透視骰子：玩推理，長思維

□ 羅永軍

我喜歡看魔術(shù)。有一位網(wǎng)友知道我的愛好，發(fā)給我一則魔術(shù)視頻“透視超能力”：一位魔術(shù)師聲稱他有超能力能看到別人看不到的東西。為驗(yàn)證自己的超能力，他蒙上眼，請一位觀眾隨意擲了一把骰子，隨意撿了4顆骰子疊起來，疊在一起的骰子有7個(gè)面是看不到的（如圖1）。魔術(shù)師摘下眼罩看了一眼后，馬上就報(bào)出這些隱藏面的數(shù)字和是24。經(jīng)當(dāng)場驗(yàn)證，結(jié)果正確！這是怎么回事？觀眾是“托兒”嗎？不太像。觀眾是隨意扔出了一把骰子，并且她在疊骰子的時(shí)候動(dòng)作很快，根本沒有時(shí)間去看那些骰子的點(diǎn)數(shù)。既然不是靠觀眾的配合完成的，那很有可能秘密就在骰子本身。

圖1

一、數(shù)學(xué)分析

骰子（tóu骰zi子），北方的很多地區(qū)又叫色子（shǎi色zi子），是中國傳統(tǒng)的玩具，早在戰(zhàn)國時(shí)期就有，通常作為桌上游戲的小道具。最常見的骰子是立方體骰子，它的面上分別有1-6個(gè)小孔（點(diǎn)子或數(shù)字），其相對兩個(gè)面的數(shù)字和是7。

點(diǎn)子數(shù)為什么不是按數(shù)字大小的順序從1排到6呢？有一種解釋是骰子常常用來作為博彩的道具，因此公平是非常要緊的。骰子在滾動(dòng)時(shí)有3個(gè)軸向，分別是前后、左右、上下。每個(gè)軸向兩個(gè)面上的小孔總數(shù)要相等，即每個(gè)軸向的重量相等，這樣才會(huì)對骰子滾動(dòng)影響最小。所以每個(gè)軸向相對的兩個(gè)面分別是1和6，2和5，3和4，總和都是7。

根據(jù)骰子的排列規(guī)律，當(dāng)桌面上只有1顆骰子，上面的點(diǎn)數(shù)是a，那么隱藏在底面的點(diǎn)子就是（7-a）。比如，把2顆骰子疊在一起，如果上面的點(diǎn)子數(shù)是6，那么隱藏面的點(diǎn)數(shù)總和就是7×2-6=8；如果上面的點(diǎn)子數(shù)是5，那么隱藏面的點(diǎn)數(shù)總和就是7×2-5=9；如果上面的點(diǎn)子數(shù)是a，那么隱藏面的點(diǎn)數(shù)總和就是（14-a）。當(dāng)n顆骰子疊在一起，如果上面的點(diǎn)子數(shù)是a，那么所有隱藏面的點(diǎn)數(shù)總和是（7n-a）（如圖2）?，F(xiàn)在我們應(yīng)該明白魔術(shù)師是如何快速地透視骰子了吧。在視頻中，魔術(shù)師看到觀眾疊的4顆骰子最上面的點(diǎn)子數(shù)是4，他馬上就能夠算出隱藏面的點(diǎn)數(shù)總和就是7×4-4=24。

圖2

通過數(shù)學(xué)分析，我們很容易就能破解這個(gè)“透視超能力”的魔術(shù)，不過學(xué)生能看出其中的秘密嗎？

二、認(rèn)知分析

“透視骰子”實(shí)際上是一項(xiàng)數(shù)學(xué)推理活動(dòng)。首先是歸納推理——通過觀察發(fā)現(xiàn)骰子上的數(shù)字歸納出規(guī)律：相對面的數(shù)字和是7。然后是演繹推理——根據(jù)1顆骰子上下面的和是7，推導(dǎo)出n顆骰子上下面的和是7n，再根據(jù)這一結(jié)果減去最上面的點(diǎn)子數(shù)最后得出所有隱藏面的點(diǎn)子和。

“透視骰子”還提供了一種跳出思維定式的體驗(yàn)。一般來說，想要知道若干個(gè)數(shù)的和，通常的方法是把若干個(gè)數(shù)相加，即由部分?jǐn)?shù)（P）得到整體和（W），這是一種順向思維。可是，如果這些部分?jǐn)?shù)無法知道呢？有沒有辦法解決？有。我們可以想這個(gè)和在更上位的關(guān)系中與什么有關(guān)，也就是說跳出固有思維來看，這個(gè)底層關(guān)系中的和（W）在上位關(guān)系中其實(shí)是一個(gè)部分?jǐn)?shù)（P）。

（一）歸納推理

這個(gè)實(shí)驗(yàn)適合幾年級學(xué)生？學(xué)生會(huì)如何思考？能否順利地完成歸納推理呢？從運(yùn)算的角度來看，兩個(gè)一位數(shù)相加的計(jì)算是屬于一年級的內(nèi)容，但考慮到還要用到乘法，所以要放到二年級第一學(xué)期之后教學(xué)。我們選擇二、三年級各3個(gè)班（每班36人）進(jìn)行了調(diào)查，每人發(fā)1顆骰子和1張方格紙，請學(xué)生擲一擲骰子，記一記點(diǎn)子數(shù)，找一找規(guī)律。學(xué)生獨(dú)立操作的時(shí)間為3分鐘。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，二年級108位學(xué)生中有17位發(fā)現(xiàn)規(guī)律，三年級108位學(xué)生中有28位發(fā)現(xiàn)規(guī)律。也就是說到三年級第二學(xué)期，能發(fā)現(xiàn)規(guī)律的學(xué)生不到30%。

那么，其余學(xué)生是如何思考的呢？以這顆骰子為例（如圖3），學(xué)生先是觀察了骰子顯露在外的5個(gè)面分別是1，2，3，5，6，發(fā)現(xiàn)還缺“4”，于是就判斷底面的數(shù)是“4”。這是用排除法來解決問題的，也有推理的成分在內(nèi)，不過用在求多顆骰子疊加隱藏面的和就難以為繼了。

圖3

為什么從中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系那么難呢？我拿了學(xué)生記錄的3組數(shù)據(jù)（如圖4）請辦公室的老師們觀察，結(jié)果沒有一個(gè)人發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律！大家覺得奇怪，這是哪里來的數(shù)據(jù)？我告訴大家原委并解釋了數(shù)據(jù)的來源（如圖5）。有的同事聽完之后略想了一會(huì)兒就指明了規(guī)律：表格中的數(shù)是每兩個(gè)一組：前后之和是7，上下之和是7，左右之和是7，相對兩個(gè)面上的數(shù)字和是7。為什么發(fā)現(xiàn)規(guī)律這么難呢？大家一起分析了原因，可能以往用來找規(guī)律的數(shù)據(jù)，常常是線型排列：從第1個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)后繼數(shù)都和前一個(gè)數(shù)有一定的關(guān)系，整個(gè)數(shù)列中的數(shù)都是“串”在一起的。而此表格中的數(shù)是每兩個(gè)一組形成數(shù)對，它們的排列并不是線型的，每一個(gè)數(shù)不獨(dú)立，而是成對排列。像這樣呈現(xiàn)數(shù)對規(guī)律的數(shù)列在小學(xué)數(shù)學(xué)中確實(shí)不多見，難怪學(xué)生沒有馬上發(fā)現(xiàn)。

圖4

圖5

從觀察現(xiàn)象到歸納出蘊(yùn)含其中的規(guī)律，不是一個(gè)顯然的過程，需要“會(huì)主動(dòng)地建構(gòu)一些假設(shè),并根據(jù)前提提供的證據(jù)來評估這些假設(shè)的似然性”。在這個(gè)過程中，會(huì)假設(shè)是關(guān)鍵，學(xué)生需要有較強(qiáng)的數(shù)感，即對數(shù)的組合與大小有較強(qiáng)的感悟。

（二）演繹推理

當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“一顆骰子相對面的和是7”這一基本數(shù)量關(guān)系之后，能不能進(jìn)一步根據(jù)骰子上面的點(diǎn)數(shù)推斷出隱藏在下面的點(diǎn)數(shù)呢？答案是肯定的，108位三年級學(xué)生的正確率是100%。不過當(dāng)2顆、3顆、4顆骰子疊在一起后，求隱藏面的點(diǎn)數(shù)和學(xué)生感覺還是比較困難的，只有9位學(xué)生能獨(dú)立完成。完成的方法有兩種，以4顆骰子為例，有6位是用“7-1=6，3×7=21，6+21=27”，用“7×4-1=27”這一方法的只有3人。顯然想到用后一種方法的同學(xué)推理能力更勝一籌。對于這樣的結(jié)果，其實(shí)也不意外，畢竟這個(gè)年齡段的小學(xué)生的思維還處于“具體運(yùn)算階段”，對于具體的、看得見的事實(shí)能夠較好地認(rèn)知。

皮亞杰把7-12歲（小學(xué)階段）兒童的思維界定為“具體運(yùn)算階段”，這個(gè)階段兒童的思維有兩個(gè)主要特點(diǎn)：開始有守恒觀念和能進(jìn)行群集運(yùn)算。“透視骰子”的推理活動(dòng)恰恰需要兒童具備守恒觀念和群集運(yùn)算能力。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，雖然我們無法知道每一個(gè)骰子上下兩個(gè)面的點(diǎn)數(shù)具體是多少，但我們知道它們的和一定是7（守恒）。從下往上疊放，2顆骰子的數(shù)字和是7×2=14，3顆骰子的數(shù)字和是7×3=21，……n顆骰子的數(shù)字和是7n（群集）。這兩項(xiàng)認(rèn)知能力是數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)，反過來數(shù)學(xué)推理活動(dòng)也能促進(jìn)兒童在具體運(yùn)算階段的思維水平的提升。

三、教學(xué)分析

基于以上分析，我們把教學(xué)目標(biāo)定位為幫助學(xué)生積淀推理經(jīng)驗(yàn)。整個(gè)實(shí)驗(yàn)教學(xué)分為兩步。

（一）修煉透視眼：尋找骰子點(diǎn)數(shù)的排列規(guī)律

1.分段看錄像：一位魔術(shù)師聲稱自己有超強(qiáng)的透視能力。他請觀眾把骰子疊在一起，然后很快地說出隱藏面的總和。你覺得他會(huì)不會(huì)成功？這里把4顆骰子隱藏7個(gè)面的情況交代清楚以清晰問題。

2.師：你認(rèn)為這種能力是天生的還是后來修煉出來的？你準(zhǔn)備怎樣來修煉呢？我相信每個(gè)人都有自己修煉的方式，讓我們先從1顆骰子開始修煉吧。

3.學(xué)生兩人一組進(jìn)行探究，時(shí)間3分鐘。

擲骰子時(shí)，骰子朝上的數(shù)字是隨機(jī)的，1-6每個(gè)數(shù)字都有可能出現(xiàn)，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)時(shí)感到捉摸不定。圖6是學(xué)生的一張活動(dòng)記錄單。請注意這張記錄單上前4組數(shù)據(jù)和后5組數(shù)據(jù)的差別！顯然這位學(xué)生在前4次活動(dòng)中沒有把骰子的上面點(diǎn)數(shù)和底面點(diǎn)數(shù)聯(lián)系起來，轉(zhuǎn)變是在第5次，從第5次開始，他全部“猜”對了！他是怎么發(fā)現(xiàn)的呢？在反饋交流時(shí)，他說：“剛才3的對面是4，現(xiàn)在（骰子的）上面是4，所以我就知道現(xiàn)在的底面是3。我（根據(jù)前面的結(jié)果）還知道2的對面是5，1的對面是6，它們加起來都是7?！睆倪@位學(xué)生的敘說中可以看出，他的整個(gè)思維過程有3個(gè)層次，首先是發(fā)現(xiàn)骰子朝上的數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)了（如上表中的第2、3列），可以根據(jù)前一次結(jié)果來確定；其次是發(fā)現(xiàn)了所有3組數(shù)的位置搭配關(guān)系。至此，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了數(shù)與位置的關(guān)系，這是一種空間位置關(guān)系；最后，發(fā)現(xiàn)數(shù)對之和是7。筆者原以為學(xué)生知道了對應(yīng)關(guān)系后，發(fā)現(xiàn)“和是7”是很自然的事，然而實(shí)際情況是，要推理出數(shù)量關(guān)系對學(xué)生來說還是有難度的，這和前測中了解到的情況基本相符。當(dāng)有同學(xué)匯報(bào)時(shí)說出“和是7”時(shí)，好幾個(gè)學(xué)生情不自禁地點(diǎn)頭稱是。學(xué)生發(fā)現(xiàn)“和是7”，看上去只是提升了一小點(diǎn)，但對于處在“具體運(yùn)算階段”的學(xué)生來講還真是一個(gè)“思維跨越”。

圖6

好了，1顆骰子已經(jīng)能“透視”到底面，那么多顆骰子疊在一起呢？

（二）再煉透視眼：多顆骰子疊在一起求隱藏面的數(shù)字和

1.選擇骰子。給學(xué)生每人準(zhǔn)備了4顆骰子，讓他們自由選擇從幾顆骰子開始研究。一方面是希望學(xué)生能自己來規(guī)劃實(shí)驗(yàn)；另一方面研究的方法與路徑每個(gè)人有自己的習(xí)慣，沒有絕對的優(yōu)劣之分。事實(shí)上，那些掌握了“透視”能力的學(xué)生有的是從3顆開始研究，有的是從4顆開始研究，從2顆開始研究的反而是少數(shù)學(xué)生。從任意點(diǎn)切入進(jìn)行研究都是可行的，關(guān)鍵還要靠研究者的觀察、思考和領(lǐng)悟能力。

2.實(shí)驗(yàn)與操作。師生討論實(shí)驗(yàn)步驟：（1）疊一疊；（2）猜一猜；（3）算一算；（4）想一想。兩人小組活動(dòng)，第一次大約5分鐘。第二次活動(dòng)時(shí)間視學(xué)生探究情況而定。

3.反饋與思考。從第一次活動(dòng)后的反饋中發(fā)現(xiàn)，大約只有10%的學(xué)生找到了算法。這個(gè)數(shù)據(jù)和前測結(jié)果相同，學(xué)生在此確實(shí)陷入了困境。他們的困惑是什么呢？

在教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生往往是先看骰子頂面上的點(diǎn)數(shù)，比如頂面是1，然后用7去減，得到這顆骰子的底面數(shù)字6，再接下來學(xué)生就陷入了困境：繼續(xù)往下那個(gè)面是幾呢？它的下面又是幾呢？上面的數(shù)不知道那么下面的數(shù)也沒辦法知道。于是學(xué)生就會(huì)忍不住打開骰子去“偷看”。由于每一個(gè)骰子朝上的數(shù)字是隨機(jī)的，每次看到的不一定相同，更加讓學(xué)生對骰子產(chǎn)生捉摸不透的感覺。

其實(shí)，學(xué)生在“透視骰子”的過程中也用到了“和是7”的數(shù)量關(guān)系，但只是用在最上面的第1顆骰子上。對于疊在中間的這些骰子，在計(jì)算總數(shù)時(shí)學(xué)生還是會(huì)糾結(jié)每一個(gè)面上的數(shù)究竟是幾，而沒有把“和是7”作為一個(gè)前提去應(yīng)用。這表明學(xué)生的思維還停留在“要得到總數(shù)，必須先知道部分?jǐn)?shù)是幾”這個(gè)瓶頸中。

學(xué)生的思維有可能突破困境嗎？除了教師直接講解外，還能怎么做？

在學(xué)生的實(shí)驗(yàn)中，我們適時(shí)提供了實(shí)驗(yàn)單（如圖7），提醒學(xué)生記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。有的學(xué)生在記錄骰子點(diǎn)數(shù)寫算式時(shí)，忽然發(fā)現(xiàn)骰子上下兩個(gè)面不管隱藏著數(shù)字幾，它們的和都是7，如6+4+3+5+2其實(shí)可以這樣算：如6+（4+3）+（5+2）或者是7+7+7-1。有的學(xué)生對于重復(fù)結(jié)果很敏感，在記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（規(guī)律連續(xù)呈現(xiàn)）中，悟到了關(guān)系；也有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)，3顆骰子無論怎樣疊放，只要頂上的數(shù)字相同，所有隱藏面的數(shù)字和也一定是相同的。比如頂面上的數(shù)字是1，不管它下面的骰子怎么疊放，所有隱藏面的數(shù)字和都是20。增加1顆骰子會(huì)怎樣呢？如果頂面上的數(shù)字還是1，那所有隱藏面的數(shù)字和就增加了7，和是27。再增加1顆呢？總和又增加了7，這引起了學(xué)生的注意——骰子上下兩個(gè)面的數(shù)字和就是7呀。對實(shí)驗(yàn)過程與結(jié)果的反思促進(jìn)了學(xué)生對于規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。雖然學(xué)生觀察與思考的維度不一樣，但同樣發(fā)現(xiàn)了骰子的秘密。

圖7

其實(shí)我們提供的實(shí)驗(yàn)單本身并沒有直接的教學(xué)功能，但是有了實(shí)驗(yàn)單以后學(xué)生的思維能夠外化為可視化的方式進(jìn)行分析與再思考。

不過，為什么前后兩個(gè)實(shí)驗(yàn)都是推理活動(dòng)，但對于學(xué)生來說后者會(huì)那么難呢？

如果只是從推理要素來判斷歸納推理與演繹推理孰易孰難，這比較困難。但如果從數(shù)學(xué)思維的角度來看前后兩個(gè)實(shí)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)實(shí)際上是兩種思維的進(jìn)化。前一個(gè)實(shí)驗(yàn)是透視單個(gè)骰子，學(xué)生發(fā)現(xiàn)相對面的數(shù)字和是7，利用這個(gè)規(guī)律可以直接求出隱藏在底面的數(shù)，比如用7減幾的方法，這是典型的算術(shù)思維。而第二個(gè)環(huán)節(jié)的任務(wù)是要透視多個(gè)疊加的骰子，骰子的個(gè)數(shù)也不確定，每一個(gè)骰子上下面的數(shù)字又是隨機(jī)的，無法用確定數(shù)相加來得到隱藏?cái)?shù)的和，這就需要用整體關(guān)系來解決問題，因此這是一種代數(shù)思維。兒童思維從算術(shù)思維發(fā)展為代數(shù)思維是一種躍進(jìn)，對于處于具體運(yùn)算階段的三年級學(xué)生來說是有一定困難的。不過，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這種課程形態(tài)中，借助實(shí)驗(yàn)材料，讓思維可視化，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維逐漸生長。

有教師可能會(huì)提出疑問：學(xué)生感覺問題有難度，教師為什么不介入引導(dǎo)呢？比如讓學(xué)生先從2顆骰子開始研究，全班一起來實(shí)驗(yàn)，一起來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得到初步規(guī)律后再來研究3顆、4顆、5顆骰子呈現(xiàn)的規(guī)律，最后總結(jié)概括?；蛘咭龑?dǎo)學(xué)生思考怎樣算得快，進(jìn)而把算式中“和是7的數(shù)對”用括號標(biāo)示出來，甚至可以用紅筆把它們?nèi)ζ饋?，這樣就能讓學(xué)生更好地聚焦規(guī)律。我們不反對這樣的教法。我們也相信如果這樣教學(xué)，教學(xué)效率一定會(huì)提高。但是，我們擔(dān)心這些引導(dǎo)事實(shí)上只是教師以自己的觀察和思考代替學(xué)生的思維發(fā)展，會(huì)淡化實(shí)驗(yàn)的意義。我們更提倡教師以組織者的身份參與，比如提供實(shí)驗(yàn)單、適時(shí)組織小組交流、延長學(xué)生的探索時(shí)間等，讓學(xué)生有充分的時(shí)間和機(jī)會(huì)去逐漸積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。我們相信這樣凝聚而成的數(shù)學(xué)思維才是活化的、能舉一反三和觸類旁通的，而這正是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的價(jià)值所在。