兩類數(shù)列不等式證明的思維解密—從2019年高考浙江卷第20題所想到的

廣州市廣東廣雅中學(xué)(510160) 徐廣華

引言我們常說,“教學(xué)既是一門科學(xué),又是一門藝術(shù)”,如何把數(shù)學(xué)中一些“只可意會(huì),不可言傳”的思想方法用最通俗易懂的方式傳授給學(xué)生,既是擺在數(shù)學(xué)教師面前的重要課題,也是體現(xiàn)教師功底和高明之處的專業(yè)技術(shù).解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分,貫穿著數(shù)學(xué)課堂的始終.多年前,華南師大附中數(shù)學(xué)特級教師李淦林曾經(jīng)講過:要從學(xué)生的視角探討解題教學(xué),一個(gè)好的解法,應(yīng)是一個(gè)從學(xué)生實(shí)際出發(fā)的解法;應(yīng)是一個(gè)“從學(xué)生中來,到學(xué)生中去”的解法;應(yīng)是一個(gè)讓學(xué)生經(jīng)歷過程體驗(yàn)或?qū)嵺`感悟的解法;應(yīng)是一個(gè)使學(xué)生聰慧的解法.對此,筆者深有同感.

題目(2019年高考浙江第20題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn, a3=4, a4=S3.數(shù)列{bn}滿足:對每個(gè)n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列.

(I)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;

(II)記cn=,證明:c1+c2+···+cn＜

分析(I)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列出方程組,可解得a1=0,d=2,從而an=2n-2,n∈N*·Sn=n2-n,n∈N*,利用(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn),容易求出bn=n2+n,n∈N*.

即n=k+1時(shí),不等式也成立.由1○2○得c1+c2+···+cn＜n∈N*.

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立,即c1+c2+···+ck＜則當(dāng)n=k+1時(shí),c1+c2+···+ck+ck+1＜+要證當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立,只要證c1+c2+···+ck+ck+1＜＜故只要證

而所以得證!

這里,我們利用分析法將這類數(shù)列不等式的證明問題化歸為證明其成立的一個(gè)充分條件,思路顯得非常自然、順暢,易被學(xué)生接受.

例1(2010年高考湖北卷理科第21題)已知函數(shù)

分析(3)設(shè)則不等式的左邊是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.記不等式的右邊為Tn=ln(n+1)+看作是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,則當(dāng)n≥2時(shí),bn=Tn-Tn-1=當(dāng)n=1時(shí),b1=T1=也滿足上式,故因此只要證an＞bn,即也就是證即可.用換元法:令則,只要證

評注本題是2010年高考湖北理科卷的壓軸題,第(3)問難度很大,命題者的立意是想利用第(2)問的結(jié)論來解決第(3)問,但問題是將第(2)問不等式的中的x賦哪個(gè)與n有關(guān)的值才恰當(dāng)呢?這里,我們通過分析法進(jìn)行一步一步地轉(zhuǎn)化,將解題思路暴露無遺,遠(yuǎn)比參考答案中提供的“帽子里變出兔子”的方法容易理解和掌握!

例2(2012年高考天津卷理科第20題)已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0,其中a＞0.

分析(3)原不等式即為2+ln(2n+1)(n∈N*),等價(jià)于證明:ln(2n+1)(n≥2),因?yàn)樗灾灰Cln(2n+1)(n∈N*),設(shè),則不等式的左邊是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.記不等式的右邊為Tn=ln(2n+1)看作是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,易得因此只要證an＜bn,也就是證即可.用換元法:令則只要證

例3(2008年高考陜西卷理科第22題)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)n=1,2,···.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)略.(3)證明:a1+a2+···+

分析(過程略);(2)略.

(3)不等式的左邊是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.記不等式的右邊為看作是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,易得因此只要證an＞bn,也就是證即可.只要證3n+2＞2n(n+1),即證

注意到:當(dāng)n=2時(shí),不等式(*)不成立.因此考慮對原不等式分類討論證明:當(dāng)n=1時(shí),左邊=右邊;當(dāng)n=2時(shí),左邊=右邊;所以,當(dāng)n=1,2時(shí)原不等式成立.

評注本題是2008年高考陜西理科卷的壓軸題,參考解答中第(3)問的證明如下:由(2)知,對任意的x＞0,有

以上證明過程盡管非常精妙,讓人嘆為觀止,但試問在緊張的高考場上有幾個(gè)考生能想到對第(2)問中的賦這樣“古怪”的值呢?此外,為了證明第(3)問,命題者“處心積慮”創(chuàng)造出第(2)問這個(gè)不等式作為鋪墊,可謂用心良苦!但如果沒有了第(2)問這一“絕技”,筆者的解題思路將顯得更加平實(shí).

例4(2012年廣州一模理科第21題)設(shè)f(x)=ex(e為自然對數(shù)的底數(shù)),gn(x)=1+x++···+

(1)證明:f(x)≥g1(x);

(2)當(dāng)x＞0時(shí),比較f(x)與gn(x)的大小,并說明理由;

分析(1)略;(2)用數(shù)學(xué)歸納法或作商構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)后由單調(diào)性得f(x)＞gn(x);

(3)由(2)知,gn(1)＜f(1)=e,只要再證

證法3由n元均值不等式,得即兩邊n次方,得證!

例5在數(shù)列{an}中,已知a1= 2, an+1=

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

分析(過程略).

例6(1)求證:＜ln(n+1)＜

分析(1)記Tn=ln(n+1)看作是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,易得記,則只要證an＜bn＜cn,用換元法:令則只要證移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后利用單調(diào)性即可證之(過程略).

設(shè)An和Bn分別為數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)積,顯然,若0＜an＜bn(n∈N*),利用不等式的“正數(shù)同向可乘性”這一基本性質(zhì),則有An＜Bn.這啟發(fā)我們,要證明不等式,如果記Bn=f(n)看作是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積,則那么只要證其通項(xiàng)滿足0＜an＜bn(充分條件)即可.

例7(2009年高考山東卷理科第20題)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知對任意的n∈N*,點(diǎn)(n,Sn)均在函數(shù)y=bx+r(b＞0且b/=1,b,r均為常數(shù))的圖像上.

(1)求r的值;

分析(1)r=-1(過程略).(2)當(dāng)b=2時(shí)an=2n-1, bn=2n,則不等式的左邊是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)積,記不等式的右邊為看作是數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)積,則當(dāng)n≥2時(shí),當(dāng)n=1時(shí),也滿足上式,故因此只要證cn＞dn,即證只要證由基本不等式,得得證!

評注以上分析思路清晰,比參考答案中用數(shù)學(xué)歸納法證明要簡潔得多,比挖空心思用“放縮法”少了技巧,降低了思維的起點(diǎn),也充分暴露了“放縮法”的思維過程.

例8(2009年高考廣東卷理科第21題)已知曲線Cn:x2-2nx+y2=0(n=1,2,···).從點(diǎn)P(-1,0)向曲線Cn引斜率為kn(kn＞0)的切線ln,切點(diǎn)為Pn(xn,yn).

(1)求數(shù)列{xn}與{yn}的通項(xiàng)公式;

例9(2008年高考福建卷理科第22題)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)記f(x)在區(qū)間[0,n](n∈N*)上的最小值為bn,令an=ln(1+n)-bn.

分析(1)略;(2)an=n,1○略.前n項(xiàng)和,記不等式的右邊為看作是數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和,易得dn=因此只要證cn＜dn,而故只要證記,則cn是數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)積,設(shè)看作是數(shù)列{tn}的前n項(xiàng)積,則易得因此只要證xn＜tn,即證例8分析(2)已證.

例10(2012年深圳一模理科第21題)已知數(shù)列{an}滿足:n∈N*,(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;

(2)設(shè)Sn=a1+a2+···+an, Tn=a1·a2·a3·····an,求證:

分析(1)an=(過程略).

(2)記Bn=看成是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,易得因此,要證只要證an≤bn,

只需證en-1≥n(n∈N*).構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-1-x(x≥1),則f′(x)=ex-1-1≥0,故f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù).因?yàn)閚≥1,所以f(n)≥f(1)=0,移項(xiàng)得en-1≥n,得證!記Cn=e-n2看成是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)積,易得cn=e-(2n-1)(n∈N*).因此,要證Tn＞e-n2,只要證an＞cn,只需證(n+1)en-1＜e2n-1,即證en＞n+1(n∈N*).因?yàn)閚+1＞1,所以f(n+1)＞f(1)=0,移項(xiàng)得en＞n+1,得證!

結(jié)束語

數(shù)學(xué)解題教學(xué)既要為學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)情境和想象的空間,也要為學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)思維的空間,引導(dǎo)學(xué)生如何去思考、去分析、去發(fā)現(xiàn)、去感悟、去創(chuàng)造,進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).如果老師的解題講解只是一味地照搬參考答案,讓學(xué)生錯(cuò)誤地以為數(shù)學(xué)解題就是追求一些只可意會(huì)不可言傳甚至是虛無縹緲的高超技巧,忽視了通性通法,不知來龍去脈,也不知從何想起,沒有從學(xué)生的角度去思考、分析問題,沒有暴露解題的思維過程,那么學(xué)生就很可能只有欣賞的份—-心有余而力不足.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升是一個(gè)綜合持續(xù)發(fā)展的過程,它并非單純地通過被動(dòng)接受數(shù)學(xué)事實(shí)來實(shí)現(xiàn),而是更多地需要通過對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟,對數(shù)學(xué)知識的自我構(gòu)建等活動(dòng)來實(shí)現(xiàn).因此課堂上師生、生生多探討交流,多暴露思維的過程,這對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性、創(chuàng)造性等都有積極的作用.