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    “學(xué)材再建構(gòu)”的智慧實(shí)施
    ——以“二次函數(shù)”起始課為例

    2019-12-26 09:35:42■徐
    初中生世界 2019年44期
    關(guān)鍵詞:學(xué)材函數(shù)圖像

    ■徐 勤

    教學(xué)案例

    一、背景分析

    “學(xué)材再建構(gòu)”是李庾南老師倡導(dǎo)的“三學(xué)”(學(xué)材再建構(gòu)、學(xué)法三結(jié)合、學(xué)程重生成)的重要組成部分,指師生根據(jù)學(xué)習(xí)任務(wù),為實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)效益最大化,對各種顯性學(xué)材和隱性學(xué)材進(jìn)行主動加工重構(gòu)。

    在“二次函數(shù)”起始課教學(xué)中,很多教師的教法是從大量的實(shí)際問題中抽象出二次函數(shù)模型,然后研究定義并對定義進(jìn)行強(qiáng)化練習(xí)。學(xué)生的整個學(xué)習(xí)過程幾乎是前面一些問題的再練習(xí)。由于學(xué)生學(xué)習(xí)一次函數(shù)后,對研究函數(shù)的基本思路已大致了解,筆者認(rèn)為“二次函數(shù)”起始課采用單元教學(xué),順應(yīng)了學(xué)生原有知識體系,也順應(yīng)了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。

    二、教學(xué)實(shí)踐

    活動設(shè)計(jì)(一)創(chuàng)設(shè)情境,類比生成概念。

    1.用20m長的籬笆圍成一個矩形花圃,設(shè)矩形花圃的一邊AB長為xm。思考:若改變x的值,矩形的哪些量隨著x的變化而變化?

    問題1:若把鄰邊BC的長記作y,你能寫出y與x之間的關(guān)系嗎?

    追問:y是x的函數(shù)嗎?為什么?這是什么函數(shù)?什么是一次函數(shù)?我們是從哪些方面研究一次函數(shù)的?

    問題2:矩形的面積s與x之間有什么關(guān)系?它們之間是否也具有函數(shù)關(guān)系?為什么?我們將這個關(guān)系式化簡,得s=-x2+10x。s是x的一次函數(shù)嗎?

    師:從本節(jié)課開始,我們研究一種新的函數(shù)——二次函數(shù)。(板書課題)

    2.觀察類比,形成概念。

    一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù),叫作二次函數(shù)。其中,x是自變量,a,b,c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。

    設(shè)計(jì)意圖:在教授二次函數(shù)的定義時,筆者沒有采用教材上所呈現(xiàn)的方式進(jìn)行常規(guī)教學(xué),而是先從幾個實(shí)際問題入手,列出關(guān)系式,再讓學(xué)生觀察其特征或共同點(diǎn),然后歸納出二次函數(shù)的定義,最后對概念進(jìn)行拓展練習(xí)。這是基于以下三點(diǎn)進(jìn)行考量的:一是學(xué)情,同類型的訓(xùn)練教學(xué)中已經(jīng)涉及,學(xué)生已熟悉;二是對二次函數(shù)的定義不必過多地進(jìn)行辨析和拓展,這些與前面的方程的定義和一次函數(shù)的概念屬于同類型練習(xí);三是一個開放的問題情境有利于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力,調(diào)動學(xué)生的主觀能動性,這也是新課標(biāo)所提倡的。在這個導(dǎo)入過程中,二次函數(shù)的定義由學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、自我概括而成,是基于已有經(jīng)驗(yàn)生成新知,從注重思維結(jié)果向注重思維過程轉(zhuǎn)變。

    活動設(shè)計(jì)(二)構(gòu)建框架,明確研究方向。

    1.類比一次函數(shù)研究內(nèi)容,建構(gòu)二次函數(shù)章節(jié)知識框架,明確研究方向。

    2.回顧一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的研究思路。

    (1)通過列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖像,觀察圖像,得到函數(shù)性質(zhì);

    (2)從特殊的y=kx(k≠0)到一般的y=kx+b(k≠0)的研究思路;

    (3)討論兩種情況(k>0,k<0),歸納。

    活動設(shè)計(jì)(三)繪制圖像,探究函數(shù)性質(zhì)。

    1.類比聯(lián)想,明確研究方法。

    學(xué)生繪制y=3x的圖像。

    教師提問:如果圖像上有點(diǎn)(m,n),那么橫坐標(biāo)為-m的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為多少?說明什么?能總結(jié)一下圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱的代數(shù)刻畫嗎?那么圖像關(guān)于y軸對稱的代數(shù)刻畫呢?y=3x的圖像過原點(diǎn)且僅在第一、三象限,這種區(qū)域性能用代數(shù)刻畫嗎?可以借用這樣的判斷方法去驗(yàn)證當(dāng)k>0的正比例函數(shù)。

    2.代數(shù)思考,探究數(shù)形模型。

    探究特殊二次函數(shù)y=x2的圖像。學(xué)生列表描點(diǎn)畫出圖像。

    結(jié)論:函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱;因變量的值應(yīng)該都不小于0。

    網(wǎng)友們的第一反應(yīng)也是不太相信,有的調(diào)侃說:我超意興準(zhǔn)備接手山東男籃,有的比較悲觀:難道濟(jì)南找不到一家可以接手山東男籃的私企了嗎?

    教師提問:由函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和表格中所列數(shù)據(jù)的特點(diǎn),解釋為什么圖像會有這樣的特點(diǎn):

    (1)過原點(diǎn)(0,0),其余各點(diǎn)均在x軸的上方;

    (2)無最高點(diǎn),原點(diǎn)為最低點(diǎn);

    (3)圖像關(guān)于y軸對稱等。

    設(shè)計(jì)意圖:探究二次函數(shù)的圖像,讓學(xué)生在“大致→精致→一致”中穿行,就是一個思維從抽象到具體的活動過程。學(xué)生在互動過程中,有獨(dú)立思考、合作交流、實(shí)踐操作,總是在歷練自己的思維,感受思維的魅力。

    3.幾何觀察,提煉函數(shù)性質(zhì)。

    師:畫出函數(shù) y=-x2、y=-2x2的圖像。觀察這些拋物線有何共同點(diǎn)和不同點(diǎn)。它們之間是否有著某些聯(lián)系?

    教師引導(dǎo)學(xué)生在畫圖之前先預(yù)測圖像的特征,然后再動手畫圖驗(yàn)證。

    二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖像特征與函數(shù)性質(zhì):函數(shù)y=ax2(a≠0)中, ||a越大,拋物線開口越??; ||a越小,拋物線開口越大。

    設(shè)計(jì)意圖:對于具備一定抽象能力的九年級學(xué)生來說,二次函數(shù)的圖像所承載的教學(xué)價值絕不是用“列表、描點(diǎn)、連線”畫圖,而是讓學(xué)生根據(jù)函數(shù)表達(dá)式,在不需要畫出精確圖像時,就能判斷函數(shù)圖像的一些特征和大致形狀,這是一種思維價值。當(dāng)學(xué)生畫出比較精確的圖像后,與想象的圖像進(jìn)行對比,能讓學(xué)生體驗(yàn)到成功的樂趣和思維的魅力。這樣的思維經(jīng)驗(yàn)還會延伸到后續(xù)各種結(jié)構(gòu)的二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖像研究上,不僅讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中創(chuàng)新發(fā)展,而且還培養(yǎng)了其“由數(shù)想形”的思維能力,以達(dá)到眼中無圖、心中有圖的境界。

    三、教學(xué)反思

    (一)在類比中生長。

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)指出,數(shù)學(xué)知識的教學(xué),要注重知識的生長點(diǎn)和延伸點(diǎn),把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的結(jié)構(gòu)體系中,注重知識的結(jié)構(gòu)和體系,引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。本節(jié)課不僅關(guān)注數(shù)學(xué)知識的生長點(diǎn)和延伸點(diǎn),同時重視了學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)方法。一次函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)和方法為本節(jié)課提供了重要的知識基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。在實(shí)施教學(xué)的過程中,筆者很好地抓住這樣的契機(jī),通過類比一次函數(shù)的研究框架自主建構(gòu)本章的研究脈絡(luò),讓學(xué)生明晰研究的內(nèi)容和方向,感受數(shù)學(xué)的整體性。在研究圖像性質(zhì)之前,由正比例函數(shù)的式結(jié)構(gòu)和形結(jié)構(gòu)展開類比聯(lián)想生成本節(jié)課的新知,實(shí)現(xiàn)了課堂的高效益。

    (二)在實(shí)踐中完善。

    在以往的聽課過程中,很多同仁在學(xué)生畫圖出現(xiàn)錯誤時,會直接告訴學(xué)生應(yīng)該用平滑的曲線連接。事實(shí)上,學(xué)生對為什么是曲線是不理解的。所以本節(jié)課在學(xué)生由數(shù)猜形、釋形的過程中,基本由學(xué)生暢所欲言,充分暴露其思考中的一些問題,在描點(diǎn)連線后也展示了一些有問題的圖像,然后引導(dǎo)學(xué)生思考這些問題如何修正,比如到底是用光滑的曲線還是折線,讓學(xué)生充分展開討論,最后通過用幾何畫板密集取點(diǎn)的方式驗(yàn)證學(xué)生討論的結(jié)果,完善了學(xué)生對二次函數(shù)圖像的認(rèn)識。

    (三)在探究中內(nèi)化。

    學(xué)生在研究得出y=x2的性質(zhì)后,再研究y=的性質(zhì)時,已經(jīng)從使用先前單一的方法變成了用多種思考方法,比如有列表、描點(diǎn)、畫圖進(jìn)行探究的,也有從解析式的特點(diǎn)入手,先說出圖像的共同點(diǎn)和不同點(diǎn),還有通過列表,利用表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比研究的。學(xué)生能通過本節(jié)課的探究活動將知識內(nèi)化成解決新問題的策略方法,無疑實(shí)現(xiàn)了本節(jié)課的教學(xué)價值。

    本文系江蘇省“十三五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“初中課堂學(xué)程生態(tài)化建設(shè)研究”(課題編號:E—c/2016/19)階段性研究成果之一。

    推薦書目

    它是一部將生命生長理念遷移到初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的理論創(chuàng)新圖書,也是一部踐行生長數(shù)學(xué)教學(xué)主張的實(shí)踐操作用書,還是一部彰顯數(shù)學(xué)生命力的科普指導(dǎo)用書,更是一部讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中落地生根的教學(xué)研究用書。

    本書作者卜以樓是生長數(shù)學(xué)的設(shè)計(jì)者、倡導(dǎo)者、探索者、實(shí)踐者,江蘇省特級教師,正高級教師。全書展示他對生長數(shù)學(xué)的12個教學(xué)主張,30個經(jīng)典案例,其中有半數(shù)被中國人民大學(xué)復(fù)印報刊資料全文轉(zhuǎn)載。

    書名:生長教學(xué):卜以樓初中數(shù)學(xué)教學(xué)主張

    作者:卜以樓

    出版社:陜西師范大學(xué)出版總社

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