讓習(xí)題講解充滿數(shù)學(xué)思考和空間想象

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[摘要]在習(xí)題講解過(guò)程中，教師若能根據(jù)學(xué)生的具體情況，針對(duì)不同的知識(shí)點(diǎn)，有組織、有意識(shí)、有目的地引導(dǎo)其進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和空間想象，使學(xué)生養(yǎng)成勤于思考、善于分析、歸納總結(jié)的良好習(xí)慣，長(zhǎng)此以往，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)信心、認(rèn)知水平、解決問(wèn)題的能力將會(huì)大大提升。

[關(guān)鍵詞]習(xí)題講解;數(shù)學(xué)思考;空間想象

[中圖分類號(hào)]G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]

1007—9068（2019）32—0042—02

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些在求知指導(dǎo)的過(guò)程中出現(xiàn)的規(guī)律（稱之為“中間規(guī)律”），以及解題之后，通過(guò)對(duì)結(jié)論的再開(kāi)發(fā)、再引申、再歸納得到的規(guī)律（稱之為“題后規(guī)律”）。在平時(shí)的數(shù)學(xué)習(xí)題講解過(guò)程中，教師可能會(huì)因?yàn)橼s時(shí)間、趕進(jìn)度而就題講題，只要學(xué)生理解了、會(huì)算了就以為達(dá)到目的了，忽視某些習(xí)題在演變過(guò)程中出現(xiàn)的一些規(guī)律以及對(duì)結(jié)論的歸納小結(jié)。對(duì)此，教師應(yīng)適時(shí)對(duì)教學(xué)進(jìn)行調(diào)整，讓學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算過(guò)程，依據(jù)算式特點(diǎn)去發(fā)現(xiàn)、歸納其中隱含的規(guī)律，只要教師做細(xì)、做到位，將會(huì)極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，激發(fā)學(xué)生的求知欲，提高學(xué)生快速解決問(wèn)題的能力，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

【案例1】圖1中正方形的邊長(zhǎng)是6厘米，求涂色部分的面積。

教師通常這樣幫助學(xué)生分析：看圖分析題意，得出解題思路是“用連同空白半圓在內(nèi)的大扇形的面積減去空白半圓的面積，就得到圖中陰影部分的面積”。具體計(jì)算過(guò)程為：第一步先算大扇形的面積，3.14×6²÷4=28.26（平方厘米）;第二步再算出空白半圓的面積：3.14×（6÷2）²÷2=14.13（平方厘米）;第三步求出兩部分的面積差，28.26-14.13=14.13（平方厘米），從而求出答案。部分學(xué)生在教師的分析指導(dǎo)下很快就理解和掌握了，對(duì)于做錯(cuò)的學(xué)生，教師讓其直接訂正?？此剖r(shí)高效，但是筆者認(rèn)為，如果教師能引領(lǐng)學(xué)生利用軸對(duì)稱的知識(shí)，將圖形逐步還原，就可通過(guò)觀察、比較、計(jì)算、歸納，發(fā)現(xiàn)空白半圓的面積與陰影部分面積之間的關(guān)系。將例題圖形沿著正方形的右邊或下邊為對(duì)稱軸還原圖形，得到如下兩圖形（如圖2）：

它們陰影部分的面積計(jì)算為：3.14×6²÷2-3.14×（6÷2）²=56.52-28.26=28.26（平方厘米）。在此基礎(chǔ)上再次以半圓的直徑為對(duì)稱軸還原，圖形變化為圖3：

陰影部分的面積計(jì)算為3.14×6²-3.14×（6÷2）²×2=113.04-56.52=56.52（平方厘米）。再聯(lián)系例題陰影部分面積可綜合列式計(jì)算為3.14×6²÷4-3.14×（6÷2）²÷2=28.26-14.13=14.13（平方厘米）。

在引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算時(shí)，教師有意識(shí)地用彩色粉筆畫(huà)出上面三道算式中下劃線部分的等式，引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較算式中各部分的含義，學(xué)生經(jīng)過(guò)充分的觀察與交流，肯定能發(fā)現(xiàn)每種情況中的陰影部分的面積與空白部分的面積是相等的。故今后遇到與例題相類似的題目，學(xué)生可通過(guò)直接計(jì)算半圓的面積得到陰影部分的面積。在幫助學(xué)生分析求解的過(guò)程中，教師要站在教材的高度，從題目演變過(guò)程的角度，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生歸納發(fā)現(xiàn)一些“中間規(guī)律”，讓習(xí)題講解充滿數(shù)學(xué)思考和空間想象，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，提高其解決問(wèn)題的能力。

【案例2】三塊邊長(zhǎng)都是12厘米的正方形鐵皮，分別按圖4的（1）（2）（3）剪下不同規(guī)格的圖片，它們剩下的鐵皮面積相等嗎？

根據(jù)條件“三塊邊長(zhǎng)都是12厘米的正方形鐵皮”，可知圖中三個(gè)正方形的面積相等，要求三個(gè)圖中剩下的鐵皮面積的關(guān)系，首先看三個(gè)圖中陰影部分的面積關(guān)系，然后再去分析剩下的鐵皮面積的關(guān)系。教師先組織學(xué)生分別計(jì)算陰影部分的面積。

圖（1）陰影部分面積為π×（12÷2）²=36π（平方厘米）;

圖（2）陰影部分面積為π×（12÷2÷2）²×4=36π（平方厘米）;

圖（3）陰影部分面積為π×（12÷3÷2）²×9=36π（平方厘米）

通過(guò)計(jì)算后，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：三個(gè)圖中陰影部分的面積相等，所以每個(gè)圖形中剩下的鐵皮面積也相等。筆者以為，解題至此，還應(yīng)拓展：在同樣的正方形鐵皮里剪16個(gè)、25個(gè)（如圖5）……兩兩相切且面積相等的最大的圓，每個(gè)正方形中所有圓的面積和與例題中陰影部分的面積相等嗎？

教師放手讓學(xué)生通過(guò)小組合作，選擇計(jì)算“剪16個(gè)、25個(gè)……兩兩相切且面積相等的最大圓”中的一種情況，求出陰影部分的面積。學(xué)生通過(guò)展示匯報(bào)，共同檢查每種情況下的列式和計(jì)算結(jié)果是否正確，然后把算式與結(jié)果寫(xiě)到黑板上（與例題對(duì)應(yīng)的寫(xiě)位置上），如剪16個(gè)圓的面積和為π×（12÷4÷2）²×16=36π（平方厘米），剪25個(gè)圓的面積和為π×（12÷5÷2）²×25=36π（平方厘米）……學(xué)生通過(guò)觀察、比較、討論、歸納，得到統(tǒng)一的結(jié)論：在相同的正方形鐵皮中剪下1個(gè)、4個(gè)、9個(gè)、16個(gè)、25個(gè)……兩兩相切且面積相等的最大的圓，每個(gè)圖形中所有圓的面積總和相等，所以每個(gè)圖形中剩下的鐵皮面積也相等。經(jīng)驗(yàn)豐富的教師還有可能會(huì)提問(wèn)：假如在這樣的正方形中剪下一個(gè)最大的扇形（如圖6），這個(gè)扇形的面積還與上面圖形中陰影部分的面積相等嗎？

學(xué)生再次通過(guò)計(jì)算得出π×12²÷4=36π（平方厘米），同樣得到“相等”的結(jié)論。像這樣解題之后，根據(jù)題意，對(duì)結(jié)論進(jìn)行再開(kāi)發(fā)、再引申、再歸納，可拓展學(xué)生思維，幫助學(xué)生系統(tǒng)建構(gòu)知識(shí)、理解知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)，讓習(xí)題講解充滿數(shù)學(xué)思考和空間想象，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

在平時(shí)的教學(xué)工作中，遇到類似的情況時(shí)，教師應(yīng)多站在學(xué)生發(fā)展的角度，站在教材設(shè)計(jì)意圖的角度，站在知識(shí)點(diǎn)內(nèi)在聯(lián)系的角度，讓習(xí)題講解充滿數(shù)學(xué)思考和空間想象，以引領(lǐng)學(xué)生積極主動(dòng)地針對(duì)不同習(xí)題的變化與引申，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，并通過(guò)不斷總結(jié)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)隱含的規(guī)律，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，不斷提高解決問(wèn)題的能力，這也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，符合學(xué)生終身學(xué)習(xí)和自我發(fā)展的需要。

（責(zé)編 羅艷）