關于軌跡方程問題的解法探究

耿燕

[摘 ?要] 求解動點的軌跡方程是高中數(shù)學較為重要的問題類型，該類問題具有較強的靈活性和綜合性，可以全面考查學生的基礎知識和分析能力，考慮到軌跡問題的解題方法較為眾多，因此十分有必要對其加以探究總結，文章以一道考題引入開展方法拓展探究.

[關鍵詞] 軌跡方程;解法;相關點法;定義法;直接法;參數(shù)法

問題探究

問題：如圖1所示，拋物線C1的解析式為x2=4y，C2的解析式為x2=-2py（p>0），點M（x0，y0）是拋物線C2上的一個動點，過點M作拋物線C1的切線，設為點A和B（點M與原點O相重合時，切點就為點O），已知當點M的橫坐標為1- 時，切線MA的斜率為- ，試回答下列問題：

（1）試求參數(shù)p的值;

（2）當點M在拋物線C2上運動時，設線段AB的中點為點N，試求點N的軌跡方程.

解析：（1）問求p的值，需要利用題干信息“M的橫坐標為1- 時，切線MA的斜率為- ”. 根據拋物線C1的解析式可求得其上任意一點的切線斜率為y′= ，則MA的斜率為- 時，點A的坐標為-1， ，從而可得切線MA的方程為y=- （x+1）+ ，已知點M同時位于拋物線C2和切線MA上，分別代入可構建方程組，從而可解得p=2.

（2）問求線段AB的中點N的軌跡方程，可設點N的坐標為（x，y），進而可得切點A，B的坐標，即Ax1， ，Bx2， .點N為線段AB的中點，利用中點坐標公式可求得點N的坐標為 ， ，利用兩點式可分別求得切線MA和MB的方程：yMA= （x-x1）+ ，yMB= （x-x2）+ ，聯(lián)立兩者的方程可解得交點M的坐標，即M ， ，由已知點M為拋物線C2上的動點，必然滿足其解析式，代入可解得x1x2=- ，而由點N的坐標有x= ，y= ，結合上式可求得x2= y，即線段AB的中點N的軌跡方程為x2= y（當點A，B與原點O相重合時，點N也位于原點O處）.

問題評價

上述試題考查了拋物線的解析式求解以及曲線上特殊點的軌跡方程，第（1）問求解屬于常規(guī)的條件信息轉化，只需要利用拋物線上點M的特殊位置關系即可求解;而（2）問的軌跡方程問題則是高考較為常見的典型問題，即已知曲線的解析式，以及特殊動點的位置關系，求解相關點的軌跡方程，如上述設定點A和B是切線MA和MB的在拋物線C1上的切點，點N為線段AB的中點.

另外上述求解點N的軌跡方程時，設定了關鍵點的坐標，利用幾何關系推導出了與點N坐標相關的關系式，然后采用代入的方式獲得了對應的軌跡方程，實際上是數(shù)學相關點法在軌跡方程問題的中解析應用，即對于已知動點P運動引出的關聯(lián)點P′. 若已知點P的運動規(guī)律，則可以設出點P的坐標，求出點P的運動軌跡，然后建立點P′與點P的坐標關系式或將點P′的坐標代入其運動方程中，從而實現(xiàn)軌跡方程的轉化求解.

又如例2：已知點P是雙曲線C： - =1上的一個動點，設雙曲線C的兩個焦點分別為點F1和F2，現(xiàn)連接F1P，F(xiàn)2P，構建出△F1PF2，設三角形的重心為點G，試求點G的軌跡方程.

解析：具體思路為提煉題干條件，設定動點P與關聯(lián)點G的坐標，則雙曲線的解析式就為點P的軌跡方程，因此只需要建立點P與點G的坐標關系即可，具體步驟如下.

第一步——條件提煉

根據題干所給雙曲線的解析式可得a=4，b=3，c=5，F(xiàn)1（-5，0），F(xiàn)2（5，0）.

第二步——坐標設點

已知點P為雙曲線C上的動點，求關聯(lián)點G的軌跡方程，因此可將點G的坐標設為（x，y），點P的坐標設為（x0，y0）.

第三步——動點P的方程

點P位于雙曲線C上，則點P的坐標必然滿足其解析式，可得 - =1.

第三步——點坐標關系建立

點G為△F1PF2的重心，則其坐標值為三頂點坐標的平均值，即x= ，y= （y0≠0）.

第四步——關系代入轉化

將點坐標關系代入動點P滿足的方程內，整理后可得 -y2=1（y≠0），即重心G的軌跡方程為 -y2=1（y≠0）.

方法拓展

軌跡方程作為高中數(shù)學較為典型的問題，解題時除了可以使用相關點法外，還存在其他的解析方法，例如定義法、直接法、參數(shù)法、幾何法等. 針對不同的問題，選用合理的方法往往可以取得不同的解題效果，有效提升解題效率，下面結合實例對其解法進行拓展探究.

1. 定義法

定義法，顧名思義就是利用動點軌跡所滿足對應曲線定義來解題的方法，首先根據曲線的定義設出動點的軌跡方程，然后根據題干條件，求出軌跡方程系數(shù)，從而實現(xiàn)問題求解.

例3：若△ABC的三個內角滿足關系式sinC-sinB= sinA，已知BC=a，試求頂點A的軌跡方程.

解析：求頂點A的軌跡方程，首先需要建立平面直角坐標系，以BC的中點為坐標原點O，其所在直線為x軸建立直角坐標系，則點B和C的坐標分別為- ，0， ，0. 設點A（x，y），由sinC-sinB= sinA結合正弦定理可得c-b= ，即AB-AC= ，表示AB與AC的線段之差為定值，根據雙曲線的定義可知：點A的軌跡是以點B和點C為曲線焦點，焦距為a，實軸長為 的雙曲線的右支，且不包含點C，根據雙曲線標準方程的系數(shù)關系可得2b= a，所以點A的軌跡方程為 - =1（x> ）.

方法歸納：利用定義來求解動點的軌跡方程，首先就需要熟識一些基本曲線的定義，例如軌跡為圓，則動點到定點的距離始終為定長;軌跡為橢圓，則動點到兩個定點的距離之和為一常數(shù)，且大于兩定點之間的距離;軌跡為雙曲線，則動點到兩定點的距離之差的絕對值為一常數(shù)，且小于兩定點之間的距離.

2. 直接法

直接法，即直接利用幾何中的代數(shù)關系來求解的方法，該方法適用于一些條件簡單鮮明的軌跡問題，求解時不需要使用其他技巧，只需要將點的軌跡表示為含有x和y的等式，然后設定取值范圍即可.

例4：已知兩定點的坐標分別為A（-a，0），B（a，0）（a>0），點S為坐標系內的一個動點，連接SA和SB，若SA和SB所在直線的斜率之積為 ，試求點S的軌跡方程.

解析：題干已經給出了與點S相關的關系，只需要將其表示即可，設點S（x，y），則SA所在直線的斜率為kSA= （x≠-a），SB所在直線的斜率為kSB= （x≠a），兩直線的斜率之積為 ，即 · = （x≠±a），整理可得 -y2=1（x≠±a），即點S的軌跡方程 -y2=1（x≠±a），表示雙曲線上去掉兩個頂點（-a，0）和（a，0）的部分.

方法歸納：顯然直接法就是直接利用題干的關系式或關系信息進行方程構建的解題方法. 另外直接法適用于以下幾種情形：①無坐標系，有關系式;②動點數(shù)量關系不明顯，但可利用幾何定理構建關系式;③題設給出對應關系，需要代入動點坐標.

3. 參數(shù)法

參數(shù)法，即探尋動點P的幾何運動量t，以此作為參變量，以此為基礎建立關于參變量t的點P的坐標函數(shù)關系，即x=f（t），y=f（t），然后通過消參的方式獲得動點的通用軌跡方程.因此利用此方法解題的關鍵是合理設定參數(shù)，討論參數(shù)取值.

例5：如圖2所示，過定點P（2，4）作相互垂直的直線l1和l2，設直線l1與坐標的x軸相交于點A，直線l2與坐標的y軸相交于點B，連接點A和B，若線段AB的中點為點M，試求點M的軌跡方程.

解析：求線段AB中點M的軌跡方程，關鍵是表示出點M的坐標，則需要求出點A和B的坐標，而上述兩點均為直線l與坐標軸的交點，因此需要求解直線l1和l2的解析式，兩直線相互垂直，則斜率之積為-1，則可以設定一條直線的斜率為參數(shù)，設l1的斜率為k，則l2的斜率為 - ，所以兩直線的方程可分別表示為：y-4=k（x-2），y-4=- （x-2）（k≠0），從而可求得交點A2- ，0，B0，4+ ，則中點M的參數(shù)方程為x=1- ，y=2+ ，（k為參數(shù)），消去參數(shù)k，可得x+2y-5=0.

當k=0時，線段AB的中點為M（1，2），滿足上述軌跡方程;

當k不存在時，線段AB的中點為M（1，2），同樣滿足上述軌跡方程;

綜上可知，中點M的軌跡方程為x+2y-5=0.

解析歸納：上述解題時參數(shù)k表示的是直線的斜率，也可以表示幾何中點的橫、縱坐標等. 需要特別注意的是：在解題時需要對參數(shù)的取值范圍、動點的坐標取值加以討論，確保動點的軌跡合理有據.

綜上可知，動點的軌跡解法是多種多樣的，涉及基本的曲線定義、直接利用代數(shù)關系法，以及較為復雜的點坐標代入、設定參數(shù)等方法，解題方法不存在優(yōu)劣之分，針對不同類型的問題各有其優(yōu)勢，因此在解題時需要考生認真讀題，審查問題特征，合理選用方法. 另外，在教學中教師可以基于動點軌跡問題開展一題多解，引導學生探討不同方法的解題思路，拓展學生的解題思維.