2019年高考數(shù)學(xué)北京卷理科第18題的多解及推廣

廣東省云浮市鄧發(fā)紀(jì)念中學(xué) (527300) 林朝冰

原題再現(xiàn)(2019年高考北京卷理科第18題)已知拋物線C：x2=-2py經(jīng)過點(diǎn)(2，-1)．

(Ⅰ)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；

(Ⅱ)設(shè)o為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M、N，直線y=-1分別交直線OM、ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B．求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．

1.一題多解

(Ⅰ)略，下面主要闡述(Ⅱ)的解法.

1.1 標(biāo)準(zhǔn)方程法

當(dāng)x=0時(shí)，4k2+(y+1)2=4(k2+1),所以y=1或y=-3.所以以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)(0,1)和(0,-3).

1.2 向量法，通過證明直徑上的圓周角是直角來實(shí)現(xiàn)

1.3 利用圓相交弦定理的推論DF2=AF·BF

-3.故以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)(0,1)和(0,-3).

2.一般化推廣，將原題中的拋物線方程一般化，并將原題中直線l與直線y=-1的交點(diǎn)任意化

顯然，當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)位于x軸上時(shí)，也有類似性質(zhì).

3.類比推廣，將結(jié)論推廣到橢圓和雙曲線

顯然，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位于y軸上時(shí)，也有類似性質(zhì).

推廣3的證明方法與推廣2類似，在此不再贅述.顯然，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)位于y軸上時(shí)，也有類似性質(zhì).

4.改變條件，將推廣引向深入

推廣1、2、3都對m的取值進(jìn)行了約束.以推廣2為例，要求-aa結(jié)論還成立嗎？

從圖形上看，|m|>a且斜率不等于0的直線l與橢圓有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)M、N同時(shí)位于x軸的上方或下方，直線A2M、A2N與直線x=m的交點(diǎn)A、B同時(shí)位于x軸的上方或下方，所以DA與DB不可能垂直.

若直線l的斜率等于0呢？從圖形上看，當(dāng)直直線l的斜率等于0時(shí)，點(diǎn)N與右頂點(diǎn)A2重合，進(jìn)一步大膽設(shè)想，將推廣2中的動(dòng)點(diǎn)M、N換成定點(diǎn)，即換成橢圓的左、右頂點(diǎn)A1、A2，定點(diǎn)A2換成橢圓上的動(dòng)點(diǎn)M，這時(shí)，直線MA1、MA2與直線x=m的交點(diǎn)A、B就分別位于x軸的上下兩側(cè)了！會(huì)不會(huì)有類似結(jié)論呢？經(jīng)證明，得出以下結(jié)論.

顯然，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位于y軸上時(shí)仍有類似性質(zhì).

推廣5的證明方法與推廣4類似，在此不再贅述.顯然，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)位于y軸上時(shí)仍有類似性質(zhì).

5.再一次類比推廣

將推廣4、5中的橢圓、雙曲線換成拋物線時(shí)，由于拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，可以認(rèn)為另一個(gè)頂點(diǎn)在無限遠(yuǎn)處，此時(shí)它與拋物線上的動(dòng)點(diǎn)M的連線與對稱軸平行，因而得到以下推廣.

顯然，當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)位于x軸上時(shí)，也有類似性質(zhì).

6.結(jié)語

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出,“高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).”學(xué)生的核心素養(yǎng)的形成并不能一蹴而就，它是在日常的課堂教學(xué)中逐步形成的.解題教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)必不可少的內(nèi)容，事實(shí)上，題目也是一種數(shù)學(xué)情境，因而，教師要精心設(shè)計(jì)，以達(dá)到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，啟發(fā)學(xué)生思考的目的.一題多解，多角度推廣就是一種很好的解題教學(xué)方法，它既能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生思考，又能避免學(xué)生深陷“題?！?