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    非線性歐拉方程φ(mn)=5φ(m)+8φ(n)+16的整數(shù)解

    2019-12-08 12:57:15倩,高
    延安大學學報(自然科學版) 2019年1期
    關鍵詞:因式數(shù)論歐拉

    高 倩,高 麗

    (延安大學數(shù)學與計算機科學學院,陜西延安716000)

    對于正整數(shù)n,歐拉函數(shù)φ(n)表示1,2…n-1中與n互素的正整數(shù)的個數(shù)。Euler函數(shù)φ(n)是數(shù)論中極為重要的一類函數(shù),而有關該方程解的研究也是數(shù)論中極具意義的研究課題之一,引起了不少數(shù)論學者的關注,也得到了一些結論,如文獻[1-4]。對于形如φ(mn)=k(φ(m)+φ(n)) (1)的Euler函數(shù)φ(n)這樣的線性方程有了一定的研究。文獻[5]討論了方程(1)在k=3為素數(shù)的情況,給出了k=3時方程(1)的部分解;而文獻[6]給出了k=3時方程(1)的全部解;文獻[7]給出了n≥2時方程(1)的全部解;文獻[8]討論了k=4,6時方程(1)各自的解;文獻[9]給出了k=5時方程(1)的全部解。而對于形如φ(mn)=aφ(m)+bφ(n)+c(2)的Euler函數(shù)φ(n)的非線性方程,文獻[10]討論了當a=3,b=4,c=16時方程 (2)的全部解。本文將討論當a=5,b=8,c=16時非線性歐拉方程φ(mn)=5φ(m)+8φ(n)+16(3)的整數(shù)解。

    1 相關引理

    引理1[10]對任意正整數(shù)m與n,若m|n則

    φ(m)|φ(n)。

    引理2[10]對任意的正整數(shù)m與n,有

    引理3[10]當n≥2時,φ(n)≤n,當n≤3時,

    φ(n)必為偶數(shù)。

    引理4[10]p為素數(shù),φ(x)=2p的解x為:

    (1)當p=2時,x=5,8,10,12;

    (2)當p=3時,x=7,9,14,18。

    引理5[11]若φ(x)=2,則x=3,4,6。

    若φ(x)=22,則x=5,8,10,12。

    若φ(x)=23,則x=15,16,20,24,30。

    若φ(x)=24,則x=17,32,34,40,48,60。

    若φ(x)=25,則x=51,64,68,80,96,102,120。

    若φ(x)=26,則x=85,128,136,140,160,170,192,204。

    引理6[12]若φ(x)=12,則

    x=13,21,26,28,36,42;

    若φ(x)=48,則

    x=105,112,135,168,180,210。

    2 定理及其證明

    定理非線性歐拉方程φ(mn)=5φ(m)+

    8φ(n)+16有正整數(shù)解:

    (m,n)=(17,13),(17,21),(17,26),(17,28),(17,36),(17,42),(32,13),(32,21),(34,13),(34,21),(40,13),(40,21),(48,13),(60,13),(85,7),(85,9),(85,14),(85,18),(128,7),(128,9),(136,7),(136,9),(140,9),(160,7),(160,9),(170,7),(170,9),(192,7),(204,7),(34,8),(34,10),(34,12),(48,10),(32,12),(40,10),(40,12),(60,8),(80,6),(96,6),(102,6),(120,6),(40,15),(40,8),(48,8),(32,8),(30,15),(15,30),(105,12),(135,12)共49組。

    證明設(m,n)=d,則φ(m)=m1φ(d),φ(n)=n1φ(d)。其中m1,n1∈Z+。由方程(3)得φ(d)(dm1n1-5m1-8n1)=16則φ(d)=1,2,4,8,16。

    情況1:當φ(d)=1時,有dm1n1-5m1-8n1=16。由φ(d)=1得d=1,2。

    當d=1時,有m1n1-5m1-8n1=16,即有(m1-8)(n1-5)=56,根據(jù)因式與因式的所有關系,建立關系式,從而得到(m1,n1)=(9,61),(10,33),(5,13),(12,19),(16,12),(22,9),(36,7),(64,6)。因為當(m1,n1)=(10,33),(5,13),(12,19),(22,9),(36,7),(9,61)時,φ(m),φ(n)中至少有一個大于1的奇數(shù),因此方程(3)無解。所以(m1,n1)=(16,12),(64,6)。

    當(m1,n1)=(16,12)時φ(m)=16,φ(n)=12。m=17,32,34,40,48,60;n=13,21,26,28,36,42。則(m,n)=(17,13),(17,21),(17,26),(17,28),(17,36),(17,42),(32,13),(32,21),(34,13),(34,21),(40,13),(40,21),(48,13),(60,13)。

    當(m1,n1)=(64,6)時有φ(m)=64,φ(n)=6,此時m=85,128,136,140,160,170,192;n=7,9,14,18。則(m,n)=(85,7),(85,9),(85,14),(85,18),(128,7),(128,9),(136,7)(136,9),(140,9)(160,7)(160,9)(170,7)(170,9),(192,7),(204,7)。

    當d=2時,有2m1n1-5m1-8n1=16。即有(m1-4)(2n1-5)=36。從而得到(m1,n1)=(8,7),(16,4),(40,3),而(m1,n1)=(8,7),(40,3)中至少有一個大于1的奇數(shù),因此方程(3)無解。所以(m1,n1)=(16,4),此時φ(m)=16,φ(n)=4。有φ(m)=16,φ(n)=4,m=17,32,34,40,48,60;n=5,8,10,12。則(m,n)=(34,8),(34,10),(34,12),(48,10)。

    情況2:當φ(d)=2時,dm1n1-5m1-8n1=8。由φ(d)=2得d=3,4,6。

    當d=3時,3m1n1-5m1-8n1=8,即有(3m1-8)(6n1-10)=128。從而得到(m1,n1)=(3,23),(4,7),(8,3),(24,2),而在(m1,n1)=(3,23),(4,7),(8,3)中至少有一個大于1的奇數(shù),所以方程(3)無解。又當(m1,n1)=(24,2)時,此時φ(m)=48,φ(n)=4。而m=105,112,135,168,180,210;n=5,8,10,12。則(m,n)=(105,12),(135,12)。

    當d=4時,有4m1n1-5m1-8n1=8,即有(3m1-6)(4n1-5)=54。從而得到(m1,n1)=(8,2),此時φ(m)=16,φ(n)=4。m=17,32,34,40,48,60;n=5,8,10,12。則(m,n)=(32,12),(40,10),(40,12),(60,8)。

    當d=6時,有6m1n1-5m1-8n1=8,即有(3m1-4)(6n1-5)=44。從而得到(m1,n1)=(16,1),此時φ(m)=32,φ(n)=2,m=51,64,68,80,96,102,120;n=3,4,6。則(m,n)=(80,6),(96,6),(102,6),(120,6)。

    情況3:當φ(d)=4時,dm1n1-5m1-8n1=4。由φ(d)=4得d=5,8,10,12。

    當d=5時,有5m1n1-5m1-8n1=4,即有(5m1-8)(n1-1)=12。從而得到(m1,n1)=(2,7),(4,2),而當(m1,n1)=(2,7)時,方程(3)無解。則當(m1,n1)=(4,2)時,φ(m)=16,φ(n)=8。m=17,32,34,40,48,60;n=15,16,20,24,30。則(m,n)=(40,15)。

    當d=8時,有8m1n1-5m1-8n1=4,即有(5m1-5)(8n1-5)=45。從而得到(m1,n1)=(4,1),此時φ(m)=16,φ(n)=4。m=17,32,34,40,48,60;n=5,8,10,12。則(m,n)=(40,8),(32,8)(48,8)。

    當d=10時,有10m1n1-5m1-8n1=4,即有(5m1-4)(2n1-1)=8。經(jīng)計算不存在m1,n1∈Z+使之成立,因此方程(3)無解。

    當d=12時,有12m1n1-5m1-8n1=4,即有(3m1-2)(12n1-5)=22。經(jīng)計算不存在m1,n1∈Z+使之成立,因此方程(3)無解。

    情況4:當φ(d)=8時,有dm1n1-5m1-8n1=2。由φ(d)=8可得d=15,16,20,24,30。

    當d=15時,有15m1n1-5m1-8n1=2,即有(15m1-8)(3n1-1)=14。從而得(m1,n1)=(1,1),此時φ(m)=8,φ(n)=8。m=15,16,20,24,30;n=15,16,20,24,30。則(m,n)=(15,30),(30,15)。

    當d=16時,有16m1n1-5m1-8n1=2,即有(2m1-1)(16n1-5)=9。

    當d=20時,有20m1n1-5m1-8n1=2,即有(5m1-2)(4n1-5)=4。

    當d=24時,有24m1n1-5m1-8n1=2,即有(3m1-1)(24n1-5)=1。

    當d=30時,有30m1n1-5m1-8n1=2,即有(15m1-4)(6n1-5)=10。

    經(jīng)計算可得,當d=16,20,24,30時,對于方程dm1n1-5m1-8n1=2,不存在m1,n1∈Z+使之成立,因此方程(3)只有解(m,n)=(15,30),(30,15)。

    情況5:當φ(d)=16時,dm1n1-5m1-8n1=1。由φ(d)=16可得d=17,32,34,40,48,60。

    當d=17時,有17m1n1-5m1-8n1=1,即有(17m1-8)(17n1-5)=57。

    當d=32時,有32m1n1-5m1-8n1=1,即有(4m1-1)(32n1-5)=9。

    當d=34時,有34m1n1-5m1-8n1=1,即有(34m1-8)(34n1-5)=74。

    當d=40時,有40m1n1-5m1-8n1=1,即有(5m1-1)(8n1-1)=2。

    當d=48時,有48m1n1-5m1-8n1=1,即有(6m1-1)(48n1-5)=11。

    當d=60時,有60m1n1-5m1-8n1=1,即有(30m1-4)(12n1-1)=10。

    經(jīng)計算可得,當d=17,32,34,40,48,60時,對于方程dm1n1-5m1-8n1=1,不存在m1,n1∈Z+使之成立,因此方程(3)無解。

    綜上所述,該定理得證,即有本文結論。

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