數(shù)學(xué)建模：讓學(xué)習(xí)向深處發(fā)生
——以人教版五年級上冊“植樹問題”為例探究數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

■福建省龍巖市長汀縣教師進(jìn)修學(xué)校 鐘斌鼎

一、創(chuàng)設(shè)情境，感知模型

小學(xué)生的思維特點(diǎn)主要以感性思維為主，其能夠理解的數(shù)學(xué)知識是建立在現(xiàn)實的基礎(chǔ)之上的，是以過往知識作為基礎(chǔ)的一種認(rèn)知?dú)v程。所以，在教學(xué)片段中，將教材內(nèi)容以學(xué)生熟悉的“手指指間間隔現(xiàn)象”呈現(xiàn)，再通過列舉生活中存在的間隔現(xiàn)象，讓學(xué)生初步感受到親切、真實、有趣的數(shù)學(xué)模型，感知數(shù)學(xué)模型的存在。

二、提煉信息，抽象模型

出示練習(xí)1：一條長為20米的路，5米一段，可以分為幾段？1.學(xué)生獨(dú)立解題，教師了解學(xué)生的解題情況。2.學(xué)生匯報解題思路。讓學(xué)生在問題解答中抽象出“包含除法”模型，即：總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù)。因為“植樹問題”模型就是“包含除法”模型的拓展，“植樹問題”中的“樹”是植在“段”對應(yīng)的“點(diǎn)”上。明白了這一點(diǎn)，就為學(xué)生構(gòu)建點(diǎn)段關(guān)系的“植樹問題”模型奠定了基礎(chǔ)。

出示練習(xí)2：一條公路長為20米，在其一側(cè)植樹，樹與樹的間隔為5米，公路的兩邊均植樹，請問一共需要植多少棵樹？1.學(xué)生讀題審題，提取有關(guān)“植樹”模型的數(shù)學(xué)信息。2.學(xué)生反饋。學(xué)生1：公路長是多少米？20米（總量）。學(xué)生2：每隔多少米植一棵？5（每份數(shù)）。學(xué)生3：有幾段？4（份數(shù)）。學(xué)生4：植樹的要求？（兩端都植）。學(xué)生5：一共要植多少棵？（算一共有幾個對應(yīng)點(diǎn)？）。數(shù)學(xué)問題與人們的生活密不可分，又充滿著無窮趣味。以上的習(xí)題設(shè)計，最重要的一個目的就是使學(xué)生認(rèn)識到現(xiàn)實中的植樹問題，“樹”與“間隔”可以抽象為數(shù)學(xué)模型中的“點(diǎn)”和“段”。

三、嘗試探索，建立模型

對“練習(xí)2”作進(jìn)一步分析、歸納。教師：請同學(xué)們認(rèn)真思考公路的總長、間隔距離以及段數(shù)三者之間的關(guān)系，并畫出相應(yīng)的植樹方案示意圖。學(xué)生：總長÷間隔距離=間隔數(shù)（段數(shù)）。教師：說說你是怎么想的？那要求出植樹的棵數(shù)該怎么算？學(xué)生：先求出間隔數(shù)，即：20÷5=4（個）。這道練習(xí)題，每一個間隔對應(yīng)了一棵樹，則需要4棵樹。4棵樹植完之后，發(fā)現(xiàn)還有一棵樹沒有間隔與之對應(yīng)，則棵數(shù)比間隔多1。這樣，在進(jìn)行棵數(shù)計算時，需要用相應(yīng)的間隔數(shù)加1。教師：那怎么列式計算呢？學(xué)生：20÷5=4（個）；4+1=5（棵）。小學(xué)生無論是知識經(jīng)驗還是思維水平，都相當(dāng)有限，所以教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行建模的過程中，要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷并感知觀察、分析、實踐、推理、解決問題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的全過程。在這個教學(xué)環(huán)節(jié)，教師讓學(xué)生在畫示意圖中了解植樹的過程，建立“段”“點(diǎn)”對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生體會到了從生活原型轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)模型的過程與方法，也在此過程中掌握了問題解決的方式方法，為后續(xù)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)打下了基礎(chǔ)。

四、歸納分析，驗證模型

出示練習(xí)3：公路全長為20米，在其一側(cè)進(jìn)行植樹，每隔5米1棵樹，則可以怎樣植樹，植多少棵樹？教師：請同學(xué)們根據(jù)以上問題，畫出相應(yīng)的示意圖，并列出算式進(jìn)行計算，可以植幾棵樹。學(xué)生1：我植的是5棵。學(xué)生2：我植的是4棵。學(xué)生3：我植的是3棵。教師：為什么同一個題目，同學(xué)們會得出不同的結(jié)果呢？學(xué)生通過交流和討論得出：在植樹的過程中，如果植樹的要求不同，則即使其他條件一樣，所植棵樹也是不同的。植5棵樹，是因為在公路的兩端都有植樹；植4棵樹，是因為只在公路的一端植樹；植3棵樹，則是因為在公路的兩端均未植樹。教師：請同學(xué)們分別列出三種植樹方法的算式。學(xué)生：兩端都植，20÷5=4，4+1=5。一端植，20÷5=4。兩端都不植，20÷5=4，4-1=3。教師：同學(xué)們請仔細(xì)思考以上三種情況，看看其中蘊(yùn)含了什么規(guī)律？學(xué)生：兩端都植，棵數(shù)=間隔數(shù)+1。一端植，棵數(shù)=間隔數(shù)。兩端均不植，棵數(shù)=間隔數(shù)-1。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生認(rèn)為，對于教材中所出現(xiàn)的數(shù)學(xué)公式、定理等，學(xué)生僅記住結(jié)論是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，更重要的是要明確其從何而來，知其然并知其所以然。所以，教師讓學(xué)生在模型構(gòu)建的過程中發(fā)現(xiàn)植樹的三種情況，并且掌握這三種植樹方法的計算道理，從中抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。出示例題：一條山間小路長為100米，現(xiàn)決定在靠近山的一側(cè)植樹，每棵樹的間隔距離為5米，路的兩端都需要植，需要多少棵樹？教師：根據(jù)剛才已經(jīng)掌握的三種植樹的極端方法，我們能快速地解決這道題嗎？學(xué)生：先求出間隔數(shù)，100÷5=20，有20個間隔；兩端都植，棵數(shù)=間隔數(shù)+1。列式計算：100÷5=20（個），20+1=21（棵）。

課堂教學(xué)中，為保證學(xué)生良好的學(xué)習(xí)效果，教師要注重課堂教學(xué)的“留白”，給予學(xué)生充足的思考時間，并引導(dǎo)他們利用已經(jīng)掌握的知識去解決新的問題，尋找科學(xué)的解題辦法，使學(xué)生明白“植樹問題”就是一個數(shù)學(xué)模型，其本質(zhì)就是一一對應(yīng)。

五、拓展創(chuàng)新，應(yīng)用模型

出示練習(xí)4：一圓形花壇周長為30米，現(xiàn)要在花壇周圍種一圈月季，為控制好月季的密度，每5米種一棵，一共需要多少棵月季？教師：想一想，這又是屬于哪一種植樹方式？學(xué)生：假如把環(huán)形植樹的線路拉直，這一種植樹方式就是屬于一端植的現(xiàn)象，所以，植樹的棵數(shù)=間隔數(shù)，即：30÷5=6（棵）。出示練習(xí)5：為迎接國慶節(jié)的到來，古城墻的正面共插了50面小彩旗，彩旗之間的間隔均為4米，則古城墻長度為多少？教師：以小組為單位，討論以上問題的解決思路、方法與步驟。學(xué)生1：即已知棵樹與間距，求總長。學(xué)生2：兩端都植的計算方法是“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”，由“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”推算出“間隔數(shù)=棵數(shù)-1”，所以，古城墻插彩旗間的間隔數(shù)是“50-1=49個”。學(xué)生3：總長=間隔數(shù)×間隔距離。列式計算：（50-1）×4=196（米）。

數(shù)學(xué)知識來源于生活，最終也將運(yùn)用于生活，數(shù)學(xué)建模思想的宗旨也是要最終回歸到生活之中，引導(dǎo)學(xué)生解決生活中遇到的實際問題。從而實現(xiàn)從解決一個問題到解決一類問題（一般問題）的轉(zhuǎn)變，認(rèn)識到在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的重要性。

六、結(jié)語

綜上，小學(xué)生對于數(shù)學(xué)建模仍處于探索階段，教師要善于挖掘?qū)W生的建模潛能，關(guān)注學(xué)生的建模過程，并在關(guān)鍵問題上及時給予學(xué)生點(diǎn)撥與幫助，創(chuàng)設(shè)真實有效的建模情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷并感受建模的過程，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向深處發(fā)展。