建構(gòu)“糖水濃度”模型速解一類題

鐘建新

(浙江省紹興市春暉中學(xué) 312300)

題目1 (2018年5月諸暨高考模擬試題9) 甲盒子裝有3個紅球，1個黃球，乙盒中裝有1個紅球，3個黃球，同時從甲、乙兩盒子中取出i(i=1,2,3)個球交換，分別記甲、乙兩個盒子中紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為E1(i),E2(i)，則以下結(jié)論錯誤的是( ).

A.E1(1)>E2(1) B.E1(2)=E2(2)

C.E1(1)+E2(1)=4 D.E1(3)

分析當(dāng)i=1時，

ξ甲234PC13C14×C13C14C13C14×C11C14+C11C14×C13C14C11C14×C11C14

ξ乙210PC13C14×C13C14C13C14×C11C14+C11C14×C13C14C11C14×C11C14

又當(dāng)i=2時，

ξ甲123 PC23C24×C23C24C13C11C24×C23C24+C23C24×C13C11C24C13C11C24×C13C11C24

ξ乙321PC23C24×C23C24C13C11C24×C23C24+C23C24×C13C11C24C13C11C24×C13C11C24

∴E1(2)=2,E2(2)=2，∴E1(2)=E2(2).∴選D.

上述解法雖可用，但對于求解此題過程略顯繁雜，下面提供一種簡單分析思路.

可建構(gòu)“糖水濃度”的模型解釋，把紅球?qū)?yīng)看成糖，黃球?qū)?yīng)看成水，則甲盒子原先的糖水濃度為75%，乙盒子原先的糖水濃度為25%，可見交換球的次數(shù)越多，甲盒子的糖水濃度會越來越淡，相反乙盒子的糖水濃度會越來越濃.在交換各自總質(zhì)量(此題中甲、乙兩盒的總質(zhì)量相等)的一半時，即交換2個球，甲、乙兩盒的糖水濃度相等，均為50%；交換1個球，糖水濃度仍是甲盒的高；交換3個球，糖水濃度則是乙盒的高;交換4個球，甲盒子的糖水濃度為25%，乙盒子的糖水濃度為75%.但無論是交換1個球，2個球，3個球，還是4個球，甲、乙兩盒中的紅球的總個數(shù)是一樣的，即4個.

題目2 (2018年5月杭州二中高三仿真考題9)已知甲盒子中有m個紅球，n個藍(lán)球，乙盒子中有m-1個紅球，n+1個藍(lán)球(m≥3,n≥3)，同時從甲、乙兩個盒子中取出i(i=1,2)個球進行交換，(a)交換后，從甲盒子中取1個球是紅球的概率記為pi(i=1,2).(b)交換后，乙盒子中含有紅球的個數(shù)記為ξi(i=1,2).則( ).

A.p1>p2,E(ξ1)

B.p1E(ξ2)

C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)

D.p1

感悟建構(gòu)“糖水濃度”模型求解取球并交換涉及到的概率、期望大小判定等有關(guān)問題，可以由表及里，抓住事物的本質(zhì)，快速找到事物間內(nèi)在的聯(lián)系，其中所蘊含著的數(shù)學(xué)思想和方法可謂精彩紛呈，妙趣橫生！