知識(shí)建構(gòu) 方法遷移 思想整合*

高瓊

摘? ? 要：伴隨信息時(shí)代的步伐，深度學(xué)習(xí)的話題應(yīng)運(yùn)而生.同時(shí)，從單一關(guān)注學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，逐步走向關(guān)注教師的深度學(xué)習(xí)以及深度教學(xué).深度教學(xué)需要從知識(shí)建構(gòu)、方法遷移、思想整合三個(gè)維度來(lái)把握核心目標(biāo)的高度、注重教學(xué)內(nèi)容的廣度、提升數(shù)學(xué)思維的階層，從而更好地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞：深度教學(xué);知識(shí);方法;思想;二次函數(shù)

伴隨信息時(shí)代的步伐，深度學(xué)習(xí)的話題應(yīng)運(yùn)而生.同時(shí)，從單一關(guān)注學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，逐步走向關(guān)注教師的深度學(xué)習(xí)以及深度教學(xué).只有將學(xué)生引向“深度學(xué)習(xí)”的“深度教學(xué)”，才是基于核心素養(yǎng)的教學(xué)觀點(diǎn)[1].數(shù)學(xué)的深度教學(xué)圍繞著知識(shí)建構(gòu)、方法遷移和思想整合所形成的最新研究框架，受到廣大數(shù)學(xué)教育者和研究者的重視，由此引起對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)高階思維廣泛關(guān)聯(lián).本文以《二次函數(shù)圖象的應(yīng)用》為例，從知識(shí)建構(gòu)、方法遷移、思想整合等三個(gè)維度，展開(kāi)對(duì)數(shù)學(xué)深度教學(xué)的研討.

一、把握核心目標(biāo)的高度? ?完善數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)

（一）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——關(guān)聯(lián)與化歸

把握數(shù)學(xué)教學(xué)核心目標(biāo)的高度，尤其需要把握數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).而在初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面，其實(shí)歸根結(jié)底就是關(guān)聯(lián)與化歸[2]. 中學(xué)生數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn)不僅取決于學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，也取決于對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解、掌握和方法的熟練運(yùn)用，更取決于學(xué)生在思維上是否具有化歸遷移能力.因此在教學(xué)中需要強(qiáng)化學(xué)生的關(guān)聯(lián)意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行化歸整合，從而提升學(xué)生的思維水平.

教育心理學(xué)家約翰·比格斯在其SOLO分類理論中指出，學(xué)生對(duì)某個(gè)問(wèn)題的學(xué)習(xí)結(jié)果由低到高可以劃分為五個(gè)層次：前結(jié)構(gòu)、單元結(jié)構(gòu)、多元結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)、抽象拓展結(jié)構(gòu).這五個(gè)層次可以準(zhǔn)確把握學(xué)生由低到高的知識(shí)水平和思維層次，而數(shù)學(xué)深度教學(xué)則需要引導(dǎo)學(xué)生達(dá)成數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)和抽象拓展建構(gòu).其抽象拓展建構(gòu)，主要也就是數(shù)學(xué)化歸的結(jié)果.例如，在《二次函數(shù)圖象的應(yīng)用》的教學(xué)中，將一元二次方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象與一條平行于x軸的直線的交點(diǎn)問(wèn)題，其中也包含方程與函數(shù)及其圖象的關(guān)聯(lián).具體如教學(xué)片段1所示.

【教學(xué)片段1】

師：給定x的值可以求y的值，那反過(guò)來(lái)給定y的值也能求x的值.比如y=5，就得到了這么一個(gè)方程：x2-2x-5=5.那么，我們接下來(lái)可以如何快速判斷這個(gè)方程有幾個(gè)解呢？

生1：可以把這個(gè)方程解的個(gè)數(shù)看成是y=x2-2x-5與直線y=5兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù).

師：方程的解體現(xiàn)著函數(shù)圖象上的點(diǎn)，方程的解是函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).那y=4，y=3呢？

生2：兩個(gè)相等的解，和無(wú)解.

師：那改成y=k有解，問(wèn)k的取值范圍呢？

生3：可以把這個(gè)方程解的個(gè)數(shù)看成是y=ax2+bx+c與直線y=k兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn).

師板書(shū)：有解→有交點(diǎn)，并播放動(dòng)畫(huà)：一條紅線從上運(yùn)動(dòng)到下，從而引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考什么時(shí)候有交點(diǎn)，即可求出k的范圍.

師：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根對(duì)應(yīng)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn);方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根對(duì)應(yīng)函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn);方程有實(shí)數(shù)根對(duì)應(yīng)函數(shù)有交點(diǎn);方程無(wú)實(shí)數(shù)根對(duì)應(yīng)函數(shù)沒(méi)有交點(diǎn).

（二）認(rèn)知結(jié)構(gòu)決定認(rèn)知水平

教師計(jì)劃引導(dǎo)學(xué)生達(dá)成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，決定了學(xué)生最后所能達(dá)到的認(rèn)知水平.結(jié)合SOLO分類理論而言，教師計(jì)劃引導(dǎo)學(xué)生達(dá)成如果僅僅只是多元結(jié)構(gòu)，而非關(guān)聯(lián)和抽象拓展結(jié)構(gòu)，那么學(xué)生群體所達(dá)到的總體認(rèn)知水平則是比較淺層次的.例如，在《二次函數(shù)圖象的應(yīng)用》教學(xué)中，將函數(shù)圖象與方程、不等式等做了緊密關(guān)聯(lián).具體而言，就像教學(xué)片段1中所呈現(xiàn)的，將方程根的問(wèn)題關(guān)聯(lián)到函數(shù)圖象上的點(diǎn)問(wèn)題，將方程有無(wú)解的問(wèn)題關(guān)聯(lián)到不等式問(wèn)題上.教師這樣引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)化遷移，發(fā)展學(xué)生關(guān)聯(lián)化歸的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生的認(rèn)知水平就能達(dá)到較高的水平.

二、注重教學(xué)內(nèi)容的廣度? ?形成數(shù)學(xué)方法的關(guān)聯(lián)

（一）方法是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容三大組成之一

數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容包含數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)能力，注重教學(xué)內(nèi)容的廣度也需要注重?cái)?shù)學(xué)方法的廣度.數(shù)學(xué)方法是以教學(xué)為工具進(jìn)行科學(xué)研究的方法，即用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)事物的狀態(tài)、關(guān)系和過(guò)程，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)、運(yùn)算和分析，以形成解釋、判斷和預(yù)言的方法.數(shù)學(xué)方法有一般方法和特殊方法.一般方法有圖象法、比較法、歸納法等;而特殊方法有待定系數(shù)法、配方法、消元法等.在《二次函數(shù)圖象的應(yīng)用》教學(xué)片段1中，圖象法這一數(shù)學(xué)一般方法已經(jīng)有了較好的體現(xiàn).而待定系數(shù)法這一數(shù)學(xué)特殊方法則體現(xiàn)在如下教學(xué)片段2中.

【教學(xué)片段2】

教師呈現(xiàn)如下二次函數(shù)圖象問(wèn)題：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（2，3），C（0，3）三點(diǎn).求解析式.

師：這個(gè)問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，該如何求解呢？

生4：用待定系數(shù)法求解.

師：對(duì).那還有其他什么方法呢？

生5：用頂點(diǎn)式求解，根據(jù)B（2，3），C（0，3）兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，確定了對(duì)稱軸是直線x=1.將原一般式設(shè)成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-1）2+k（a≠0），再把A（-1，0），B（2，3）代入，列出二元一次方程組求出a，k，從而求出解析式.

師：很好.那還有其他什么方法嗎？

生6：結(jié)合對(duì)稱軸直線x=1，求出與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)（3，0），于是將原一般式設(shè)成交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-3）（a≠0），再代入C（0，3），直接列出的一元一次方程求出a，從而求出解析式.

（二）數(shù)學(xué)一般方法與特殊方法的相互關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)一般方法與特殊方法的相互關(guān)聯(lián)，在某些數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中能夠起到事半功倍的效果，同時(shí)也能優(yōu)化學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)方法的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并提高學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)方法的認(rèn)知水平.例如，在《二次函數(shù)圖象的應(yīng)用》教學(xué)片段2中，三個(gè)學(xué)生其實(shí)都是用待定系數(shù)法求解目標(biāo)解析式，而且第二和第三個(gè)學(xué)生，還關(guān)聯(lián)到二次函數(shù)頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式這兩個(gè)圖象特征解析式，做了待定系數(shù)法這一數(shù)學(xué)特殊方法與圖象法這一數(shù)學(xué)一般方法的關(guān)聯(lián).對(duì)解決這個(gè)特殊的二次函數(shù)解析式問(wèn)題來(lái)說(shuō)，一定程度上得到事半功倍的效果，也加深了對(duì)于二次函數(shù)圖象特征解析式的理解和應(yīng)用.

三、提升數(shù)學(xué)思維的階層? ?達(dá)成數(shù)學(xué)思想整合

數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想實(shí)施的手段，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)思維的導(dǎo)向，這三者之間有區(qū)別也有聯(lián)系.數(shù)學(xué)教育的核心是數(shù)學(xué)思維，途徑是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)及數(shù)學(xué)思想整合，主體是學(xué)生[3].一堂有深度的數(shù)學(xué)課，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)逐漸從模糊走向清晰，從片面走向全面，從膚淺走向深刻，最終實(shí)現(xiàn)從思維水平、思維形式、思維品質(zhì)等不同維度來(lái)發(fā)展學(xué)生的高階思維[4].

（一）數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)思想的具體化

轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，是學(xué)生轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思維養(yǎng)成的導(dǎo)向，但其實(shí)施手段卻有很多種表現(xiàn)方式.例如，在《二次函數(shù)圖象的應(yīng)用》教學(xué)片段3中，追問(wèn)如果點(diǎn)P的坐標(biāo)改為（0.5，y1），此時(shí)兩點(diǎn)在對(duì)稱軸的異側(cè)，y1與y2的大小又怎樣呢？絕大多數(shù)學(xué)生幾乎異口同聲地說(shuō)做對(duì)稱點(diǎn)，這樣就轉(zhuǎn)化為同側(cè)點(diǎn)的大小比較問(wèn)題.其中，將異側(cè)兩點(diǎn)比較問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同側(cè)兩點(diǎn)比較問(wèn)題這一數(shù)學(xué)思想，是培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思維的導(dǎo)向.而學(xué)生能夠?qū)悅?cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為同側(cè)兩點(diǎn)的數(shù)學(xué)思維，則是轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的具體化.

【教學(xué)片段3】

教師呈現(xiàn)如下二次函數(shù)圖象問(wèn)題：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（2，3），C（0，3）三點(diǎn).若P（0.5，y1）和Q（2，y2）在拋物線上，比較y1和y2.

生：對(duì)稱點(diǎn).

師：比較到對(duì)稱軸的距離用到二次函數(shù)的什么性質(zhì)？

生：二次函數(shù)的軸對(duì)稱性.

師：那把P點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱過(guò)來(lái)是哪個(gè)點(diǎn)？

生：1.5，y1.

動(dòng)畫(huà)：左邊的點(diǎn)移到右邊.

師：那又回到我們剛才的那題，利用對(duì)稱性，將異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，就可以比較大小.

（二）數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)高階思維發(fā)展

數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)高階思維發(fā)展，主要是以轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想為基準(zhǔn)，不斷突破學(xué)生思維的固態(tài)，從而引領(lǐng)高階思維的發(fā)展.例如，在《二次函數(shù)圖象的應(yīng)用》教學(xué)片段3之后，教師還拋出這樣進(jìn)一步的問(wèn)題：若點(diǎn)P（m，y1），Q（2，y2）在拋物線上且有y1>y2，求m的取值范圍.這進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考.有學(xué)生提出，由于點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)確定，所以Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)是固定的，表面上看有兩個(gè)點(diǎn)，其實(shí)本質(zhì)就是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，y1>y2的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為前面的y>0的問(wèn)題.

（三）所有數(shù)學(xué)思想歸根結(jié)底就是化歸思想

二次函數(shù)圖象的應(yīng)用離不開(kāi)數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想等，但這些思想其本質(zhì)都是化歸思想，在深度教學(xué)中，只要找到知識(shí)點(diǎn)和方法的關(guān)聯(lián)后，隨即化歸，整合就成為數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的核心內(nèi)容.

綜上，深度教學(xué)需要從知識(shí)建構(gòu)、方法遷移、思想整合三個(gè)維度來(lái)把握核心目標(biāo)的高度、注重教學(xué)內(nèi)容的廣度、提升數(shù)學(xué)思維的階層，從而更好地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

[1]朱開(kāi)群.基于深度學(xué)習(xí)的“深度教學(xué)”[J].上海教育科研，2017（5）：50-53，58.

[2]朱培培.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)引入部分的關(guān)聯(lián)與化歸——以圓的概念引入為例[J].教學(xué)月刊·中學(xué)版（教學(xué)參考），2018（4）：20-24.

[3]陸吉健，朱哲.“數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)教育”研究綜述[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2015（3）：23-26.

[4]任靜爾.數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生高階思維能力的培養(yǎng)——以《平行四邊形及其性質(zhì)1》的教學(xué)為例[J].教學(xué)月刊·中學(xué)版（教學(xué)參考），2018（11）：43-47.