非線性歐拉方程φ(mn)=5φ(m)+8φ(n)+16的整數(shù)解

高 倩，高 麗

(延安大學數(shù)學與計算機科學學院，陜西延安716000)

對于正整數(shù)n，歐拉函數(shù)φ(n)表示1，2…n-1中與n互素的正整數(shù)的個數(shù)。Euler函數(shù)φ(n)是數(shù)論中極為重要的一類函數(shù)，而有關該方程解的研究也是數(shù)論中極具意義的研究課題之一，引起了不少數(shù)論學者的關注，也得到了一些結論，如文獻[1-4]。對于形如φ(mn)=k(φ(m)+φ(n)) (1)的Euler函數(shù)φ(n)這樣的線性方程有了一定的研究。文獻[5]討論了方程(1)在k=3為素數(shù)的情況，給出了k=3時方程(1)的部分解；而文獻[6]給出了k=3時方程(1)的全部解；文獻[7]給出了n≥2時方程(1)的全部解；文獻[8]討論了k=4,6時方程(1)各自的解；文獻[9]給出了k=5時方程(1)的全部解。而對于形如φ(mn)=aφ(m)+bφ(n)+c(2)的Euler函數(shù)φ(n)的非線性方程，文獻[10]討論了當a=3,b=4,c=16時方程 (2)的全部解。本文將討論當a=5,b=8,c=16時非線性歐拉方程φ(mn)=5φ(m)+8φ(n)+16(3)的整數(shù)解。

1 相關引理

引理1[10]對任意正整數(shù)m與n，若m|n則

φ(m)|φ(n)。

引理2[10]對任意的正整數(shù)m與n，有

引理3[10]當n≥2時，φ(n)≤n，當n≤3時，

φ(n)必為偶數(shù)。

引理4[10]p為素數(shù)，φ(x)=2p的解x為：

(1)當p=2時，x=5，8，10，12；

(2)當p=3時，x=7，9，14，18。

引理5[11]若φ(x)=2，則x=3，4，6。

若φ(x)=22，則x=5，8，10，12。

若φ(x)=23，則x=15，16，20，24，30。

若φ(x)=24，則x=17，32，34，40，48，60。

若φ(x)=25，則x=51，64，68，80，96，102，120。

若φ(x)=26，則x=85，128，136，140，160，170，192，204。

引理6[12]若φ(x)=12，則

x=13，21，26，28，36，42；

若φ(x)=48，則

x=105，112，135，168，180，210。

2 定理及其證明

定理非線性歐拉方程φ(mn)=5φ(m)+

8φ(n)+16有正整數(shù)解：

(m,n)=(17，13)，(17，21)，(17，26)，(17，28)，(17，36)，(17，42)，(32，13)，(32，21)，(34，13)，(34，21)，(40，13)，(40，21)，(48，13)，(60，13)，(85，7)，(85，9)，(85，14)，(85，18)，(128，7)，(128，9)，(136，7)，(136，9)，(140，9)，(160，7)，(160，9)，(170，7)，(170，9)，(192，7)，(204，7)，(34，8)，(34，10)，(34，12)，(48，10)，(32，12)，(40，10)，(40，12)，(60，8)，(80，6)，(96，6)，(102，6)，(120，6)，(40，15)，(40，8)，(48，8)，(32，8)，(30，15)，(15，30)，(105，12)，(135，12)共49組。

證明設(m,n)=d，則φ(m)=m1φ(d)，φ(n)=n1φ(d)。其中m1,n1∈Z+。由方程(3)得φ(d)(dm1n1-5m1-8n1)=16則φ(d)=1，2，4，8，16。

情況1：當φ(d)=1時，有dm1n1-5m1-8n1=16。由φ(d)=1得d=1，2。

當d=1時，有m1n1-5m1-8n1=16，即有(m1-8)(n1-5)=56，根據(jù)因式與因式的所有關系，建立關系式，從而得到(m1,n1)=(9，61)，(10，33)，(5，13)，(12，19)，(16，12)，(22，9)，(36，7)，(64，6)。因為當(m1,n1)=(10，33)，(5，13)，(12，19)，(22，9)，(36，7)，(9，61)時，φ(m)，φ(n)中至少有一個大于1的奇數(shù)，因此方程(3)無解。所以(m1,n1)=(16,12),(64,6)。

當(m1,n1)=(16,12)時φ(m)=16，φ(n)=12。m=17，32，34，40，48，60；n=13，21，26，28，36，42。則(m,n)=(17，13)，(17，21)，(17，26)，(17，28)，(17，36)，(17，42)，(32，13)，(32，21)，(34，13)，(34，21)，(40，13)，(40，21)，(48，13)，(60，13)。

當(m1,n1)=(64,6)時有φ(m)=64，φ(n)=6，此時m=85，128，136，140，160，170，192；n=7，9，14，18。則(m,n)=(85，7)，(85，9)，(85，14)，(85，18)，(128，7)，(128，9)，(136，7)(136，9)，(140，9)(160，7)(160，9)(170，7)(170，9)，(192，7)，(204，7)。

當d=2時，有2m1n1-5m1-8n1=16。即有(m1-4)(2n1-5)=36。從而得到(m1,n1)=(8，7)，(16，4)，(40，3)，而(m1,n1)=(8,7)，(40，3)中至少有一個大于1的奇數(shù)，因此方程(3)無解。所以(m1,n1)=(16，4)，此時φ(m)=16，φ(n)=4。有φ(m)=16，φ(n)=4，m=17，32，34，40，48，60；n=5，8，10，12。則(m,n)=(34，8)，(34，10)，(34，12)，(48，10)。

情況2：當φ(d)=2時，dm1n1-5m1-8n1=8。由φ(d)=2得d=3，4，6。

當d=3時，3m1n1-5m1-8n1=8，即有(3m1-8)(6n1-10)=128。從而得到(m1,n1)=(3,23),(4,7),(8,3),(24,2)，而在(m1,n1)=(3,23),(4,7),(8,3)中至少有一個大于1的奇數(shù)，所以方程(3)無解。又當(m1,n1)=(24,2)時，此時φ(m)=48,φ(n)=4。而m=105，112，135，168，180，210；n=5，8，10，12。則(m,n)=(105，12)，(135，12)。

當d=4時，有4m1n1-5m1-8n1=8，即有(3m1-6)(4n1-5)=54。從而得到(m1,n1)=(8，2)，此時φ(m)=16，φ(n)=4。m=17，32，34，40，48，60；n=5，8，10，12。則(m,n)=(32，12)，(40，10)，(40，12)，(60，8)。

當d=6時，有6m1n1-5m1-8n1=8，即有(3m1-4)(6n1-5)=44。從而得到(m1,n1)=(16,1)，此時φ(m)=32，φ(n)=2，m=51，64，68，80，96，102，120；n=3，4，6。則(m,n)=(80，6)，(96，6)，(102，6)，(120，6)。

情況3：當φ(d)=4時，dm1n1-5m1-8n1=4。由φ(d)=4得d=5，8，10，12。

當d=5時，有5m1n1-5m1-8n1=4，即有(5m1-8)(n1-1)=12。從而得到(m1,n1)=(2,7),(4,2)，而當(m1,n1)=(2,7)時，方程(3)無解。則當(m1,n1)=(4,2)時，φ(m)=16,φ(n)=8。m=17，32,34,40,48,60；n=15,16,20,24,30。則(m,n)=(40，15)。

當d=8時，有8m1n1-5m1-8n1=4，即有(5m1-5)(8n1-5)=45。從而得到(m1,n1)=(4，1)，此時φ(m)=16，φ(n)=4。m=17，32，34，40，48，60；n=5，8，10，12。則(m,n)=(40,8)，(32，8)(48，8)。

當d=10時，有10m1n1-5m1-8n1=4，即有(5m1-4)(2n1-1)=8。經(jīng)計算不存在m1,n1∈Z+使之成立，因此方程(3)無解。

當d=12時，有12m1n1-5m1-8n1=4，即有(3m1-2)(12n1-5)=22。經(jīng)計算不存在m1,n1∈Z+使之成立，因此方程(3)無解。

情況4：當φ(d)=8時，有dm1n1-5m1-8n1=2。由φ(d)=8可得d=15，16，20，24，30。

當d=15時，有15m1n1-5m1-8n1=2，即有(15m1-8)(3n1-1)=14。從而得(m1,n1)=(1，1)，此時φ(m)=8,φ(n)=8。m=15，16，20，24，30；n=15，16，20，24，30。則(m,n)=(15，30)，(30，15)。

當d=16時，有16m1n1-5m1-8n1=2，即有(2m1-1)(16n1-5)=9。

當d=20時，有20m1n1-5m1-8n1=2，即有(5m1-2)(4n1-5)=4。

當d=24時，有24m1n1-5m1-8n1=2，即有(3m1-1)(24n1-5)=1。

當d=30時，有30m1n1-5m1-8n1=2，即有(15m1-4)(6n1-5)=10。

經(jīng)計算可得，當d=16，20，24，30時，對于方程dm1n1-5m1-8n1=2，不存在m1,n1∈Z+使之成立，因此方程(3)只有解(m,n)=(15,30),(30,15)。

情況5：當φ(d)=16時，dm1n1-5m1-8n1=1。由φ(d)=16可得d=17，32，34，40，48，60。

當d=17時，有17m1n1-5m1-8n1=1，即有(17m1-8)(17n1-5)=57。

當d=32時，有32m1n1-5m1-8n1=1，即有(4m1-1)(32n1-5)=9。

當d=34時，有34m1n1-5m1-8n1=1，即有(34m1-8)(34n1-5)=74。

當d=40時，有40m1n1-5m1-8n1=1，即有(5m1-1)(8n1-1)=2。

當d=48時，有48m1n1-5m1-8n1=1，即有(6m1-1)(48n1-5)=11。

當d=60時，有60m1n1-5m1-8n1=1，即有(30m1-4)(12n1-1)=10。

經(jīng)計算可得，當d=17，32，34，40，48，60時，對于方程dm1n1-5m1-8n1=1，不存在m1,n1∈Z+使之成立，因此方程(3)無解。

綜上所述，該定理得證，即有本文結論。