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    例談學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的培養(yǎng)
    ——以“相似三角形的應(yīng)用1”的教學(xué)為例

    2019-12-26 09:35:42朱加軍
    初中生世界 2019年44期
    關(guān)鍵詞:邏輯推理直角三角形大樓

    ■朱加軍

    (作者單位:江蘇省江陰市峭岐中學(xué))

    在小學(xué)數(shù)學(xué)階段,學(xué)生對(duì)邏輯推理的經(jīng)歷主要是以直觀猜想為主的規(guī)律探尋,是“經(jīng)驗(yàn)型”思維,缺少理論支撐,邏輯性不強(qiáng)。初中數(shù)學(xué)“公理”“定理”“概念”等知識(shí)增多,學(xué)生隨著年齡的增長(zhǎng)和認(rèn)知水平的發(fā)展,要逐漸過(guò)渡到“理論型”邏輯推理階段。因此,初中數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中,要根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的邏輯障礙,有針對(duì)性地、循序漸進(jìn)地促進(jìn)他們邏輯思維的發(fā)展,有效培養(yǎng)他們的邏輯推理能力,這也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重、難點(diǎn)。本文根據(jù)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求,結(jié)合蘇科版九年級(jí)《數(shù)學(xué)》“相似三角形的應(yīng)用1”的教學(xué)片段,試從以下四個(gè)方面談一談?wù)n堂中學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)。

    一、預(yù)設(shè)情境,激發(fā)興趣,推動(dòng)邏輯推理能力的發(fā)展

    “樂(lè)學(xué)”是核心素養(yǎng)提出的學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)中的一個(gè)要求,也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中最為重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展,更加需要一個(gè)興趣盎然的環(huán)境。因此教師教學(xué)時(shí),要精心設(shè)計(jì)一個(gè)富有生活趣味的、能引起學(xué)生關(guān)注并希望深入了解的問(wèn)題,使學(xué)生樂(lè)于思索,從而推動(dòng)其邏輯推理能力的發(fā)展。

    在“相似三角形的應(yīng)用1”課堂伊始,教師便拋出一個(gè)問(wèn)題:

    在某一個(gè)晴天,你手中只有最大測(cè)量長(zhǎng)度為20米的卷尺。請(qǐng)問(wèn),你如何測(cè)量一個(gè)12層居民樓的高度?說(shuō)說(shuō)你的方案。

    生1:可以先量一層樓的高度,再乘樓層數(shù)。

    生2:不可以,因?yàn)闃菍痈叨炔⒉煌耆嗤?,絕大多數(shù)的樓是一樓的層高較高,況且還有頂樓的高度無(wú)法測(cè)量。此方案行不通。

    生3:可以先立一根木桿,然后退到適當(dāng)位置,當(dāng)看到木桿的頂端與樓頂重合時(shí),就可以運(yùn)用我們學(xué)過(guò)的相似三角形的知識(shí)解決了。示意圖如圖1。

    圖1

    師:生3的方案的確不錯(cuò),具有了操作性,也能測(cè)出相對(duì)準(zhǔn)確的高度,這是我們以前學(xué)習(xí)的方案。但假如沒(méi)有木桿,你能利用現(xiàn)有的工具來(lái)測(cè)量嗎?不要忘了天氣是晴,所有的物體在太陽(yáng)下都會(huì)有影子。

    生4:可以先測(cè)出一個(gè)人及其影子的高度,再測(cè)出大樓的影子長(zhǎng),然后利用比例,就可以求出樓高了。

    到此,問(wèn)題解決。此問(wèn)設(shè)計(jì)的目的是活躍課堂氣氛,提升學(xué)生思考的欲望,增加學(xué)生學(xué)習(xí)新課的興趣。學(xué)生積極思考問(wèn)題,會(huì)想出多種方案,但方案提出后需要運(yùn)用邏輯推理來(lái)驗(yàn)證方案的可行性與可操作性。實(shí)際上從問(wèn)題提出,到疑問(wèn)產(chǎn)生,到方案產(chǎn)生,到驗(yàn)證方案的可行性,再到答案的給出,就是一個(gè)基本的邏輯推理過(guò)程,也是一個(gè)激發(fā)學(xué)生興趣、培養(yǎng)學(xué)生樂(lè)學(xué)素養(yǎng)的過(guò)程。

    二、厘清概念,完善問(wèn)題,培養(yǎng)邏輯推理的嚴(yán)密性

    面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題,進(jìn)行邏輯推理時(shí),會(huì)涉及眾多的數(shù)學(xué)概念。厘清概念是數(shù)學(xué)邏輯的基礎(chǔ),也是邏輯推理正確發(fā)展的保障。為此,課堂上教師進(jìn)一步提出更完整的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

    師:如圖2,在某晴天的某一時(shí)刻,一個(gè)身高1.8米的學(xué)生在太陽(yáng)下的影子長(zhǎng)是0.6米,同一時(shí)刻,某一大樓的影子長(zhǎng)是12米。你能計(jì)算出此大樓的高嗎?

    圖2

    師:此題中,生4的比例式如何得出?

    生5:可以依據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出。

    師:你能說(shuō)說(shuō)哪兩個(gè)三角形相似嗎?

    生5:大樓與自己的影子構(gòu)成了一個(gè)直角三角形,人與自己的影子也構(gòu)成了一個(gè)直角三角形。這兩個(gè)直角三角形相似。

    師:如果真如你所說(shuō)的相似,那么它們的相似條件是什么?

    生5:太陽(yáng)的光線是平行的,因此它們與地面構(gòu)成的角是相等的,大樓、人與地面都是垂直的,因此它們與地面形成的角都是直角。這樣,這兩個(gè)直角三角形兩組角相等,所以?xún)蓚€(gè)三角形相似。

    本節(jié)課是一節(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)技能的運(yùn)用課,所涉及的知識(shí)基本都是數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用,要求掌握的新的數(shù)學(xué)概念基本沒(méi)有,但在解決問(wèn)題的過(guò)程中,仍然需要強(qiáng)化所涉及的一些概念。比如此問(wèn)題中,對(duì)于“同一地點(diǎn)下的陽(yáng)光是平行光”這一物理知識(shí)中的概念需要再次明確;人、大樓分別與水平地面是垂直的。這些基本概念是保證樓高、樓影長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形與人高、人影長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形相似的關(guān)鍵,也是進(jìn)行下一步邏輯推理計(jì)算的保證。這是從小學(xué)直觀的邏輯推理,走向初中嚴(yán)密的邏輯推理的關(guān)鍵過(guò)程,是培養(yǎng)學(xué)生“有實(shí)證意識(shí)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那笾獞B(tài)度”的良好方法。

    三、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)抽象能力

    學(xué)生的核心素養(yǎng)要求中提出,要能運(yùn)用科學(xué)的思維方式認(rèn)識(shí)事物、解決問(wèn)題、指導(dǎo)行為。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是一個(gè)非常有效的思維方式,也是促進(jìn)邏輯推理能力發(fā)展的快速有效的良好方法。將上題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題,是學(xué)生將新知轉(zhuǎn)化為舊知,將實(shí)際問(wèn)題歸納為數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵。

    生6:可以將實(shí)物圖轉(zhuǎn)化成圖3,在Rt△ABC與Rt△DEF中,邊AB表示大樓,邊CB表示大樓的影子,邊DE表示人高,邊EF表示人的影子。

    生7:雖然生6的圖3可以解決此題,但仍然不夠簡(jiǎn)潔。我們知道,大樓不可以移動(dòng),但是人可以移動(dòng),同時(shí)轉(zhuǎn)換視角,就可以將人與大樓重疊到一起,如圖4,兩個(gè)三角形的相似就可以相對(duì)容易得出,比例也相對(duì)容易得出。

    圖3

    圖4

    不難看出,生7構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型更為簡(jiǎn)潔、有效,也更能直觀表現(xiàn)出物高與影長(zhǎng)的比例關(guān)系。因此,建立一個(gè)簡(jiǎn)潔、有效的數(shù)學(xué)模型,在邏輯推理過(guò)程中可以簡(jiǎn)化思維過(guò)程,明晰邏輯推理思維的方向。所以在課堂教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)善于引導(dǎo)學(xué)生建立簡(jiǎn)潔、有效的數(shù)學(xué)模型,讓學(xué)生從問(wèn)題的感知升華為思維的感知,最終形成一定的思維模式,歸結(jié)為一定的數(shù)學(xué)模型,讓學(xué)生的思維層次進(jìn)一步提高,為推理積累感性的經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)中很多的邏輯證明的方法,如分析法、反證法、類(lèi)比法、歸納法等都是按照邏輯推理的規(guī)律進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)活動(dòng),有利于邏輯思維能力的發(fā)展。

    四、規(guī)范說(shuō)理過(guò)程,彰顯數(shù)學(xué)素養(yǎng)

    語(yǔ)言的源泉是理性思維,也是邏輯推理的過(guò)程呈現(xiàn)。邏輯推理過(guò)程的學(xué)習(xí)一定程度上也可以說(shuō)成是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的推理過(guò)程。教學(xué)中,要鼓勵(lì)學(xué)生在自己獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上與同學(xué)、教師交流,以此來(lái)促進(jìn)邏輯推理思維的成熟,讓推理更嚴(yán)密。教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)適時(shí)管控推理的進(jìn)程,規(guī)范說(shuō)理的策略,逐漸形成“條件A+條件B+條件C+…=>結(jié)論”的形式,多引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑、糾錯(cuò),幫助學(xué)生將邏輯推理內(nèi)化成一種本能。如:

    師:同學(xué)們,能否就圖3說(shuō)一說(shuō)比例式成立的理由?

    師:在生8的答題過(guò)程中有沒(méi)有欠缺的地方?

    生9:生8沒(méi)有將兩個(gè)三角形相似的理由說(shuō)清楚。我可以將這部分補(bǔ)充完整,補(bǔ)充如下:

    根據(jù)題意得:AB⊥BC,DE⊥EF,AC∥DF,∴∠ABC=∠DEF=90°,∠ACB=∠DFE,∴Rt△ABC∽R(shí)t△DEF。

    師:生9補(bǔ)充得很好。在邏輯推理的過(guò)程中,我們應(yīng)當(dāng)注重?cái)?shù)學(xué)語(yǔ)言的表述,同時(shí)也要注重邏輯推理的完整性、嚴(yán)密性。在生8與生9的共同努力下,此題的解答過(guò)程就完整了。

    數(shù)學(xué)是一個(gè)完整而又嚴(yán)密的體系,有獨(dú)有的符號(hào)作為科學(xué)的語(yǔ)言對(duì)邏輯推理過(guò)程進(jìn)行表述。數(shù)學(xué)課堂中對(duì)一些問(wèn)題的解答、證明過(guò)程,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝评?,就是一個(gè)邏輯思維活動(dòng)的過(guò)程。因此,提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力,可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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    5.2 圖形的相似與解直角三角形
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