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    數(shù)感分析:數(shù)學(xué)解題思路的分析方法*

    2020-01-07 14:01:29蔣雙趙思林
    關(guān)鍵詞:高考試題解題思路數(shù)感

    蔣雙 趙思林

    摘? ? 要:數(shù)感是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的核心成分.數(shù)感分析有利于發(fā)現(xiàn)解題的思路或結(jié)論.數(shù)感的產(chǎn)生依賴(lài)于豐富的經(jīng)驗(yàn)、敏銳的眼光、靈活的思維.因此,數(shù)學(xué)解題是培養(yǎng)數(shù)感的重要資源.

    關(guān)鍵詞:數(shù)感;數(shù)感分析;高考試題;解題思路

    數(shù)感是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo),是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的集中體現(xiàn).數(shù)感分析在解題思路發(fā)現(xiàn)過(guò)程中占有重要地位.數(shù)感是以“數(shù)概念”在人腦中的擴(kuò)展而產(chǎn)生的一種對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的敏感,是一種對(duì)數(shù)字(量)的直覺(jué),是一種敏捷的感知[1].詹國(guó)棵[2]認(rèn)為:“狹義的‘?dāng)?shù)感是指‘?dāng)?shù)字感,它的含義是指人腦對(duì)于數(shù)字或數(shù)字運(yùn)算的直覺(jué),即對(duì)于‘?dāng)?shù)字或數(shù)字運(yùn)算的洞察與領(lǐng)悟;廣義的‘?dāng)?shù)感是指對(duì)‘?dāng)?shù)學(xué)的感覺(jué),即人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的直覺(jué),亦即對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的洞察與領(lǐng)悟.”在這里,狹義的“數(shù)感”忽視了數(shù)學(xué)中除“數(shù)”之外的另一半——“形”.因?yàn)閿?shù)學(xué)的研究對(duì)象是“數(shù)”和“形”,所以只研究“數(shù)”的數(shù)學(xué)是不全面的.在初中,學(xué)生就知道“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”,即是說(shuō),初中生都知道,數(shù)學(xué)包括“數(shù)”和“形”.所以廣義的“數(shù)感”更全面、更合理、更有用.數(shù)感可謂五味俱全,它含有“感覺(jué)”“直覺(jué)”“直感”“洞察”“經(jīng)驗(yàn)”“靈感”等多種成分.研究者認(rèn)為,數(shù)感是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象(問(wèn)題)的敏感(敏捷感覺(jué)),這里的數(shù)學(xué)對(duì)象可以是代數(shù)式(包括數(shù)字)、數(shù)學(xué)符號(hào)、圖形、數(shù)學(xué)關(guān)系(定理、公式、性質(zhì)等)、數(shù)學(xué)模型、問(wèn)題情境、“數(shù)”與“形”及其混合體等.數(shù)感分析是指從數(shù)感的角度探索數(shù)學(xué)問(wèn)題求解題思路的一種分析方法.數(shù)感分析高度依賴(lài)于原型、直觀、直覺(jué)、猜測(cè)、想象等數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).數(shù)感分析有利于發(fā)現(xiàn)解題的思路或結(jié)論.數(shù)感是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的精華成分.培養(yǎng)數(shù)感就是在培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),數(shù)學(xué)解題是培養(yǎng)數(shù)感的重要資源.

    一、對(duì)特殊“數(shù)字”的敏感

    例1? ?(新高考卷Ⅰ第2題)[2-i1+2i]=(? ?).

    A.[ 1] B .[-1] C. [i] D .[-i]

    評(píng)析:本題出現(xiàn)在選擇題第2題,一般屬于容易題,可考慮借助于數(shù)感,通過(guò)心算簡(jiǎn)單獲解.

    思路1:從選項(xiàng)獲數(shù)感,4個(gè)“答案”都簡(jiǎn)單,可采用逐一檢驗(yàn)的方法.顯然A、B不成立.對(duì)于C,只需計(jì)算[(1+2i)×i=i-2],這與分子不相等,所以C錯(cuò).故選D.

    思路2:從“化簡(jiǎn)‘分式的基本方法是‘約分”獲得數(shù)感,[2-i=-2i2-i=-i(2i+1)],約分后即得答案[-i],選D.

    說(shuō)明:數(shù)感依賴(lài)于經(jīng)驗(yàn).若沒(méi)有觀察“答案”、化簡(jiǎn)“分式”的基本方法是“約分”等經(jīng)驗(yàn),則上述兩種思路是不易想到的.

    例2? ?(全國(guó)卷Ⅲ理第12題)已知55<84,134<85,設(shè)a=log53,b=log85,c=log138,則(? ? ).

    A. a

    評(píng)析:據(jù)了解,很多考生不明白給出的兩個(gè)條件55<84,134<85,到底有何意圖.其實(shí),設(shè)計(jì)這兩個(gè)條件的意圖有三:一是為降低題目難度,或有提示解法之意;二是需要把指數(shù)不等式變成對(duì)數(shù)不等式,才便于利用對(duì)數(shù)這個(gè)工具;三是希望考生能從這兩個(gè)不等式的指數(shù)“感覺(jué)”到“[45]”(比較大小的“媒介”)的存在,這個(gè)“[45]”正是數(shù)感的產(chǎn)物.

    二、對(duì)“數(shù)學(xué)模型”的敏感

    例3? ?(全國(guó)卷Ⅰ理第5題)某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率[y]和溫度[x](單位:[℃])的關(guān)系,在[20]個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn),由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[(xi,yi)][(i=1,2,…,20)]得到下面的散點(diǎn)圖.

    由此散點(diǎn)圖,在[10℃]至[40℃]之間,下面四個(gè)回歸方程類(lèi)型中最適宜作為發(fā)芽率[y]和溫度[x]的回歸方程類(lèi)型的是(? ?).

    A.[ y=a+bx]? B.[ y=a+bx2]

    C.[ y=a+bex]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D.[ y=a+blnx]

    評(píng)析:從散點(diǎn)圖可發(fā)現(xiàn),當(dāng)溫度達(dá)到[20℃]后其增長(zhǎng)速度是緩慢增長(zhǎng),這恰好與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的模型比較吻合.再結(jié)合四個(gè)選項(xiàng),容易選D.

    說(shuō)明:學(xué)生應(yīng)知道,4個(gè)“答案”的函數(shù)模型分別代表線性增長(zhǎng)、拋物增長(zhǎng)、爆炸增長(zhǎng)、緩慢增長(zhǎng).

    例4? ?(全國(guó)卷Ⅱ理第11題)若2x-2y<3-x-3-y,則(? ?).

    A. ln(y-x+1)>0? ? B. ln(y-x+1)<0

    C. ln[x-y>0]? ? ? ? ? ? ? ? ?D. ln[x-y<0]

    評(píng)析:借用“合并同類(lèi)項(xiàng)”的經(jīng)驗(yàn)(式子感),把原不等式化為[2x-3-x<2y-3-y],由此可構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)[f(x)=2x-3-x],則有[f(x)1].故選A.

    三、對(duì)“圖形”的敏感

    例5? ?(全國(guó)卷Ⅰ理第14題)設(shè)[a,b]為單位向量,且[a+b=1],則[a-b=]________.

    評(píng)析:本題的條件有三個(gè):[a=1],[b=1],[a+b=1].如果再把[a-b]考慮在內(nèi),則本題共涉及4個(gè)模,即4個(gè)長(zhǎng)度(距離).因此,從模的幾何意義考慮問(wèn)題是自然的、簡(jiǎn)單的想法.若把上述三個(gè)條件賦予幾何意義,則可以[a,b]為鄰邊作一個(gè)平行四邊形.再由三個(gè)條件易知,此平行四邊形必為菱形,且[a,b]的夾角為[120°].又[a-b]恰好是這個(gè)菱形的另外一條對(duì)角線,因此,[a-b=3].

    若學(xué)生熟悉恒等式[a+b2+a-b2=2a2+2b2],則此題可心算獲解.

    例6? ?(全國(guó)卷Ⅰ理第11題)已知[⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0],且直線[l:2x+y+2=0],

    [P]為[l]上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)[P]作[⊙M]的切線[PA],[PB],切點(diǎn)為[A],[B],當(dāng)[PA?PB]最小時(shí),直線[AB]的方程為(? ?).

    A.[ 2x-y-1=0]? ? B.[ 2x+y-1=0]

    C.[ 2x-y+1=0]? ? D.[ 2x+y+1=0]

    評(píng)析:本題若直接著手于“算”的話(huà),則不易找到思路,并且比較麻煩.但若對(duì)相應(yīng)的圖形的幾何意義產(chǎn)生數(shù)感,則問(wèn)題的解決思路會(huì)油然而生.

    將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程[(x-1)2+(y-1)2=4],得圓心M(1,1),

    [r=AM=2].由面積法可得,

    [S四邊形PAMB=AM?PA=2PM2-4].

    [PM]取最小值[?][PM⊥l][?AB//l],即可排除A和C.故選D.

    四、對(duì)“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”的敏感

    例7? ?(全國(guó)卷Ⅱ理第6題)數(shù)列[an]中,a1=2,am+n=aman,若[ak+1+ak+2+…+ak+10][=215-25],則k=(? ?).

    A. 2? B. 3? C. 4? D. 5

    評(píng)析:符號(hào)多是本題的一大特色,這也讓考生感到像“霧里看花”,并產(chǎn)生無(wú)從下手的感覺(jué).這正好體現(xiàn)本題考查學(xué)生的高級(jí)認(rèn)知(分析、猜測(cè)、洞察、演繹等)的真實(shí)意圖.由數(shù)據(jù)[215, 25]可強(qiáng)烈地感受到該數(shù)列可能含有等比數(shù)列的信息,這就是數(shù)感.遞推方程[am+n=][aman]是一個(gè)一般性的遞推關(guān)系,考生需要從這個(gè)關(guān)系中敏銳地發(fā)現(xiàn)并構(gòu)造出含通項(xiàng)[an]和它的后一項(xiàng)[an+1]的遞推關(guān)系,才有可能用到等比數(shù)列知識(shí).因此,采用特殊值法,取[m=1],則[an+1=a1an].又因?yàn)閇a1=2],所以[an+1an=2],因此[an]是等比數(shù)列,則[an=2n].

    所以[ak+1+ak+2+]…[+ak+10][=2k+1(210-1)]

    [=2k+11-2k+1=215-25].故選C.

    五、對(duì)“數(shù)學(xué)美”的敏感

    “化丑為美”是數(shù)學(xué)解題的基本策略.解高考數(shù)學(xué)題要善于把丑的形式(結(jié)構(gòu))化為美的形式(結(jié)構(gòu)).

    例8? ?(全國(guó)卷Ⅱ第21題)已知函數(shù)[f(x)=sin2xsin2x].

    (1)討論[f(x)]在區(qū)間[0, π]的單調(diào)性;

    (2)證明:[f(x)≤338];

    (3)設(shè)[n∈N*],證明:[sin2xsin22xsin24x…]

    [sin22nx≤3n4n].

    評(píng)析:第(1)題是常規(guī)題,其解析從略.

    第(2)題因?yàn)楹瘮?shù)[f(x)]是奇函數(shù),所以只需證明[f(x)]的最大值是[338].

    因?yàn)樵赱f(x)=sin2xsin2x]中的次數(shù)不同、角度不同,因此該結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)的,但不是最美的.作降次變換得,[f(x)=sin2xsin2x=1-cos2x2?sin2x=14(2sin2x-sin4x)].

    記[p(x)=2sin2x-sin4x],此式右邊兩項(xiàng)的系數(shù)分別是[2, -1],因此,[2sin2x-sin4x]的形式仍然是不美的(不對(duì)稱(chēng)).但若先變形為[p(x)=sin2x+sin2x][+sin(2π-4x)];再作換元,即令[2x=A, 2x=B],[2π-4x=C],則[A+B+C=2π],且[p(x)=sinA+][sinB][+sinC].此形式顯得簡(jiǎn)單了、美了.從而,可借助于以下結(jié)論求出[p(x)]的最大值.

    結(jié)論:在[△ABC]中,[sinA+sinB+sinC]在[A=B=C=π3]時(shí)取得最大值.

    這個(gè)結(jié)論的條件和結(jié)論都體現(xiàn)對(duì)稱(chēng)美和簡(jiǎn)單美.此結(jié)論在一些書(shū)籍上有,其發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程均可掌握[3].這個(gè)結(jié)論是產(chǎn)生數(shù)感的“原型”.

    借助上述結(jié)論,其思路探索和解答就容易了.事實(shí)上,由[sint]在[0, π]上的上凸可得,

    [p(x)=sinA+][sinB]+[sinC ][≤][ 3sinA+B+C3]

    [=3sin2π3=332].

    所以[f(x)=14p(x)≤338].以下從略.

    第(3)題的證明,[sin2xsin22xsin24x…sin22nx]

    [=(sin3xsin32xsin34x…sin32nx)23]

    =[sinx ][(sin2xsin2x)·(sin22xsin4x)]…

    [(sin22n-1xsin2nx)][sin22nx][23]

    =[sinx·f(x)·f(2x)·f(2n-1x)]

    ·[sin22nx][23]

    [≤f(x)?f(2x)…f(2n-1x)23].

    下面反復(fù)用第(2)題的結(jié)論進(jìn)行放縮即可,從略.

    重視數(shù)感的培養(yǎng)無(wú)疑是重要的和必要的.已有數(shù)感經(jīng)驗(yàn)是產(chǎn)生新數(shù)感的基礎(chǔ).數(shù)感的經(jīng)驗(yàn)源于對(duì)數(shù)感的實(shí)踐、反思與凝練.數(shù)感是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的核心成分,數(shù)感的產(chǎn)生依賴(lài)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成,即數(shù)感的產(chǎn)生依賴(lài)于豐富的經(jīng)驗(yàn)、敏銳的眼光、靈活的思維.數(shù)感的實(shí)質(zhì)就是能用數(shù)學(xué)眼光對(duì)情境(問(wèn)題)的快速審視并頓生感覺(jué).用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題,就是要“想看”“會(huì)看”“看思結(jié)合”,“看出來(lái)的感覺(jué)”即為數(shù)感.在新課教學(xué)中,數(shù)感的培養(yǎng)可以從知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展、發(fā)現(xiàn)的過(guò)程著手培養(yǎng).數(shù)學(xué)解題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的沃土,教師不宜讓學(xué)生急忙著手去算,而是應(yīng)先讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行仔細(xì)觀察、直覺(jué)分析、整體把握、思路預(yù)估等思維活動(dòng),因?yàn)檫@可達(dá)到多角度、多層次培育數(shù)感的目的.

    參考文獻(xiàn):

    [1]葉蓓蓓.對(duì)數(shù)感的再認(rèn)識(shí)與思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2004,13(2):34-36.

    [2]詹國(guó)棵.數(shù)感的內(nèi)涵[J].蘇州教育學(xué)院學(xué)報(bào),2005,22(1):69-71.

    [3]趙思林,盧勇剛,李雪梅.對(duì)一道以核心素養(yǎng)立意的高考數(shù)學(xué)試題的探究[J].教育研究與評(píng)論,2019(1):64-69.

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