例析兩最值函數(shù)的應(yīng)用

甘肅省隴西縣第一中學(xué) (748100) 王耀文

高二一次月考中，有一個填空題難住了絕大多數(shù)學(xué)生，命題者給出的參考答案也很復(fù)雜,我給學(xué)生認真分析此題后，認為此題應(yīng)該考查函數(shù)max{f(x),g(x)}，教材選修4-5中出現(xiàn)過此類函數(shù)，通過分析學(xué)生并不陌生，事實上2015年全國Ⅰ卷理科、浙江卷理科也出現(xiàn)過此類問題，特別是由于浙江、上海率先進行新一輪高考改革，他們每年的高考試題備受廣大師生的關(guān)注.因此筆者想通過一些考題簡單分析max{f(x),g(x)}和min{f(x),g(x)}，以饗讀者，不足之處，敬請指正.

1.考題呈現(xiàn)

2.鏈接高考

例1 (2015年浙江理科高考第18題)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),記M(a,b)是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值.

(1)證明：當(dāng)|a|≥2時，M(a,b)≥2;

(2)當(dāng)a,b滿足M(a,b)≤2時，求|a|+|b|的最大值.

簡析：(1)當(dāng)|a|≥2時，f(x)在[-1,1]上單調(diào)，∴M(a,b)=max{f(-1),f(1)}.顯然：M(a,b)≥|f(-1)|且M(a,b)≥|f(1)|.即M(a,b)≥|1-a+b|且M(a,b)≥|1+a+b|.所以

2M(a,b)≥|1-a+b|+|1+a+b|≥|(1-a+b)-(1+a+b)|=2|a|≥4,故M(a,b)≥2.

(2)略.

(1)當(dāng)a為何值時，x軸為曲線y=f(x)的切線；

(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)，討論h(x)零點的個數(shù).

簡析：(1)略；

3.鏈接教材

例4 已知a>0,b>0,且h=

4.鏈接競賽

例5 對于每一個實數(shù)x，設(shè)f(x)是y=4x+1,y=x+2,y=-2x+4三個函數(shù)中的最小值，則f(x)的最大值為.

例6 (2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南省預(yù)賽第5題)已知a,b,c均為正數(shù)，則

5.歸納總結(jié)

3.max{f(x),g(x)}≥f(x),且max{f(x),g(x)}≥g(x).

4.min{f(x),g(x)}≤f(x),且min{f(x),g(x)}≤g(x).

教師是落實核心素養(yǎng)教育體系的執(zhí)行者，課堂教學(xué)是培育學(xué)科核心素養(yǎng)的主陣地，教材知識是提升核心素養(yǎng)的重要源泉.很多高考試題包括競賽題都源于教材，因此我們教師要深入研究教材，充分發(fā)揮教材的作用.