2019年上海交通大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題(部分)及其詳解

甘志國

(北京市豐臺(tái)二中 100071)

2019年上海交通大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題涉及集合、命題、函數(shù)、解三角形、平面向量、數(shù)列、不等式、立體幾何、平面解析幾何、二項(xiàng)式定理、復(fù)數(shù)與平面幾何等內(nèi)容，難度適中.文章還給出了部分試題的出處.

本文中的題目是筆者綜合多位考生的回憶得到的，題目不全.解答由筆者獨(dú)立完成.

A. -5 B. -3 C. 3

D. 隨a,b取不同值而取不同值

4.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，且z2-2az+a2-a=0，求負(fù)數(shù)a的值.

5.若關(guān)于x的方程x3-3x2+(m+2)x-m=0的三個(gè)根是某個(gè)三角形的三邊長，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

圖1

A.f(x)=2xB.f(x)=x3

13.已知實(shí)數(shù)a,b滿足4a2-5ab+4b2=19，求a2+b2的最大值.

15.已知a1=7；當(dāng)n≥2時(shí)，an表示7n的末兩位數(shù)字之和.求a1+a2+a3+…+a2019.

16.已知銳角△ABC的外接圓的圓心為O，點(diǎn)O到直線BC,CA,AB的距離分別為k,m,n.若BC=a,CA=b,AB=c，則k∶m∶n=( ).

C.sinA∶sinB∶sinCD.cosA∶cosB∶cosC

17.定義平面上的兩點(diǎn)(m,n),(a,b)的折線距離d=|m-a|+|n-b|.若坐標(biāo)平面上的點(diǎn)P到六個(gè)點(diǎn)(-1,2),(3,1),(3,5),(-2,4),(4,4),(6,6)的折線距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

18.若集合A={(x,y)|y≥x2},B={(x,y)|x2+(y-a)2≤1}，則A∩B=B的充要條件是( ).

20.請(qǐng)寫出命題“單調(diào)函數(shù)不是周期函數(shù)”的否命題、逆命題、逆否命題.

21.若C是以O(shè)為圓心、r為半徑的圓周，兩點(diǎn)P、P*在以O(shè)為起點(diǎn)的射線上，并且滿足|OP|·|OP*|=r2，則稱P、P*關(guān)于圓周C對(duì)稱.那么，雙曲線x2-y2=1上的點(diǎn)P(x,y)關(guān)于單位圓周C:x2+y2=1的對(duì)稱點(diǎn)P*所滿足的方程是( ).

A.x2-y2=x4+y4B.x2-y2=(x2+y2)2

C.x2-y2=2(x4+y4) D.x2-y2=2(x2+y2)2

22.在邊長為1的正六邊形ABCDEF中，記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為a1,a2,a3,a4,a5；以D為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為d1,d2,d3,d4,d5.若m,M分別為(ai+aj+ak)·(dr+ds+dt)的最小值與最大值，其中{i,j,k}?{1,2,3,4,5},{r,s,t}?{1,2,3,4,5}，則( ).

A.m=0,M>0 B.m<0,M>0

C.m<0,M=0 D.m<0,M<0

圖2

24.已知a>b>c,a+b+c=0，直線y=-bx與拋物線y=ax2+bx+c交于A,B兩點(diǎn).若點(diǎn)A,B在x軸上的射影分別為A1,B1，則當(dāng)a,b,c變化時(shí)，|A1B1|的取值范圍是( ).

25.已知集合A?{1,2,3,…,2000}，且集合A中的任意一個(gè)元素均不是另一個(gè)元素的5倍，求集合A的元素個(gè)數(shù)的最大值.

26.在與水平地面垂直的墻壁上掛有一幅矩形畫，畫的上、下邊緣分別在觀察者水平視線上方am和bm處.若要使觀察者的視角最大，則觀察者與墻壁的距離是( ).

參考答案

又因?yàn)閘g(log310)=-lg(lg3)，所以

f(lg(log310))+f(lg(lg3))=5+f(lg(lg3))=8,

f(lg(lg3))=3.

注本題即2007年復(fù)旦大學(xué)千分考第75題.

2.由題設(shè)，可得0logatanθ>0,x

再由0

注本題與2012年卓越聯(lián)盟自主招生數(shù)學(xué)試題第3題實(shí)質(zhì)相同，這道題是：

圖3

綜上所述，可得所求當(dāng)a=0時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-6)∪(6,+∞).

即a<-6.

即a>6.

因而所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-6)∪(6,+∞).

注本題就是2008年高考上海卷理科第11題.

4.可設(shè)z=cosθ+isinθ(0≤θ<2π)，因而方程z2-2az+a2-a=0即

[(cosθ-a)2-sin2θ-a]+2isinθ(cosθ-a)=0，

(cosθ-a)2-sin2θ-a=sinθ(cosθ-a)=0。

進(jìn)而可得下面的三種情形：

由題設(shè)可得它們均是正根，所以0

6.由題設(shè)，可得

再由題設(shè)，可得

n-m=m=3k(k∈N*).

所以n-m的最小值是3.

7.解法1 由題設(shè)及數(shù)學(xué)歸納法，可證得xn>0(n∈N*)，所以

若xn∈Z，可得3(n-4)/3∈N*，進(jìn)而可得所求n的最小值是4.

解法2 由題設(shè)，可得

x3=(33-2/3)31/3=33-1/3,x3?Z;x4=(33-1/3)31/3=1,x4∈Z.

因而所求n的最小值是4.

8.可得

所以

9.解法1 由均值不等式，可得

把它們相加后，可得

進(jìn)而可得答案.

當(dāng)x,y,z均是正數(shù)時(shí)：

x2+y2sin2θ≥2xysinθ(當(dāng)且僅當(dāng)x=ysinθ時(shí)取等號(hào)),

y2cos2θ+z2≥2yzcosθ(當(dāng)且僅當(dāng)ycosθ=z時(shí)取等號(hào)).

把它們相加，得

x2+y2+z2≥2(xysinθ+yzcosθ)(當(dāng)且僅當(dāng)x∶y∶z=sinθ∶1∶cosθ時(shí)取等號(hào)).

當(dāng)x,y,z均是負(fù)數(shù)時(shí)，也可得上述結(jié)論成立.

所以由三元均值不等式，可得

注本題即2011年華約自主招生試題第9題，與2016年北京大學(xué)全國優(yōu)秀中學(xué)生暑期夏令營數(shù)學(xué)試題第7題也實(shí)質(zhì)相同.

11.A.由凸函數(shù)的定義可知，其圖象下凸，進(jìn)而可得答案.

12.由|z1|=4知，可設(shè)z1=4cosθ+4isinθ.

13.解法1由題設(shè)，可得

解法2由題設(shè)，可得

14.解法1 如圖4所示，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓⊙O(其半徑為r)與三邊AB,BC,CA分別切于點(diǎn)D,E,F.由切線長定理，可設(shè)AD=AF=u,BD=BE=v,CE=CF=w.

圖4

由海倫公式，可得

所以

解法2 由題設(shè)及正弦定理，可得

sinA+sinC=3sinB,

注本題即2010年華約自主招生試題第5題.

15.由7n+4-7n=7n(74-1)=100·24·7n，可得7n+4與7n的末兩位數(shù)相同，這里n∈N*，約定71的末兩位數(shù)是07即7.

進(jìn)而可得{an}是周期數(shù)列且一個(gè)周期是4，還可得a1=7,a2=13,a3=7,a4=1，所以

a1+a2+a3+…+a2019+a2020=505(a1+a2+a3+a4)=505(7+13+7+1)=14140.

又因?yàn)閍2020=a4=1，所以a1+a2+a3+…+a2019=14139.

16.D.設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，三邊長分別為a,b,c，外心O到三邊a,b,c的距離分別是k,m,n，可得2S△OAB=R2sin2C=cn=2RnsinC,n=RcosC，…所以k∶m∶n=cosA∶cosB∶cosC.

注對(duì)于任意△ABC，相應(yīng)的結(jié)論是k∶m∶n=|cosA|∶|cosB|∶|cosC|.

證明如下：當(dāng)C是鈍角時(shí)，可得

2S△OAB=R2sin(2π-2C)=-R2sin2C

=-2R2sinCcosC=cn=2RncosC,

n=-RcosC=R|cosC|.

進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.

本題即2012年北約自主招生數(shù)學(xué)試題第4題.

17.(3,4).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，可得點(diǎn)P到題中六個(gè)點(diǎn)的折線距離之和

L=(|x+2|+|x+1|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|)+(|y-1|+|y-2|+2|y-4|+|y-5|+|y-6|).

由零點(diǎn)討論法，可得

對(duì)于函數(shù)

f(x)=|x+2|+|x+1|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|,

當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，f(x)取到最小值.

對(duì)于函數(shù)

g(y)=|y-1|+|y-2|+2|y-4|+|y-5|+|y-6|,

當(dāng)且僅當(dāng)y=4時(shí)，g(y)取到最小值.

進(jìn)而可得答案.

注本題與下面的一道高考題如出一轍：

(2009上海高考理科第13題)某地街道呈現(xiàn)東—西、南—北向的網(wǎng)格狀，相鄰街距都為1.兩街道相交的點(diǎn)稱為格點(diǎn).若以互相垂直的兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點(diǎn)(-2，2)，(3，1)，(3，4)，(-2，3)，(4，5)，(6，6)為報(bào)刊零售點(diǎn).請(qǐng)確定一個(gè)格點(diǎn)(除零售點(diǎn)外)____為發(fā)行站，使6個(gè)零售點(diǎn)沿街道到發(fā)行站之間路程的和最短.(答案：(3,3).)

18.B.通過畫圖可知，題設(shè)即B?A，也即圓x2+(y-a)2=1在拋物線y=x2內(nèi)(拋物線內(nèi)指含焦點(diǎn)的區(qū)域，因而a≥1).

進(jìn)而可得題設(shè)即拋物線y=x2上的任意一點(diǎn)(t,t2)均不在圓x2+(y-a)2=1內(nèi)，也即t2+(t2-a)2≥1(t∈R),

19.解法1 可先用數(shù)學(xué)歸納法證得an>0(n∈N*)，因而

解法2 可先用數(shù)學(xué)歸納法證得an>0(n∈N*)，進(jìn)而可得題設(shè)中的遞推式即

再由an>0(n∈N*)，可得

20.逆命題：若一個(gè)函數(shù)不是周期函數(shù)，則它是單調(diào)函數(shù)；

否命題：若一個(gè)函數(shù)不單調(diào)，則它是周期函數(shù)；

逆否命題：若一個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，則它不是單調(diào)函數(shù).

令x=x0t,y=y0t,得

x2-y2=(x2+y2)2.

此即點(diǎn)Pn的軌跡方程.

注本題即2010年復(fù)旦大學(xué)千分考第140題.

22.D.如圖5所示，線段AD是正六邊形ABCDEF的主對(duì)角線.

圖5

在所有的ap·dq(p,q∈{1,2,3,4,5})中，只有a1·d5與a5·d1為正數(shù)，且在所有的|ap·dq|(p,q∈{1,2,3,4,5})中，最小的是|a1·d5|與|a5·d1|，所以(ai+aj+ak)·(dr+ds+dt)的展開式的9項(xiàng)之和是負(fù)數(shù)，所以題中的最大值M<0，進(jìn)而可得答案是D.

23.C.如圖6所示建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，其中點(diǎn)C在x軸的正半軸上，點(diǎn)D在坐標(biāo)平面xOy內(nèi).

圖6

可設(shè)A(3a,3b,3c)(c>0),C(3d,0,0)(d>0),D(3e,3f,0)，進(jìn)而可得E(a,b,c),F(a+2d,b,c),G(a+2e,b+2f,c)，再求得平面BCG,CDE,DBF的方程分別是cy-(b+2f)z=0,cfx+c(d-e)y+(be+3df-af-bd)z-3cdf=0，cfx-cey+(be-af-2df)z=0.

25.可得所求答案是

26.B.如圖7所示建立平面直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)畫的上、下邊緣分別是點(diǎn)B,A，|OB|=a,|OA|=b，本題即在x軸的正半軸上尋找一點(diǎn)C，使得∠ACB最大.

圖7

如圖7所示，過點(diǎn)A,B作一個(gè)圓與x軸相切(切點(diǎn)C在x軸的正半軸上)，則點(diǎn)C即為所求的最大值點(diǎn)(參見圖7，用平面幾何中圓的知識(shí)極易獲證此結(jié)論).

也可這樣求解(參見圖7)：設(shè)點(diǎn)C在x軸的正半軸上，|OC|=x(x>0)，可得

注本題與下面的一道高考題實(shí)質(zhì)相同：

圖8

(1986年全國高考理科第19題)如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，在y軸的正半軸(坐標(biāo)原點(diǎn)出外)上給定兩點(diǎn)A、B.試在x軸的正半軸(坐標(biāo)原點(diǎn)出外)上求點(diǎn)C，使∠ACB取得最大值.