圓錐曲線離心率問題的解題策略探析

吉樹華

[摘 ?要] 圓錐曲線離心率問題的解題策略是需要學(xué)生掌握的重要知識(shí)，考慮到離心率問題的考題一般與其他知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，以綜合題的形式出現(xiàn)，因此其解題策略也較為靈活，可以從基本定義入手、結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)，也可以采用數(shù)形結(jié)合、引入?yún)?shù)方程. 文章結(jié)合實(shí)例對其解題策略加以探析.

[關(guān)鍵詞] 圓錐曲線;離心率;定義;點(diǎn)坐標(biāo);數(shù)形結(jié)合;參數(shù)方程

離心率是圓錐曲線重要的研究內(nèi)容，也是刻畫曲線外觀形狀的重要參量，而以求解離心率為基礎(chǔ)命制的考題在高考中屢次出現(xiàn)，并且常與其他知識(shí)相聯(lián)合，如不能掌握相應(yīng)的求解策略極有可能喪失解題方向，陷入誤區(qū)，下面將探究四種較為常見的解題策略.

策略一：基于離心率定義，分列等量關(guān)系

圓錐曲線的知識(shí)學(xué)習(xí)均是從定義來開展的，因此利用離心率的定義是求解離心率問題最為基本的策略方法，離心率e表示動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)與其到準(zhǔn)線距離的比值，而在實(shí)際解題時(shí)可以將第一、第二定義綜合起來求解分析.

例1：已知雙曲線 - =1的左右焦點(diǎn)分別為F1和F2，若在雙曲線的左支上存在一點(diǎn)P，使得PF1是PF2與點(diǎn)P到雙曲線左準(zhǔn)線距離d的等比中項(xiàng)，若設(shè)雙曲線的離心率為e，試求e的取值范圍.

解析：題干給出了相關(guān)條件求雙曲線離心率e的取值范圍，題中條件主要有兩個(gè)：一是點(diǎn)P位于雙曲線的左支上，二是PF1為相關(guān)距離值的等比中項(xiàng). 其中涉及曲線上的動(dòng)點(diǎn)、準(zhǔn)線等內(nèi)容，因此可以從離心率的基本定義入手，分列等量關(guān)系. 具體如下：

根據(jù)等比中項(xiàng)的相關(guān)知識(shí)可知 = ，進(jìn)一步結(jié)合離心率的第二定義可得 = =e①，而根據(jù)離心率的第一定義可得PF2-PF1=2a②.

變形關(guān)系式①，則有PF1=ed，PF2=e2d，代入關(guān)系式②則有e2d-ed=2a，所以d= ，考慮到雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為a- ，所以 ≥a- ，即e2-2e-1≤0，解得1

評注：上述在求解雙曲線的離心率時(shí)巧妙地將第一和第二定義結(jié)合起來，從中推導(dǎo)出相關(guān)的等量關(guān)系，通過構(gòu)造離心率e的不等式來求解其范圍，從而達(dá)到解題的目的. 因此在平時(shí)的學(xué)習(xí)時(shí)需要充分理解圓錐曲線的定義，掌握其應(yīng)用方法.而根據(jù)定義開展離心率求解的具體思路為：基于離心率的定義分列等量關(guān)系，并構(gòu)造出含有離心率e的關(guān)系式，然后通過關(guān)系式的變形轉(zhuǎn)化、方程求解等方式來求解.

策略二：基于定點(diǎn)坐標(biāo)，構(gòu)建代數(shù)方程

標(biāo)準(zhǔn)方程是圓錐曲線量化的重要方式，也是研究圓錐曲線的重要內(nèi)容，根據(jù)點(diǎn)與曲線方程的關(guān)系可知曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)必然滿足對應(yīng)曲線的方程，因此求解時(shí)除了可以利用離心率的定義外，還可以利用圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)a，b，c的代數(shù)方程.

例2：如圖1所示，橢圓 + =1（a>b>0）位于平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A1，A2，B1，B2，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，連接A1B2，B1F，設(shè)其交點(diǎn)為點(diǎn)T，再連接OT，交橢圓于點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好為線段OT的中點(diǎn)，試求該橢圓的離心率.

解析：本題目的特點(diǎn)主要為在平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)建橢圓圖形，以及相關(guān)幾何關(guān)系，因此離心率的求解需要依托點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合離心率的表達(dá)式逐步轉(zhuǎn)化推導(dǎo). 具體如下：

根據(jù)題干可設(shè)A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），F(xiàn)（c，0），因此直線A1B2的方程可表示為bx-ay+ab=0，而直線B1F的方程可表示為bx-cy-bc=0，點(diǎn)T為兩線的交點(diǎn)，故聯(lián)立兩直線方程可解得點(diǎn)T的坐標(biāo)為 ， ，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ， . 考慮到點(diǎn)M位于橢圓上，則滿足橢圓的方程，代入可得 + =1，整理得e2+10e-3=0，解得e=2 -5，即該橢圓的離心率為2 -5.

評注：上述在求解橢圓的離心率時(shí)，以點(diǎn)坐標(biāo)作為切入點(diǎn)，聯(lián)系直線方程、幾何中點(diǎn)特性，完成關(guān)于離心率方程的構(gòu)建，雖然計(jì)算過程較為復(fù)雜，但整個(gè)求解思路較為清晰，就是以橢圓上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)作為整個(gè)思路的核心，逐步開展探究.因此基于曲線上定點(diǎn)坐標(biāo)求解離心率的具體思路為：結(jié)合圖像，聯(lián)系幾何性質(zhì)完成曲線上定點(diǎn)坐標(biāo)的表示，然后利用定點(diǎn)在曲線上的方程特性變形出關(guān)于離心率方程，從而實(shí)現(xiàn)離心率的求解.

策略三：基于數(shù)形結(jié)合，探尋對應(yīng)關(guān)系

離心率問題有時(shí)涉及曲線圖像，并以曲線圖像為基礎(chǔ)構(gòu)建相應(yīng)的幾何圖形，對于該類問題可以采用數(shù)形結(jié)合的方法策略，即將圖像中的幾何性質(zhì)與圓錐曲線知識(shí)相結(jié)合，從中提煉出代數(shù)式，然后完成離心率的變形提取.

例3：已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）為橢圓 + =1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P為橢圓右準(zhǔn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)連接PF1，PF2，再作PF1的垂直平分線，恰好垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)F2，試求橢圓離心率e的取值范圍.

解析：本題在橢圓中構(gòu)建了幾何線段的垂直平分線，因此求解時(shí)可以充分利用數(shù)形結(jié)合的方法，首先根據(jù)題干描述繪制相應(yīng)的圖像，如圖2，設(shè)右準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)Q，根據(jù)平分線的性質(zhì)可得PF2=F1F2=2c，而點(diǎn)P存在的條件為PF2≥F2Q= -c，即2c≥ -c，則3c2≥a2，解得e≥ . 又知橢圓離心率e<1，所以 ≤e<1，即橢圓離心率e的取值范圍為 ，1.

評注：上述離心率求解問題存在鮮明的特點(diǎn)，即在橢圓中構(gòu)建了垂直平分線，因此采用數(shù)形結(jié)合，利用幾何性質(zhì)構(gòu)建代數(shù)關(guān)系是最為有效的策略. 采用數(shù)形結(jié)合法求解離心率范圍的具體策略為：先分析其中的幾何特性，然后采用數(shù)形結(jié)合的策略將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于曲線參數(shù)a，b，c的不等關(guān)系，最后結(jié)合不等式的性質(zhì)確定離心率的取值范圍.

策略四：利用參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化離心率

參數(shù)方程是求解圓錐曲線問題較為常用的知識(shí)，在求解圓錐曲線的離心率問題時(shí)同樣可以利用對應(yīng)曲線的參數(shù)方程，即將曲線的方程、點(diǎn)坐標(biāo)用對應(yīng)參數(shù)表示，然后基于題干條件從中提煉出關(guān)于曲線離心率的參數(shù)式.

例4：已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1（a>b>0），若橢圓與x軸的正方向交于點(diǎn)A，橢圓上存在一點(diǎn)P使得OP⊥PA（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），試求該橢圓離心率的取值范圍.

解析：上述離心率問題中給出了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及相關(guān)的垂直關(guān)系，因此求解時(shí)需要利用其斜率乘積的關(guān)系.如果采用常規(guī)的設(shè)點(diǎn)P的一般坐標(biāo)，求兩直線的斜率也可以構(gòu)建相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系，但相對而言較為復(fù)雜，最為簡潔的方式是引入橢圓的參數(shù)方程，將點(diǎn)P的坐標(biāo)參數(shù)化，構(gòu)建相應(yīng)的參數(shù)關(guān)系式，從中變形出離心率. 具體如下：

設(shè)上述橢圓的參數(shù)方程為x=acosθ，y=bsinθ， θ為參數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)可表示為（acosθ，bsinθ），其中θ≠ ，k∈Z，則直線OP的斜率可以表示為 . 由橢圓方程可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），則直線PA的斜率可以表示為 . 由于OP⊥PA，則兩線段所在直線的斜率之積應(yīng)為-1，即 · =-1，化簡變形后可得 = ，而離心率e2=1- = ，其中cosθ的取值范圍為（0，1），所以 的取值范圍為 ，1，則e∈ ，1，即橢圓離心率的取值范圍為 ，1.

評注：上述求解涉及兩線垂直的離心率問題時(shí)引入了橢圓的參數(shù)方程和點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)，然后基于題干條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程，從而逐步完成離心率取值求解. 需要注意的是在分析時(shí)需要考慮參數(shù)的取值范圍，確保離心率范圍的合理性. 另外利用參數(shù)方程求解離心率取值的基礎(chǔ)是掌握相關(guān)曲線參數(shù)方程的表示形式，包括圓、橢圓、雙曲線等，同時(shí)注意總結(jié)歸納直線與曲線相結(jié)合問題的參數(shù)方程構(gòu)建形式.

綜上可知，求解圓錐曲線離心率問題的關(guān)鍵是充分利用圓錐曲線的定義、性質(zhì)以及幾何圖形的關(guān)聯(lián)知識(shí)，從中挖掘隱含條件，構(gòu)建關(guān)于離心率或者曲線參數(shù)的代數(shù)關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化出離心率的取值. 雖然離心率問題的解題策略較為眾多，但始終離不開基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用，因此學(xué)習(xí)時(shí)需要重視教材內(nèi)容，善于總結(jié)歸納，構(gòu)建不等式、函數(shù)、代數(shù)、幾何等知識(shí)體系，強(qiáng)化自我對圓錐曲線內(nèi)容的理解，促進(jìn)解題能力的提升.