從驗(yàn)證到推理的過(guò)渡
——以“三角形內(nèi)角和定理”證明為例

■李洪濤

（作者單位：山東省肥城市龍山中學(xué)）

三角形內(nèi)角和定理是青島版《數(shù)學(xué)》教材八年級(jí)上冊(cè)第5章“幾何證明初步”第5節(jié)的內(nèi)容，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了平角、平行線的性質(zhì)和判定的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探索定理的證明。學(xué)生既需要綜合運(yùn)用已有的知識(shí)，又需要學(xué)習(xí)掌握首次引入添加輔助線的方法。

本節(jié)課要幫助學(xué)生掌握定理的證明、添加輔助線的方法并能靈活運(yùn)用，培養(yǎng)邏輯思維和符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)能力，提高動(dòng)手操作、自主探索、合作學(xué)習(xí)的能力。幫助學(xué)生經(jīng)歷三角形內(nèi)角和定理不同方法的推理證明過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的求異思維和創(chuàng)造思維，體驗(yàn)解決問題的成就感，體會(huì)數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)謹(jǐn)性和推理的意義，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感悟邏輯推理的數(shù)學(xué)價(jià)值。

一、點(diǎn)動(dòng)角度，導(dǎo)入新課

活動(dòng)一：如圖1，在△ABC的AB邊上分別取D、E兩點(diǎn)，連接線段CD、CE。（1）觀察△ABC、△ADC、△AEC的內(nèi)角，∠A是它們的什么角？（2）發(fā)現(xiàn)它們的另兩組內(nèi)角的變化規(guī)律是∠ACB→∠ACD→∠ACE變小，而∠ABC→∠ADC→∠AEC變大，為什么會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象？

活動(dòng)二：利用幾何畫板演示一個(gè)三角形從2個(gè)角變化的情形到3個(gè)角都變化的情形，幫助學(xué)生進(jìn)一步感知三角形的內(nèi)角和是多少度。

設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)中教師通過(guò)點(diǎn)動(dòng)、角變的設(shè)計(jì)，使得學(xué)生對(duì)空間觀念做定向關(guān)注：位置關(guān)系的變化。引發(fā)三角形內(nèi)角量變的特征是，有角變大，必須有角變小。從而啟發(fā)“三角形內(nèi)角和是一個(gè)定值”。

圖1

二、實(shí)驗(yàn)操作，證明定理

設(shè)問：三角形三個(gè)內(nèi)角的和是多少度？你是怎樣知道的？

教學(xué)中一般在學(xué)生初步感知到它們的內(nèi)角和是180°的基礎(chǔ)上，再用實(shí)驗(yàn)操作的方法加以驗(yàn)證。學(xué)生在小學(xué)認(rèn)識(shí)三角形內(nèi)角和時(shí)，所了解的驗(yàn)證方法一般有如下三種，為此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行以下三個(gè)實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)一用量角器量出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后求和驗(yàn)證。

測(cè)量計(jì)算是學(xué)生比較熟悉的探究思路，教師在學(xué)生操作的基礎(chǔ)上用幾何畫板演示。

設(shè)計(jì)意圖：該實(shí)驗(yàn)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到受測(cè)量中精確度以及測(cè)量誤差的影響，通過(guò)測(cè)量得到的三個(gè)內(nèi)角的和很可能會(huì)出現(xiàn)不等于180°的情形。即便是利用“幾何畫板”度量、計(jì)算，貌似可以得到準(zhǔn)確值，但事實(shí)上軟件系統(tǒng)在近似運(yùn)算中掩藏了測(cè)量的誤差，誤差可能依然存在。

實(shí)驗(yàn)二沿三角形的一條中位線上下對(duì)折，然后把另兩個(gè)角左右對(duì)折，折出一個(gè)平角加以驗(yàn)證，如圖2。

圖2

學(xué)生探究交流：如圖3，把∠A向下折，折時(shí)注意平行，使∠A的頂點(diǎn)落在它的對(duì)邊上，即形成∠1。再折∠B、∠C，使∠B、∠C的頂點(diǎn)都與∠1的頂點(diǎn)重合，即形成∠2、∠3。發(fā)現(xiàn)∠1、∠2、∠3恰好組成一個(gè)平角，即∠1+∠2+∠3=180°，由此得到三角形的內(nèi)角和是180°。

圖3

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生輕松一折就初步驗(yàn)證了三角形三個(gè)內(nèi)角可以拼在一起形成一個(gè)平角，體驗(yàn)解決問題的成就感和動(dòng)手的樂趣。

實(shí)驗(yàn)三把三個(gè)角剪下來(lái)拼成一個(gè)平角加以驗(yàn)證。

在學(xué)生探究各種拼法后，教師進(jìn)行動(dòng)畫演示。

想一想我們拼角的目的是什么？（改變角的位置。）

如果不移動(dòng)角，我們還可以通過(guò)什么方法來(lái)改變角的位置？（添加輔助線。）

學(xué)生活動(dòng)：小組討論，通過(guò)拼圖方案，添加輔助線構(gòu)建圖形，證明定理。

比一比，哪個(gè)小組的方法多？證明過(guò)程引導(dǎo)學(xué)生書寫或口頭表達(dá)。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小組討論交流，每個(gè)學(xué)生都成為課堂的參與者，變傳統(tǒng)教學(xué)中的被動(dòng)接受為主動(dòng)探索，激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性和創(chuàng)造性。鼓勵(lì)學(xué)生傾聽他人的方法和思路，從中受益，培養(yǎng)合作探究精神。多讓學(xué)生發(fā)言，有意識(shí)地培養(yǎng)語(yǔ)言表達(dá)能力和邏輯思維能力。

設(shè)問：以上方法都是通過(guò)作平行線構(gòu)造出相等的同位角或內(nèi)錯(cuò)角，把三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化到同一個(gè)頂點(diǎn)處，再證明它們的和構(gòu)成一個(gè)平角。除此之外還有其他不同的思路和方法嗎？

學(xué)生活動(dòng)：小組討論，歸納總結(jié)。

三角形內(nèi)角和是180°，由“和”“180°”你能聯(lián)想到什么？

師生歸納：通過(guò)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得到如下添加輔助線的方法（如圖4）。

圖4

設(shè)計(jì)意圖：以上每一種添線方法的邏輯推理由學(xué)生進(jìn)行交流，然后寫出證明過(guò)程。此處的添加輔助線的方法與前面的添加方法進(jìn)行對(duì)比思考，體會(huì)數(shù)學(xué)思想的奧妙。無(wú)論是實(shí)驗(yàn)中三角形的剪拼還是在幾何圖形中添加的輔助線，其實(shí)質(zhì)都是將分散的三個(gè)相關(guān)元素即三個(gè)內(nèi)角有效地聚集在一起。而不同輔助線的作法的出發(fā)點(diǎn)以及作輔助線的目的都是實(shí)現(xiàn)相關(guān)元素的有效聚集。

師：認(rèn)真觀察教科書第171頁(yè)的圖5-6，回顧此證明方法，你還能有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：（1）圖中∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，從三角形內(nèi)角和定理的證明過(guò)程中容易發(fā)現(xiàn)它正是∠A、∠B兩個(gè)角的和。

（2）∠ACD=∠A+∠B，在這個(gè)等式中，如果去掉∠B 則有∠ACD＞∠A，如果去掉∠A則有∠ACD＞∠B。

（3）由此可得：

推論1：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；

推論2：三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角。

設(shè)計(jì)意圖：推論的獲得主要有兩種辦法：一種是與圖形的其他元素、條件相結(jié)合推導(dǎo)出一些新的結(jié)論，即推論。教科書的這部分內(nèi)容即是如此，它將三角形的內(nèi)角與外角結(jié)合起來(lái)，推導(dǎo)得到三角形外角的兩條性質(zhì)。另一種是將條件強(qiáng)化，即增加一些新的限制條件，研究特殊圖形的性質(zhì)，例如后續(xù)課中的“直角三角形兩銳角互余”。由于學(xué)生是首次接觸推論，所以務(wù)必使學(xué)生感受到“推論”到底是怎么回事。推論蘊(yùn)含在原定理思維之中？推論是原定理的一種簡(jiǎn)單變形？推論是原定理的副產(chǎn)品？啟發(fā)學(xué)生在自己的學(xué)習(xí)實(shí)踐中，當(dāng)解決了一個(gè)問題后要再回顧一下，再想一想，養(yǎng)成“回頭看”的好習(xí)慣，從而提高學(xué)習(xí)的效率。

三、運(yùn)用新知，提升能力

例1 如圖5，已知AB∥CD，求證：

∠AMN+∠MNF+∠NFC=360°。

師：這個(gè)問題我們以前是如何解決的？

生：如圖6，過(guò)點(diǎn)N，作NE∥AB，即可證明。

圖5

圖6

圖7

師：我們能否用今天學(xué)到的新知識(shí)解決這個(gè)老問題？

生：如圖7，連接MF，即可證明。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生意識(shí)到每當(dāng)知識(shí)更新后，解決問題的途徑及方法也隨之豐富了，不同方法的運(yùn)用，能相互促進(jìn)，強(qiáng)化學(xué)習(xí)。學(xué)生對(duì)學(xué)到的知識(shí)能仔細(xì)揣摩，真正理解其含義，把知識(shí)靈活運(yùn)用到解決問題中去，由淺入深地達(dá)到熟能生巧的目的。

例2 如圖8，已知直線AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，求∠C的度數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化學(xué)生熟練運(yùn)用定理的能力，增強(qiáng)學(xué)以致用的信心和樂趣。

圖8

四、感悟收獲，鞏固訓(xùn)練

1.這節(jié)課你學(xué)到了什么？你收獲了什么？

2.獨(dú)立完成教科書第172頁(yè)的練習(xí)1、2兩題。

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生踴躍發(fā)言，談各自對(duì)這節(jié)課的感受和體會(huì)；對(duì)學(xué)生還有困惑的地方，教師及時(shí)給予解惑。

五、教學(xué)反思

本節(jié)課的教學(xué)中，三角形的剪拼，證明定理時(shí)如何添加輔助線的探討，往往耗時(shí)較多，因此課前必須周密地計(jì)劃好，在課堂上爭(zhēng)取有條理有層次地引導(dǎo)學(xué)生有序推進(jìn)。

操作探究得到的結(jié)論，一般只是一種合情推理基礎(chǔ)上的猜想，其中包含有一定程度近似運(yùn)算的思想。譬如“剪拼”中發(fā)現(xiàn)三個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)平角，這里“拼成一個(gè)平角”更多依靠的是操作者在觀察基礎(chǔ)上的近似判斷。在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到這種“動(dòng)手操作”是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的常用手段之一。但教學(xué)的重點(diǎn)不在如何剪拼上，而是如何從“剪拼”前后圖形變化中發(fā)現(xiàn)隱藏的一般性規(guī)律，并將這個(gè)規(guī)律用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言或文字?jǐn)⑹霰硎龀上鄬?duì)精練的“一般結(jié)論”。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，學(xué)生才能充分理解推理證明的必要性。

課堂上，教師的“導(dǎo)”立足于學(xué)生的“學(xué)”，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作和合作交流，主動(dòng)參與到知識(shí)形成的思維中，將抽象的邏輯證明和直觀探索聯(lián)系起來(lái)，成功實(shí)現(xiàn)了從合情推理到演繹推理的轉(zhuǎn)變，堅(jiān)持了學(xué)生是主體、教師是主導(dǎo)的教學(xué)理念。

圖9

課堂教學(xué)可以充分利用幾何畫板輔助的作用，將知識(shí)形象化、動(dòng)態(tài)化?！办o”中生“動(dòng)”，“動(dòng)”中求“靜”，重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。例如，在課堂活動(dòng)二中，利用課件演示，三角形的BC邊不動(dòng)，把頂點(diǎn)A“壓”向BC，∠A越來(lái)越大，使其趨近于180°，而∠B與∠C的和越來(lái)越小，趨近0°，如圖9；三角形的BC邊不動(dòng)，把頂點(diǎn)A“拉離”BC，∠A越來(lái)越小，使其趨近于0°，而∠B與∠C的和越來(lái)越大，它們的和越來(lái)越接近180°（圖略）。這樣學(xué)生便能容易“看到”結(jié)論，如此教學(xué)也順便給學(xué)生“種上”了數(shù)學(xué)極限的思想。