冪幺和冪等矩陣的一個性質(zhì)的推廣1

潘慶年，姚文杰

（惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，廣東 惠州 516007）

其中，p,q是任意自然數(shù).2010年，文獻(xiàn)［3］中給出了冪幺矩陣的一般充要條件

其中，ε0,ε1,…,εm-1是m個m次單位根.2011年，文獻(xiàn)［5］中給出了冪等矩陣的一般充要條件

其中，ε1,…,εm-1是m-1個m-1次單位根.

這2個一般條件是否能像文獻(xiàn)［2］一樣進(jìn)行推廣呢?文章對該問題進(jìn)行了探討，并利用相似對角化和線性方程組的解等一些性質(zhì)，將這2個一般條件進(jìn)行了推廣，并給出了證明.

1 預(yù)備知識

1.1 冪幺矩陣的性質(zhì)

性質(zhì)1［1］若A為n階矩陣，且滿足

性質(zhì)2［2］若A為n階矩陣，滿足A2= E，則A可以相似對角化.

性質(zhì)3［2］若A為n階矩陣，且滿足A2= E，則，其中，p、q是任意自然數(shù).

性質(zhì)4［3］若A為復(fù)數(shù)域上一個n階的方陣且A3= E，則

其中，ε0、ε1、ε2是3次單位根.

性質(zhì)5［3］若A為n階方陣且滿足A3= E，則方陣A可以相似對角化.

性質(zhì)6［3］若A為復(fù)數(shù)域上一個n階的方陣且Am= E，則

其中，ε0,ε1,…,εm-1是m個m次單位根.

性質(zhì)7［3］若A為n階方陣且滿足Am= E，則A可以相似對角化.

1.2 冪等矩陣的性質(zhì)

性質(zhì)8［1］若A為n階矩陣，且滿足A2= A，則

性質(zhì)8［2］若A為n階矩陣，且滿足A2= A，則，其中，p,q是任意自然數(shù).

性質(zhì)9［4］若A為復(fù)數(shù)域上一個n階的方陣且A3= A，則

性質(zhì)10［5］若A為復(fù)數(shù)域上一個n階的方陣且Am= A，則

其中，ε1,…,εm-1是m-1個m-1次單位根.

性質(zhì)11［5］若A為n階方陣且滿足Am= A(m ≥2)，則A可以相似對角化.

2 主要結(jié)論

定理1 若A為復(fù)數(shù)域上n階的方陣且A3= E，則其中，ε0、ε1、ε2是3次單位根，x,y,z是正整數(shù).

證明：由性質(zhì)5，我們知道A可以相似對角化，則存在一個矩陣P，使得

且對角陣為n階矩陣.

不妨設(shè)A的特征值為a個ε0、b個ε1、c個ε2，則有a + b + c = n.

由

得

得

同理得

綜上可得

定理2 （冪幺矩陣秩和定理）若A為復(fù)數(shù)域上n階的方陣且Am= E，則

其中，ε0,ε1,…,εm-1是m個m次單位根，k0,k1,…,km-1是正整數(shù).

證明：由性質(zhì)7，我們知道A可以相似對角化，則存在一個矩陣P，使得

且對角陣為n階矩陣.

不妨設(shè)A的特征值為j0個ε0，j1個ε1，……，jm-1個εm-1，則有j0+ j1+ … + jm-1= n.

由

得

進(jìn)一步可知

得

同理得

綜上可得

類似可得：

定理3 若A為復(fù)數(shù)域上n階的方陣且A3= A，則有，其中x,y,z是正整數(shù).

定理4 （冪等矩陣秩和定理）若A為復(fù)數(shù)域上一個n階的方陣且Am= A，則有

其中，ε1,…,εm-1是m-1個m-1次單位根，k0,k1,…,km-1是正整數(shù).

3 結(jié)語

本文推廣了2類特殊矩陣冪幺矩陣與冪等矩陣秩的等式，并得到了這2類矩陣秩的等式的2個重要結(jié)論.文章對矩陣秩的等式進(jìn)行了理論上的創(chuàng)新，但其應(yīng)用價值還有待進(jìn)一步深入的研究.同時，目前各類出版物及論文上都幾乎找不到相應(yīng)的例題，有興趣的讀者可以進(jìn)行這方面的工作.最后，讀者還可以探索是否可以證明冪零矩陣有類似的結(jié)論，可否用文章方法給予證明是一個值得研究的問題.