基于問題的探索型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)
——以“螞蟻怎樣爬行，路線最短”教學(xué)設(shè)計(jì)為例

■陸祥雪

（作者單位：江蘇省泰州中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)）

初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是通過動(dòng)手、動(dòng)腦學(xué)數(shù)學(xué)的一種學(xué)習(xí)活動(dòng)，是學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具，在數(shù)學(xué)思維參與下進(jìn)行的一種以人人參與的實(shí)際操作為特征的數(shù)學(xué)驗(yàn)證或探究，是幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想和積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的輔助課程，是初中階段國(guó)家數(shù)學(xué)課程的一種補(bǔ)充。初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的類型，概括起來(lái)有三種：驗(yàn)證型、理解型、探索型。驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)，可以幫助學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)檢測(cè)、驗(yàn)證已得結(jié)論或猜想的正確性，從而更直觀地獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解；理解型實(shí)驗(yàn)，是以學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、定理等數(shù)學(xué)知識(shí)為目的的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；探索型實(shí)驗(yàn)，是以探索未知結(jié)論為目的的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。探索型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更能培養(yǎng)學(xué)生的抽象、推理、模型等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，與物理、化學(xué)、生物等實(shí)驗(yàn)獲取經(jīng)驗(yàn)事實(shí)和檢驗(yàn)科學(xué)假說、理論真理性的目的具有相似性，能夠與這些學(xué)科融通。下面以“螞蟻怎樣爬行，路線最短”為例，談?wù)劵趩栴}的探索型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)。

一、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.問題呈現(xiàn)，解法質(zhì)疑。

問題1：如圖1，圓柱的底面直徑為6厘米，高為10厘米，螞蟻在圓柱表面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是多少厘米？（結(jié)果保留一位小數(shù)）得：A

圖1

圖2

解答2.螞蟻沿圖1中的折線A→C→B（簡(jiǎn)稱為路線2）爬行，路線最短，最短路程為：10+6=16（厘米）。

綜合解答1和解答2，可知螞蟻爬行的最短路程是13.74厘米。

由學(xué)生的解答，教師引導(dǎo)學(xué)生提出問題2：是否存在沿路線2爬行，路程最短的情況？怎樣來(lái)探究這個(gè)問題？

設(shè)計(jì)意圖：從教育的角度看，把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為一種教學(xué)方法引入課堂，有獨(dú)特的教育功能和價(jià)值。眾所周知，科學(xué)研究從觀察、實(shí)驗(yàn)開始，通過抽象思維、推理論證而獲得結(jié)論。這里“實(shí)驗(yàn)”的目的在于觀察實(shí)際現(xiàn)象，得到具體數(shù)據(jù)，而抽象思維、推理論證則是為了分析不同現(xiàn)象的內(nèi)在聯(lián)系，認(rèn)識(shí)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的規(guī)律性，從而獲得科學(xué)發(fā)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)發(fā)明創(chuàng)造。這個(gè)問題如果通過具體的實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生“做”，相當(dāng)于讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)“科學(xué)研究”的過程，對(duì)學(xué)生智力的發(fā)展、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)、科學(xué)方法的形成都有很大的幫助。

2.操作實(shí)驗(yàn)，繼續(xù)質(zhì)疑。

實(shí)驗(yàn)器材：底面直徑為6厘米、高為10厘米的圓柱，橡皮筋，細(xì)線，直尺。將它們組合成如圖3所示的工具。

學(xué)生可能出現(xiàn)的解答有：

解答1.圓柱的側(cè)面展開圖如圖2，螞蟻爬行的最短路線是線段AB（簡(jiǎn)稱為路線1），由題意可得：AC=10（厘米），BC=3π（厘米）。由勾股定理，

實(shí)驗(yàn)步驟：通過改變橡皮筋的位置，改變圓柱的高度；利用細(xì)線測(cè)量在不同高度、相同底面半徑的圓柱上，兩種爬行路線的長(zhǎng)度。

填寫實(shí)驗(yàn)記錄表：

圓柱高度（厘米）4.5 8沿圖1中A→C→B爬行路線長(zhǎng)度a（厘米）14 10.5 a與b的大小關(guān)系a＞b a＞b a＜b a＜b 3 2 9 8沿圖2中A→B爬行路線長(zhǎng)度b（厘米）12.1 10.6 10.1 9.6

師生觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果。教師引導(dǎo)學(xué)生提出問題3：螞蟻在圓柱表面爬行，怎樣爬行路程最短？若圓柱底面圓半徑不變，爬行路程與圓柱的高度有關(guān)嗎？如果有，它們之間的關(guān)系是什么？

設(shè)計(jì)意圖：圓柱的大小涉及兩個(gè)變量，即底面圓的直徑和圓柱的高。考慮到實(shí)驗(yàn)的可操作性，決定改變圓柱的高度，這個(gè)可以通過橡皮筋位置的改變來(lái)達(dá)到。學(xué)生通過實(shí)際操作、測(cè)量，動(dòng)手能力得到鍛煉，同時(shí)也學(xué)會(huì)了利用表格整理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。師生通過對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行觀察，提出問題，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果上升到理性層面，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

3.探究解疑，形成結(jié)論。

設(shè)圓柱的半徑為r，圓柱的高為h，可得下列結(jié)論：

設(shè)計(jì)意圖：通過數(shù)學(xué)推理，具體說明在圓柱底面圓半徑不變的情況下，圓柱的高的變化，影響螞蟻爬行的最短路線方式的選擇。實(shí)現(xiàn)由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍，使學(xué)生體會(huì)到對(duì)事物的認(rèn)識(shí)不能停留在實(shí)驗(yàn)結(jié)果的直觀感知上，要深究問題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問題的探究意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)證明的必要性，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的態(tài)度。在解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)推理過程的數(shù)學(xué)表達(dá)能力以及用模型思想來(lái)解決實(shí)際問題的能力。

4.反思變式，拓展延伸。

問題2：如果圓柱的高不變，圓柱底面圓半徑改變，結(jié)論會(huì)怎樣呢？

設(shè)計(jì)意圖：把問題進(jìn)行變式，改變變量，讓學(xué)生思考，將學(xué)生的學(xué)習(xí)由課堂延伸到課外，使問題的研究更加完整。

二、幾點(diǎn)思考

1.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的意義。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)的影響是全方位的。在認(rèn)知方面，主要給學(xué)生的學(xué)習(xí)方式帶來(lái)實(shí)質(zhì)性變化。學(xué)生通過實(shí)物實(shí)驗(yàn)，經(jīng)歷測(cè)量，記錄數(shù)據(jù)，整理、分析數(shù)據(jù)，提出問題，猜想結(jié)論，推理、驗(yàn)證結(jié)論等一系列過程，而這一系列流程也是科學(xué)實(shí)驗(yàn)的一般流程。很明顯，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中要手腦并用，調(diào)動(dòng)多種感覺器官參與數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)，而非被動(dòng)接受知識(shí)。在非認(rèn)知方面，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軜O大激發(fā)學(xué)生的興趣，引發(fā)學(xué)生的好奇心，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。積極的情感體驗(yàn)是激發(fā)靈感的強(qiáng)大動(dòng)力，可以促使創(chuàng)造性思維的產(chǎn)生。

2.探索型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容

。

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容可以來(lái)自教材，也可來(lái)自教材外的材料。取材小，目標(biāo)指向明確，問題的結(jié)論清楚，這樣易于學(xué)生操作，耗時(shí)有限，實(shí)驗(yàn)結(jié)果易得。上文中的材料來(lái)自學(xué)生的課外習(xí)題，實(shí)驗(yàn)?zāi)康拿鞔_，最終借助學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容要利于促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有利。在這個(gè)課例中，從具體的數(shù)據(jù)觀察到抽象出“在底面圓半徑不變的情況下，螞蟻爬行的最短路程與圓柱的高有關(guān)”的結(jié)論，然后通過數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表達(dá)，建立方程、不等式模型，學(xué)生的分類思想、運(yùn)算能力都得到了培養(yǎng)。

3.探索型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)施。

在進(jìn)行初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程設(shè)計(jì)時(shí)，要明確實(shí)驗(yàn)的目標(biāo)，讓實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)合理，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和實(shí)驗(yàn)潛質(zhì)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)施時(shí)，遵循可行性、多樣性原則，如動(dòng)手操作的方式、演繹推理的方式等，也可以借助計(jì)算機(jī)來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。本課例若選擇借助計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)驗(yàn)，就難以實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的目的。借助實(shí)物動(dòng)手操作，學(xué)生易親力親為。因此，在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容采用適當(dāng)方法，在設(shè)計(jì)時(shí)需要從實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)工具、實(shí)驗(yàn)類型以及指向何種核心知識(shí)、能力等方面通盤考慮。下列的流程圖可作為參考：