高中數學教學中師生問答之間的思考

郭淼紅

[摘 ?要] 教師在宏觀上把握教材并根據學生的基礎情況、智力水平、學習需要對選擇的問題進行多方面的思考與設計，將其作用、探究結果、效果、與其他知識點和思想方法的聯系、追問的時機、語言的表達等進行斟酌、預設和實施，將每個學生的目光與注意力聚焦在問題的“凝結核”上并獲得思維的發(fā)展.

[關鍵詞] 問題;探究;預設;生成;凝結核

案例回顧

教師展示問題：

（1）已知鈍角三角形的三邊分別是a=k，b=k+2，c=k+4，則k的取值范圍如何？

（2）已知銳角三角形的三邊分別是a=2，b=3，c=x，則k的取值范圍如何？

解：（1）三角形兩邊之和大于第三邊，且由題意可知c>b>a，因此可得k+（k+2）>k+4，解得k>2.

又有△ABC是鈍角三角形，因此C是鈍角，由余弦定理可得cosC<0，解得2

則k的取值范圍為（2，6）.

（2）法1：當x≤3時，b是最大邊，則最大角B是銳角，由余弦定理cosB>0，解得x> ，則

當x>3時，c是最大邊，則最大角C是銳角，由余弦定理，解得x< ，故3

綜上所述，x的取值范圍是（ ， ）.

法2：由題意可得該三角形的三個角均為銳角，則有22+32>x2，22+x2>32，x2+32>22，解得

則x的取值范圍為（ ， ）.

學生：在鈍角三角形情況下，解決問題時考慮了“兩邊之和大于第三邊”這一條件，但在銳角三角形情況下對這一條件為什么沒有考慮呢？若模仿（1）中的解題方法解決第（2）小問，結果是一樣的，過程如下：當x≤3時，則2+x>3，即x>1，此時b是最大邊，最大角B是銳角，由余弦定理cosB>0，解得x> ，故

當x>3時，則2+3>x，即x<5，此時c是最大邊，最大角C是銳角，由余弦定理cosC>0，解得x< ，則3

綜上所述，x的取值范圍是（ ， ）.

您一直跟我們強調，在解決圖形問題時首先要保證圖形是否存在，此處是忘記檢驗了嗎？還是在銳角三角形情況下是不要檢驗的呢？此處不去掉cosC≠1又是為何呢？

教師：鈍角三角形情況下解題需要檢驗是一種常識，而銳角三角形和直角三角形情況下并不需要，大家在常見題型及其解法要點上要多進行積累并學會熟練套用解法，以后在解題時根據題型與解法進行套用求解就行了，因此，大家平時要將公式記熟并多加練習，鉆牛角尖似的無端多想是沒有多少好處的……

學生安靜且表現出失望.

事實上，這位學生提出的質疑是多么可貴且值得探究啊！

調查研究與反思

筆者針對知識探索的相關問題在本班學生中進行了問卷調查，每個學生，尤其是優(yōu)等生在問題來龍去脈上的探究愿望表現得都很明顯，對套用常規(guī)解法進行解題的這一做法并不贊同，偶有學生對這一觀點較為支持，也是很少的一部分成績中等的學生，絕大部分的學生對于灌輸式教學沒有好感，認為這種教學方式中的師生互動太少且忽略了學生的質疑[1].

古希臘哲學家亞里士多德早就提出過思維自驚奇和疑問開始的著名論點，學生只有在懷疑中才能獲得思考并形成問題，學生只有在提出問題、探究問題、解決問題的過程中才能獲得新的問題與數學實踐的經驗和技巧.因此，教師應積極引導、鼓勵學生提出問題并對提問者表示贊賞，使學生在發(fā)現問題、提出問題的過程中逐步提升自己的提問能力與探究能力.

問題探究

筆者根據以上學生的疑問在任教班級進行了問題探索的引導與組織.

學生1：我覺得該問題與以下問題等價：如果a，b，c三個正數滿足a≤b≤c，若a2+b2≥c2（a2+b2c？

教師：很好，最后所得結論怎樣？如何證明呢？

學生2：當a2+b2≥c2時，一定滿足a+b>c，當a2+b2c，這就是在銳角三角形和直角三角形情況下不需要驗證a+b>c的原因，因為a2+b2≥c2包含了a+b>c. 由條件中給出的平方關系聯想三角代換方法：由a2+b2≥c2（a2+b2k≥c（不能保證a+b>c），也就是以正數a，b，c為邊的三角形一定（不一定）存在.

學生3：從不等式視角分析，當a2+b2≥c2，能夠導出a+b>c. 因為（a+b）2=a2+b2+2ab≥c2+2ab>c2，即a+b>c，反之，當a2+b2

教師：這是化歸思想的運用，很好，知道它的幾何意義嗎？可有其他解法？

學生4：反證法也可用，假設a+b>c不成立，即a+b≤c，則 + ≤1，因此 ， ∈（0，1），則 2+ 2< + ≤1，即a2+b2

教師：這是一個堪稱完美的證明方法，還有嗎？

學生5：向量數量積的計算中，為了方便，往往先求a·b>0（此時〈a·b〉∈0， ），去掉cos〈a·b〉=1（此時〈a·b〉=0，a，b共線同向）. 若能構成銳角三角形，則其角的取值范圍是0， ，對應的余弦值為（0，1），銳角和（0，1）一一對應，這是等價條件，反證也行.

教學思考

1. 轉變教學理念勢在必行

教師的教學應著眼于學生的長遠發(fā)展而實施，學生思維發(fā)展的日益迅猛應得到教師的充分關注，不僅如此，教師還應及時更新教學理念并不斷補充新的血液，只有這樣才能使自己的教學與學生的思想完全吻合. 教師應不斷鼓勵、引導學生對問題質疑并因此培養(yǎng)學生的探究意識，引導學生在遇到問題時多多思考“為什么”，要充分相信學生的能力并為學生的發(fā)展搭建平臺，使學生能夠擁有盡情探究和展示的舞臺并真正成為課堂的主角. 及時發(fā)現學生中好的想法與做法并進行肯定以提升學生積極學習的持久動力.

2. 熟悉課程標準

課改至今，仍有不少教師將課程標準擱置一邊，沒有新課標引領且完全憑借個人經驗的教學往往是狂講猛灌、遍地撒網，追求知識點的覆蓋與題型的全面的片面教學往往無法很好地解決學生的疑惑. 比如，“復合函數”的概念在《必修1》中并未明確刻畫，教師在實際教學中若對函數的定義域、值域、復合函數單調性等概念糾纏不休，教學進度自會受到影響，教師教學疲累卻也無法令學生理解透徹，學生在課業(yè)負擔加重的同時也會產生畏懼情緒. 事實上，教師如果能夠提前對新課標的模塊化結構進行理解與思考，深諳教材編寫中的“螺旋上升”理念，就能更好地把握問題的重難點，節(jié)約更多時間的同時也會為學生創(chuàng)造更多的探究機會，學生也會因此對數學的本質形成更好的理解.

3. 準確把握問題的“凝結核”

學生只有明白數學概念與公式的發(fā)生、發(fā)展過程，才會有數學學習的熱情和興趣，“掐頭去尾燒中間”的教學往往令學生獲得聽得懂、看得懂、讀得懂的局面，但面對很多具體問題卻仍舊做不出，這就是探究缺失且滿堂灌輸的惡果，學生的數學能力沒有真正形成，自然也不能獲得良好的學習效果. 因此，教師應研究教學內容并精心設計問題，將每個學生的目光與注意力聚焦在問題的“凝結核”上并對其思維進行發(fā)散鍛煉，使學生能夠認清問題本質并理解其中所蘊含的思想方法與精神，使學生能夠在問題探究中不斷展現出思維的閃光點.

參考文獻：

[1] ?溫建紅. 論數學課堂預設提問的策略[J]. 數學教育學報，2011，20（3）：4-6.