多體系統(tǒng)中相干資源的一般化理論*

劉鋒 高冬梅 蔡曉秋

1) (山東工商學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,煙臺 264005)

2) (北京郵電大學(xué)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)研究院,北京 100876)

3) (洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,洛陽 471934)

量子相干理論是一類重要的量子資源理論,其自由操作是各種類型的非相干操作.在單體相干資源理論中,最大相干態(tài)是最重要的量子資源態(tài),它被定義為在非相干操作下可以轉(zhuǎn)化為任何其他純態(tài)的量子態(tài).但是,這一情形在多體系統(tǒng)中發(fā)生了巨大改變：不僅在有些相干度量下不存在唯一的最大相干態(tài),而且在有些非相干操作下幾乎所有純的相干多體態(tài)都不可比較(非相干操作下,量子態(tài)之間的轉(zhuǎn)換幾乎不可能).為了解決這一問題,把非相干操作的定義擴(kuò)展為一種不能產(chǎn)生相干的量子操作,即研究一般化的相干資源理論.具體地說,基于量子資源是否來源于多體相干或者真的多體相干研究兩類可能的量子資源理論框架,并且指出在這些理論框架下存在合理的偏序關(guān)系(每個純態(tài)都可在非相干操作下轉(zhuǎn)換為相干度更弱的純態(tài)).另外,還證明了真的多體相干資源理論下存在唯一的最大相干態(tài).

1 引 言

量子相干沒有與之對應(yīng)的經(jīng)典量,是量子理論的顯著特征.與糾纏資源理論[1,2]類似,相干資源理論[3,4]的目的在于提供一套定量刻畫相干的框架,并且最終達(dá)到在量子技術(shù)領(lǐng)域完全理解相干的性能和局限的目的.到目前為止,單體系統(tǒng)上的相干資源理論[3,5-8]比多體系統(tǒng)上[9,10]發(fā)展的要完善得多.雖然多體系統(tǒng)上的相干資源已經(jīng)在量子密碼學(xué)[11-16],單向量子計算[17-19],非平衡庫下腔場演化[20]等量子信息處理領(lǐng)域得到了一定的應(yīng)用,但是對多體相干態(tài)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的深刻理解可以進(jìn)一步激發(fā)人們設(shè)計出量子信息科學(xué)中的新方案,以及研究固態(tài)物理的新工具.

作為一種資源理論,量子相干理論的廣泛應(yīng)用當(dāng)前已經(jīng)成為量子信息領(lǐng)域的一個研究熱點[3,21-26].人們從量子糾纏[2]、量子非局域性[27]或者量子導(dǎo)引[28,29]等不同角度研究相干的各種量子效應(yīng).資源理論的主要任務(wù)是實現(xiàn)量子態(tài)集合的排序以及為資源態(tài)提供一種度量其屬性的方法.在這類任務(wù)中,自由操作扮演著重要角色,其中自由操作是一種映射并且它的產(chǎn)生可不消耗任何物理成本.因此,所有可經(jīng)自由操作制備的態(tài)都是自由態(tài),而非自由態(tài)體現(xiàn)資源的狀態(tài).自由操作在資源態(tài)之間建立了一種秩序：當(dāng)一個態(tài)ρ經(jīng)由某種自由操作轉(zhuǎn)變?yōu)閼B(tài)σ,則任意可由σ完成的量子信息任務(wù)也可以由ρ完成,從而ρ包含的量子資源不少于σ.

由于相干是帶有多個疊加項的量子系統(tǒng)的特征,可知在這種資源理論中自由操作的一種自然選擇是非相干操作[5,30].實際上,僅把非相干操作作用于各個疊加項只能生成非相干態(tài),而相干態(tài)克服非相干操作施加的束縛成為一種資源.另外,相干性作為一種資源,但是自由操作卻并不被認(rèn)為是更廉價的.這是因為往往自由操作(比如CNOT操作)比非自由操作更難實現(xiàn).在多體相干性的資源理論中,其參考基可以任意選取,有時甚至可以選擇Bell基作為參考基.但是,這種選擇通常缺乏實際的物理意義,因為Bell態(tài)相對其他單體的直積態(tài)更難制備,需要消耗更多的物理資源.因此探索多體的完全非相干態(tài)或者兩體非相干態(tài)就非常有物理意義.從自由操作的角度看,完全非相干操作,或者兩體非相干操作,類似于糾纏資源理論中的局域操作與經(jīng)典通信(LOCC)比CNOT這種非相干操作更具有實際意義,實驗上實現(xiàn)起來也較為容易[31].Du等[32]研究了純的相干態(tài)在非相干操作下的各種轉(zhuǎn)換,從而指出非相干操作建立了一種偏序關(guān)系,更重要的是證明了在選定的局域維數(shù)下最大相干態(tài)具有唯一性.最近,Wu等[31]從理論和實驗的角度徹底解決了二維量子系統(tǒng)中態(tài)在自由操作下的轉(zhuǎn)化問題.最大相干態(tài)可以經(jīng)由非相干操作轉(zhuǎn)變?yōu)槿魏瓮S數(shù)的其他量子態(tài),但是同維數(shù)的任何其他量子態(tài)不能經(jīng)由非相干操作轉(zhuǎn)換為該態(tài).這個態(tài)也就順理成章地成為相干度量的一個重要標(biāo)準(zhǔn),并且在諸如單向量子計算[17,18]等量子信息任務(wù)中成為單體量子系統(tǒng)中最有用的量子態(tài).但是,這一情形在多體量子系統(tǒng)中不復(fù)存在,因為多體量子系統(tǒng)中存在不等價的相干態(tài),使得量子態(tài)空間被分為幾個隨機(jī)的非相干類,其中同一類中的態(tài)可經(jīng)由非相干操作以非零的概率相互轉(zhuǎn)化,但是不同類間的態(tài)不能經(jīng)由非相干操作轉(zhuǎn)化.這一現(xiàn)象表明在多體量子系統(tǒng)中不存在唯一的最大相干態(tài).這一結(jié)果導(dǎo)致的一種極端情形是：在至少三體系統(tǒng)中,幾乎所有的純態(tài)都是孤立的,即每個純態(tài)都不能從具有相同維數(shù)的另一個純態(tài)經(jīng)由非相干操作轉(zhuǎn)換而來.這一結(jié)果意味著幾乎所有的純態(tài)都不能利用非相干操作進(jìn)行比較,因此非相干操作下的多體相干資源理論是平凡的.

我們相信這一現(xiàn)象要求對相干資源理論進(jìn)行更加深入的研究,特別是審查用來建立偏序關(guān)系的非相干操作.實際上,雖然非相干操作轉(zhuǎn)移有明確的操作性解釋,但是它不是可以把非相干態(tài)映射為非相干態(tài)的最一般種類的非相干映射.換句話說,非相干操作嚴(yán)格地包含于至少一個子系統(tǒng)上的操作是非相干操作的量子操作類型中.因此,這類更廣泛的量子操作類型原則上可以建立更有意義的序列,解釋多體相干態(tài)系統(tǒng)中更清晰的結(jié)構(gòu).這也正是本文的主要目的.文獻(xiàn)[33,34]把LOCC操作擴(kuò)展為非糾纏操作.借助文獻(xiàn)[33,34]的思想,為了尋找到多體系統(tǒng)中非平凡的相干資源理論是否存在,我們在至少一個子系統(tǒng)上的操作是非相干操作的量子操作,這一最大可能的非相干操作類下研究相干資源理論.由僅在某些子系統(tǒng)上是相干態(tài),可知該量子態(tài)不是完全非相干態(tài)(FiC).進(jìn)一步地,將所有子系統(tǒng)都相干的的態(tài)稱為真正的多體相干態(tài)(GMC).從而,在多體情形下,存在兩類不同形式的相干理論：第一類中相干態(tài)是資源態(tài),自由操作是完全的非相干保護(hù)操作(FiCP)；另一類中GMC態(tài)是資源態(tài),自由操作是至少一個子系統(tǒng)上的非相干保護(hù)操作(OiCP).研究結(jié)果表明兩種形式的資源理論都是非平凡的,即不存在不等價形式的相干和孤立的資源態(tài).我們還研究了在上述理論下是否同單體系統(tǒng)類似存在唯一的多體最大相干態(tài).在FiCP操作以及三量子比特系統(tǒng)上,答案是否定的.但是,在OiCP操作的GMC 資源理論上,答案是肯定的.最大的GMC態(tài)就是廣義的GHZ態(tài).

2 準(zhǔn)備知識

定義 HM與分別是M與對應(yīng)的Hilbert空間的張量積.令第i 個子空間 Hi的維數(shù)是d ,

是該空間的一組基.

當(dāng)n 體純態(tài)

且 |ψi〉∈Hi總是基上的非相干態(tài)時,稱其為FiC,否則是相干態(tài)；對于任意的 M?{1,2,···,n},如果總存在使得在任意選定的 HM的一組基上是非相干的在任意選定的的一組基上是非相干的,并且

則稱其為BiC,否則是GMC.利用凸運算,上述概念可以擴(kuò)展到混合態(tài)：所有完全相干態(tài)記為

所有兩體非相干態(tài)記為

其中 ψ=|ψ〉〈ψ|.

量子理論中的變換Λ是完全正的保跡映射(CPTP).對于任意的 ρ∈FiC,當(dāng)映射Λ滿足Λ(ρ)∈FiC時,稱其為FiCP；對于任意的 ρ∈BiC,當(dāng)映射Λ滿足 Λ(ρ)∈BiC時,稱其為OiCP.設(shè)f 是一個將H上的算子映射為非負(fù)實數(shù)的函數(shù),如果對于任意的量子態(tài)ρ和FiCP(OiCP)映射Λ,恒有 f [Λ(ρ)]≤f (ρ) ,則稱f 是FiCP度量(OiCP度量).這一要求完全類似于糾纏度量：LOCC映射下糾纏度量不增.盡管非相干操作是FiCP映射和OiCP映射的嚴(yán)格子集,一些已知的相干度量仍然是FiCP度量或者OiCP度量.比如,對于任意的CPTP映射Λ,當(dāng)距離測度 f (ρ||σ) 滿足量子運算不增 f (Λ(ρ)||Λ(σ))≤f (ρ||σ) 的性質(zhì)時,形如fΦ(ρ)=infσ∈ΦfΦ(ρ||σ)的度量具有類似的單調(diào)性,其中Φ∈{FiC,BiC}.這包括相對熵相干[5]

其中S(ρ||σ)=Tr[ρlog2ρ]-Tr[ρlog2σ]是量子相對熵；魯棒相干[35]

這里的 I都是空間H中基{|kj〉}上的集合 FiC或者 BiC.

在單體系統(tǒng)中,廣義的非相干映射(如FiCP,OiCP)下不是所有的基于非相干操作的相干度量均單調(diào).這是因為廣義的非相干映射下的態(tài)轉(zhuǎn)移,非相干操作下可能不會實現(xiàn).為了后續(xù)理解廣義的非相干映射下資源誘導(dǎo)的偏序,首先約定若存在自由操作Λ使得 Λ(ψ)=φ,則稱量子態(tài)ψ與φ之間存在偏序關(guān)系且ψ優(yōu)于φ；若同時存在另一個自由操作 Λ′滿足 Λ′(φ)=ψ,則稱兩個態(tài)ψ和φ在相應(yīng)的資源理論下是等價的.然后研究在FiCP和OiCP下哪些純態(tài)之間的轉(zhuǎn)移可以實現(xiàn).因此,盡管我們研究的是量子態(tài)的特征,這實際上也是建立等價類的過程.本文還將證明在OiCP和GMC的資源理論下等價類的范圍比現(xiàn)有的非相干資源理論下的更大.

3 一般化的資源理論

在相干資源理論中,當(dāng)自由操作是FiCP或OiCP映射時均有如下結(jié)論.

定理1對于任意的兩個資源純態(tài)ψ和φ,總存在完全正的跡不增的FiCP(OiCP)映射Λ使得Λ(ψ)=pφ,其中 p∈(0, 1].

證明對于純態(tài)ψ,它的幾何相干[36]表示為

由定義可知,CR(φ)＞ 0 ,1＞Cg(ψ)＞ 0.從而總存在 p∈(0, 1] ,滿足

選取完全正的跡不增的映射[37]Λ使得

從而Λ(σ)/tr[Λ(σ)]∈FiC(OiC)的充要條件是1-tr(ψσ)≥p tr(ψσ)CR(φ).再結(jié)合(10)式以及tr(ψσ)≤1-Cg(ψ)可知定理1成立.

這個結(jié)論表明：在FiCP(OiCP)的相干資源理論中,不存在等價形式的相干態(tài).這與IO相干資源理論中態(tài)空間總可以分成有限個等價類完全不同.作為定理1的推論,不難得到以下推論.

推論1每個資源態(tài)都不是孤立的,即對于空間H內(nèi)的任一個資源純態(tài)ψ,在H內(nèi)總存在一個不等價的資源純態(tài)φ和CPTP的FiCP(OiCP)映射Λ使得 Λ(ψ)=φ.

證明由魯棒度量是輸入態(tài)的連續(xù)函數(shù)[38]可知,存在資源純態(tài),使得當(dāng) φ→時,CR(φ)→ 0.從而,對于任意的量子態(tài)ψ,恒有Cg(ψ)＞CR()(1-Cg(ψ)).利用ψ的任意性,總可以給出一個使得 CR()／=CR() ,從而=；由(10)式可知我們能夠取得 p =1.從而(11)式中的映射可以表示為

該推論表明(13)式的自由操作類能夠建立相干資源純態(tài)之間的偏序關(guān)系,即每個資源純態(tài)都可以被映射為一個包含較少相干資源的純態(tài).在LOCC糾纏資源理論中,包括真的多體糾纏子集(GME)在內(nèi)的幾乎所有的量子態(tài)都是孤立的[39,40].但是,Contreras-Tejada等[34]指出即使在上述限制下推論1仍然成立,即保護(hù)完全可分的自由操作以及保護(hù)兩體可分的自由操作都可以把任一最大多體糾纏態(tài)映射為同類型的不相等的量子態(tài).

4 最大資源態(tài)的存在性

既然定理1和推論1都表明FiCP和OiCP操作都能克服IO多體相干資源理論的局限性,一個自然的問題是FiCP或OiCP相干資源理論是否足夠強(qiáng)健使得系統(tǒng)有唯一的多體最大相干態(tài).如果答案是肯定的,這個唯一的多體最大相干態(tài)就應(yīng)該同單體系統(tǒng)中的最大相干態(tài)一樣處于應(yīng)用的核心地位.為了解答這一問題,我們首先回顧一下d 維的單體系統(tǒng)H中最大資源態(tài)的描述性定義[32,34]：如果H上存在一個量子態(tài)φ,它可經(jīng)由自由操作轉(zhuǎn)化為H上任意的其他量子態(tài)(并且不存在可以把H上的其他量子態(tài)轉(zhuǎn)化為φ的自由操作),則稱φ是該類自由操作下資源理論的最大資源態(tài).我們先研究FiCP操作下相干資源理論中的情況,研究結(jié)果表明該理論框架下不存在多體的最大相干態(tài).

定理2在FiCP多體相干資源理論中,不存在 H=(C2)?3上的最大相干態(tài).

證明Contreras-Tejada等[34]證明了量子資源的幾何度量[41]是一種完全可分保護(hù)的度量方式,而W態(tài)是Hilbert空間H中完全可分保護(hù)操作下唯一的最大資源態(tài)[42].因此,如果FiCP 3-qubit相干資源理論存在最大資源態(tài),它就只能是W態(tài),也就是W態(tài)可經(jīng)由FiCP操作映射為該空間中任意的其他量子態(tài).

考慮魯棒相干度量 CR(*)：

考慮基{|0〉,|1〉}?3上的完全非資源態(tài)：σ=(|000〉〈000|+|111〉〈111|)/2.由文獻(xiàn)[44,34]可知

因此,如果W是FiCP 3-qubit相干資源理論中的最大相干態(tài),由 CR(GHZ)=CR(W)=2 可知GHZ態(tài)也是FiCP 3-qubit相干資源理論中的最大相干態(tài).在此假設(shè)下,該量子系統(tǒng)中就應(yīng)該存在一個FiCP Λ將W態(tài)映射為GHZ態(tài)：Λ(W)=GHZ.考慮完全非相干態(tài)

該no-go定理表明在 H=(C2)?3上不存在唯一的FiCP多體最大相干態(tài),這與IO下唯一的最大相干態(tài)為大不相同,其中求和指標(biāo)i 從000遍歷到111.但是,在OiCP相干資源理論中,定理3證明了在指定的Hilbert空間中存在唯一的多體最大相干態(tài).

定理3在 (Cd)?n空間上的OiCP相干資源理論中,存在唯一的最大多體相干態(tài)：

即 ?φ∈(Cd)?n,總存在一個OiCP映射Λ,使得Λ[GHZ(n,d)]=φ.

證明選取完全正的OiCP映射Λ使得

由定理1和定理2可知,Λ是OiCP映射的充要條件是CR(φ)≤Cg(GHZ(n,d))/[1-Cg(GHZ(n,d))].利用兩體的Schmidt分解方法[34,46]可知,廣義GHZ態(tài)有最大的相干度量值為Cg(GHZ(n,d)=(d- 1)/d.從而Λ是OiCP映射的充要條件是 CR(φ)≤d- 1.

因此,?φ∈(Cd)?n,總存在一個OiCP映射Λ,使得 Λ[GHZ(n,d)]=φ.

5 結(jié) 論

通過將自由操作放寬為一般的不產(chǎn)生相干的量子操作,本文建立了兩類一般化的相干資源理論框架：FiCP相干與OiCP相干.與已有的(*)IO(如IO,SIO,MIO,PIO等)相干資源理論不同,OiCP相干資源是具有唯一最大多體相干態(tài)的量子資源理論,而FiCP相干資源在3-qubit系統(tǒng)上不存在最大相干態(tài).本文中兩類一般化的相干資源理論為研究多體系統(tǒng)資源間的關(guān)系和轉(zhuǎn)化提供了新的研究工具：1) 自由操作是最大的保持非資源態(tài)的操作,如果將其操作更細(xì)化,分幾個不同的層次,比如可分離的局域非相干操作加上經(jīng)典通訊,將是非常有意義的；2) 以一般相干性資源理論為基礎(chǔ),研究多體系統(tǒng)資源間的關(guān)系和轉(zhuǎn)化關(guān)系與方法也是一種新穎的手段.