用三面角余弦定理巧解二面角問題

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

現(xiàn)在立體幾何中引入了空間向量，解決二面角問題學(xué)生首選向量法，但是往往因為建系不準(zhǔn)確，運算出差錯造成失分.由于過于依賴空間向量，對于傳統(tǒng)的辦法更是望而生畏.下面介紹一種既不建系，也不過多依靠空間位置的方法，用以解決二面角問題.

一、認識定理

1.三面角的定義

由空間中一點P引三條不共面的三條射線PA，PB，PC，以及相鄰兩射線間的平面部分所構(gòu)成的幾何圖形叫做三面角.記作：三面角P-ABC，P叫做頂點，PA，PB，PC，叫三面角的棱.∠BPC，∠CPA，∠APB叫三面角的三個面角.C-PA-B，A-PB-C，B-PC-A叫三面角的三個二面角(如圖1).

2.三面角余弦定理

如圖1，若三面角的三個面角分別為α，β，γ，它們所對的二面角分別為C-PA-B=A，A-PB-C=B，B-PC-A=C，則

cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA；

cosβ=cosγcosα+sinγsinαcosB；

cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcosC.(證明略，有興趣的老師可以證一下)

3.本質(zhì)分析

從三面角余弦定理的結(jié)構(gòu)可以發(fā)現(xiàn)，每個公式僅含有某個二面角和三個面角.從方程的角度考慮，要求某個二面角，只需求三個面角的正余弦.進而轉(zhuǎn)化成平面上解斜三角形問題，將空間問題平面化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，同時規(guī)避了找二面角的困難以及向量法的繁雜運算.例如，在正四面體中，三個面角α=β=γ=60°，任意兩個面所成的二面角φ均滿足：

cos60°=cos60°cos60°+sin60°sin60°cosφ，

二、應(yīng)用定理

1.求三棱錐中的二面角

三面角存在于三棱錐之中，因此三面角余弦定理解決三棱錐中的問題，包括求面角和二面角都應(yīng)該是最得心應(yīng)手的，我們來研究一道這方面的高考題.

例1 (2014年高考數(shù)學(xué)遼寧卷理科第19題)如圖2，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，E,F分別是AC,DC的中點.

(1)求證：EF⊥BC；

(2)求二面角E-BF-C的正弦值.

解(1)略.(2)在三面角B-ACD中，cos∠ABD=cos∠ABCcos∠DBC+sin∠ABCsin∠DBCcos90°

評注本題兩次使用三面角余弦定理，第一次用于求面角，第二次用于求二面角.完全避開了兩次找二面角的風(fēng)險，也沒有向量法的大量運算.△ABC和△BCD所在平面互相垂直，即二面角A-BC-D的大小為90°，學(xué)生容易錯誤地認為∠ABD=90°,必然導(dǎo)致AD的值錯誤，也可能導(dǎo)致建立錯誤的空間直角坐標(biāo)系，最終都是計算出錯誤的二面角E-BF-C的正弦值.最可悲的是，在解答過程中這種錯誤學(xué)生沒有感覺.大家可以嘗試用其他方法解答，然后對比，喜悅之情，油然而生.

2.求非三棱錐中的二面角

三面角余弦定理本質(zhì)上與三棱錐緊密結(jié)合，給人的感覺是似乎在非三棱錐中就無用武之地.實際上在非三棱錐中構(gòu)造出三棱錐，三面角余弦定理依然可以正常使用.下面再研究一道高考題.

例2(2017年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第18題)如圖3，四棱錐P-ABCD中，AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.

(1)證明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值.

解(1)略.

評注解答中巧妙構(gòu)造了三面角B-APC，問題變得一目了然，要求二面角A-PB-C，只需要求三個面角∠ABP，∠PBC，∠ABC，進而求各條棱棱長.本題中的所有棱長都直接或間接地給出了，條件顯得十分飽滿，非常合適使用三面角余弦定理解答.相對于當(dāng)下流行的向量法，整個計算過程十分輕松愉悅.不失為一個好辦法.

3.證明面面垂直

面面垂直的定義是：兩個平面相交，它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.依此定義，只要計算出二面角為直角就可證明面面垂直！那么，三面角余弦定理是可派上用場的！

(1)證明：平面BDC1⊥平面BDC；(2)略.

證明(1)設(shè)AA1=2,則AC=BC=1，

令二面角C-BD-C1的平面角為φ，在三面角D-BCC1中，cos∠CDC1=cos∠BDC1cos∠BDC+sin∠BDC1sin∠BDCcosφ，易解得cosφ=0，φ=90°，所以平面BDC1⊥平面BDC.

評注對于空間想象能力不太強的文科生來說，這種解法可以使他們從難以想象的位置關(guān)系中解脫出來.通過不算復(fù)雜的運算(主要是平面內(nèi)勾股數(shù)組運算)求出面角，進而求出二面角，最后得出位置關(guān)系結(jié)論.

三、鏈接練習(xí)

對于一種新方法，我們總有一個認識的過程.第一感覺是陌生，排斥它；然后慢慢地接觸它，逐漸熟悉它；然后有意應(yīng)用它，體會其優(yōu)越性；最后真正地愛上它.三面角余弦定理本身形式較為復(fù)雜，容易被人拋棄，但是只要掌握了，它的應(yīng)用還是很方便的.只要幾何體中的線條數(shù)量關(guān)系明確，不管位置關(guān)系多么隱蔽，都能準(zhǔn)確快捷求得相關(guān)的面角和二面角以及證明面面垂直.三面角余弦定理最大的功能是：空間問題平面化.對于空間想象能力弱一點的學(xué)生來說，毫無疑問是最大的福音.