shù)f(x)=x2定義域R內(nèi)任意一個(gè)x，f(-x)=x2=f(x).這時(shí)，我們就稱函數(shù)f(x)=x2是定義域R上的偶函數(shù).(教師板書本節(jié)課課題：函數(shù)的奇偶性)

設(shè)計(jì)意圖:在這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)中，預(yù)設(shè)了多個(gè)數(shù)學(xué)問題，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究，并結(jié)合多種表征方式不斷加深學(xué)生對函數(shù)奇偶性概念內(nèi)涵的理解.李冬梅，劉瑤等人在《基于多元表征理論的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)》一文中提到了具體表征與定義表征之間的關(guān)系(如圖2).通過這張圖表，我們可以看出多元表征理論更加強(qiáng)調(diào)概念表征不同方面的相互滲透與必要互補(bǔ)，這也幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)奇偶性的內(nèi)涵.正如課程標(biāo)準(zhǔn)中所說，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的最終目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

圖2

三、揭示本質(zhì)、深化概念

學(xué)生議論紛紛……

生：我覺得它不是偶函數(shù)，因?yàn)槎x域里面沒有-3.

師反問：為什么定義域里面沒有-3它就不是偶函數(shù)？

生：哦，我知道了，因?yàn)閯偛诺呐己瘮?shù)定義里面要滿足定義域中任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，都有f(-x)=f(x)，理應(yīng)有f(3)=f(-3)，但是定義域里面沒有-3，不符合偶函數(shù)定義，所以它不是偶函數(shù).

教師投以贊許的目光：很好，你發(fā)現(xiàn)了特殊的數(shù)不符合定義，也就是說在我們在研究數(shù)學(xué)問題的過程中，可以利用特殊法進(jìn)行否定.

(圖像表征)生舉手：老師，我畫了一張圖，很快就發(fā)現(xiàn)了它不是偶函數(shù).

實(shí)物投影展示草圖……

師驚喜：那你來說說你是怎么想的？

生：我發(fā)現(xiàn)偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以y軸左右兩邊的圖像應(yīng)該一樣長.

師疑問：一樣長？你能用數(shù)學(xué)語言來描述嗎？

生思考，下面的學(xué)生也展開了討論……，教師提示可以從剛才的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)列表得到信息.

生得到幫助后繼續(xù)回答：我發(fā)現(xiàn)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域要關(guān)于原點(diǎn)對稱.

教師給予贊許，并帶領(lǐng)全班同學(xué)熱烈鼓掌.

師：很好，剛剛兩位同學(xué)分別利用特殊值和函數(shù)圖像發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)=|x|，x∈[-2,3]不是偶函數(shù)，這充分說明我們在研究函數(shù)的奇偶性時(shí)首先應(yīng)該觀察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，另外，大家剛剛也發(fā)現(xiàn)了偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)圖像必須關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以我們把這節(jié)課的研究成果總結(jié)如下：

(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳.如果對于任意的x∈A，都有f(-x)=f(x)，那么稱函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù);如果對于任意的x∈A，都有f(-x)=-f(x)，那么稱函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù).

(2)性質(zhì)：偶函數(shù)圖像必須關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)圖像必須關(guān)于原點(diǎn)對稱.

圖3

設(shè)計(jì)意圖：多元表征理論指出：概念教學(xué)時(shí)，應(yīng)以“理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)”作為教學(xué)設(shè)計(jì)的基本點(diǎn)，把握數(shù)學(xué)表征能力的四個(gè)層次：復(fù)現(xiàn)式的表征能力、轉(zhuǎn)述式的表征能力、分析式的表征能力和概括式的表征能力，有計(jì)劃，有目的地進(jìn)行問題表征的訓(xùn)練活動，發(fā)展學(xué)生直覺思維能力和數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力，從而深化學(xué)生數(shù)學(xué)概念表征能力的培養(yǎng).美國學(xué)者萊許等就曾借助圖3說明數(shù)學(xué)概念的發(fā)展過程：“實(shí)物操作只是數(shù)學(xué)概念發(fā)展的一個(gè)方面，其他的表述方式——如圖像，書面語言、符號語言、現(xiàn)實(shí)情景等——同樣也發(fā)揮了十分重要的作用.”這就給我們教學(xué)者一個(gè)極大的啟示：教學(xué)中不應(yīng)唯一地強(qiáng)調(diào)這幾種表征中的某一方面，而應(yīng)重視這幾個(gè)方面之間的聯(lián)結(jié)，并應(yīng)幫助學(xué)生逐漸地學(xué)會能夠依據(jù)實(shí)際的問題情境在這些成分之間靈活地轉(zhuǎn)換.

四、學(xué)以致用、鞏固概念

例1 判斷下列函數(shù)是否為偶函數(shù)或奇函數(shù)：

圖4

例2 已知函數(shù)y=f(x)在y軸右邊的圖像如圖4所示.

(1)若y=f(x)是偶函數(shù)，試畫出函數(shù)y=f(x)在y軸左邊的圖像;

(2)若y=f(x)是奇函數(shù)，試畫出函數(shù)y=f(x)在y軸左邊的圖像.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)習(xí)金字塔理論也告訴我們：保持學(xué)習(xí)效果的最佳方式是：“做中學(xué)或馬上運(yùn)用”，可見教師在課堂上安排一定的習(xí)題訓(xùn)練是非常必要的，有利于教師評價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，形成教學(xué)反饋，從而幫助教師為后續(xù)教學(xué)安排提供參考.另外，解題也是鞏固知識、熟練技能、訓(xùn)練思維、發(fā)展技能、優(yōu)化心理和磨礪意志的需要，更是發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的需要.例1的第(2)問學(xué)生容易忽視定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的驗(yàn)證，教師應(yīng)該把握好這個(gè)教學(xué)契機(jī)，幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解函數(shù)奇偶性定義的內(nèi)涵.例2的兩問主要考察學(xué)生是否能準(zhǔn)確把握奇函數(shù)和偶函數(shù)圖像的性質(zhì)，教學(xué)時(shí)仍然可以引導(dǎo)學(xué)生抓住圖像的關(guān)鍵點(diǎn)解決問題.

五、總結(jié)反思、能力提升

師：通過今天的學(xué)習(xí)，你對函數(shù)的奇偶性有了什么認(rèn)識？我們是通過什么方法得到函數(shù)奇偶性概念的？本節(jié)課我們用到了哪些數(shù)學(xué)技能？如果現(xiàn)在給你一個(gè)函數(shù)，你可以從哪些角度進(jìn)行研究？(單調(diào)性、奇偶性)……引導(dǎo)學(xué)生完成下面的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖(圖5).

圖5

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課雖然只是一節(jié)概念課，但是仍然值得我們思考應(yīng)該如何指導(dǎo)學(xué)生在新情境中獲得研究問題的方法，讓學(xué)生明白雖然在今后的生活中不一定會使用數(shù)學(xué)課上所講到的數(shù)學(xué)知識，但是研究數(shù)學(xué)問題的方法以及最終解決問題的思維方式一定會影響到今后的學(xué)習(xí)和生活.于是設(shè)計(jì)課堂小結(jié)環(huán)節(jié)是幫助學(xué)生對自我認(rèn)知的評價(jià)過程，也是學(xué)生展示其學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)成果的舞臺.設(shè)計(jì)采用思維導(dǎo)圖的方式便于讓學(xué)生在課堂總結(jié)的過程中從多個(gè)角度進(jìn)行總結(jié)，也方便讓學(xué)生能夠進(jìn)一步理解函數(shù)奇偶性概念的內(nèi)涵和外延.

本節(jié)概念課的教學(xué)設(shè)計(jì)從實(shí)際生活引入數(shù)學(xué)情境，按照由一般到特殊的研究思路，教學(xué)時(shí)充分地運(yùn)用了圖像表征、列表表征、解析表征、語言表征(定義)和符號表征等多種手段引導(dǎo)學(xué)生自主探究和小組合作得到結(jié)論，達(dá)到了預(yù)設(shè)的教學(xué)效果.值得一提的是，雖然概念課教學(xué)非常適合使用多元表征理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，但是根據(jù)廣西師范大學(xué)唐劍嵐教授的研究發(fā)現(xiàn)：教學(xué)設(shè)計(jì)方式對概念運(yùn)用的影響沒有顯著差異，而對概念理解的影響存在非常顯著的差異.這或許也正是某些教師感覺花了心思精心設(shè)計(jì)但總是感覺即時(shí)的教學(xué)效果不明顯的主要原因，當(dāng)然也不排除有其它原因的存在.不過值得肯定的是，根據(jù)唐劍嵐教授的研究數(shù)據(jù)，從長遠(yuǎn)來看，只要我們教師能夠長期堅(jiān)持下去，不僅可以提高自己的課堂教學(xué)水平，還可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)，從而真正落實(shí)新課標(biāo)提倡的立德樹人的根本教育任務(wù).