揭示統(tǒng)計學科本質，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析能力

李永革

[摘 ?要] 統(tǒng)計學的特點是數(shù)據(jù)的變異性和背景的重要性，其目的是探索數(shù)據(jù)的內(nèi)在數(shù)量規(guī)律性，為制定決策提供依據(jù). 統(tǒng)計學的核心思想主要包括：樣本估計總體的思想，統(tǒng)計推斷——估計的基本思想，回歸分析的基本思想，假設檢驗的基本思想. 在統(tǒng)計思想的指導下掌握統(tǒng)計學的研究方法，形成正確的統(tǒng)計思維.

[關鍵詞] 統(tǒng)計學;核心概念;核心思想;核心方法

問題的提出

統(tǒng)計學是高中數(shù)學重要的知識模塊，與實際生活聯(lián)系十分緊密，作為高中數(shù)學的新增內(nèi)容，是培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析能力的重要知識載體，但實際教學的效果不盡人意. 學生對統(tǒng)計學產(chǎn)生的歷史背景、研究的對象、目的和意義不甚了解，對統(tǒng)計學的核心觀念、基本思想、研究方法理解不深，導致統(tǒng)計部分教學常停留在套公式計算、圖表繪制的低水平層次，學生的數(shù)據(jù)收集能力、統(tǒng)計推斷能力，對統(tǒng)計圖表的析圖、評圖能力不強. 統(tǒng)計思維沒有得到很好的發(fā)展，經(jīng)常受到確定性思維的干擾，最終影響學生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的形成和發(fā)展. 導致這些現(xiàn)象的一個重要原因是中學一線教師概率統(tǒng)計知識的儲備不足，對部分概率統(tǒng)計基本概念的認識處于模糊狀態(tài)，對大多數(shù)統(tǒng)計思想理解深度不夠. 鑒于此，筆者認真研究了課標、教材和相關文獻，試圖探明統(tǒng)計學的學科本質、核心思想、研究方法與學科價值.

統(tǒng)計學核心概念、核心思想的梳理

1. 統(tǒng)計的意義

（1）統(tǒng)計學是一門關于收集、整理和分析數(shù)據(jù)的方法科學，其目的是探索數(shù)據(jù)的內(nèi)在數(shù)量規(guī)律性，為制定決策提供依據(jù).

（2）統(tǒng)計學的學科特點：統(tǒng)計學的第一個特點是數(shù)據(jù)的變異性. 統(tǒng)計學源于無處不在的變異現(xiàn)象，統(tǒng)計問題的解決和決策的制定必須依賴于對數(shù)據(jù)變異性的理解、解釋和量化. 數(shù)據(jù)變異性的來源有很多：測量產(chǎn)生的變異（同一個體的多次重復測量值各不相同），自然變異（與生俱來的變異，如人天生有不同的身高、體重），取樣變異（選取樣本時產(chǎn)生的樣本變異），誘導變異（如采用不同的肥料種植同一種植物所引起的植物生長情況的變異），等等. 統(tǒng)計學的另一個特點是背景的重要性，統(tǒng)計學中的數(shù)據(jù)并不僅是數(shù)，而是帶有背景的數(shù). 在數(shù)據(jù)分析中，數(shù)學模式的獲得依賴于問題背景，背景提供了實際意義.

（3）獲取數(shù)據(jù)的基本途徑：《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》明確提出了獲取數(shù)據(jù)的基本途徑包括統(tǒng)計報表和年鑒、社會調(diào)查、試驗設計、普查和抽樣、互聯(lián)網(wǎng)等.

2. 樣本估計總體的思想

（1）抽樣的意義：統(tǒng)計學的基本特征之一是通過部分的數(shù)據(jù)來推測全體數(shù)據(jù)的性質，就是從總體中抽出一部分個體進行分析，判斷整個系統(tǒng)的狀態(tài)，這就是抽樣. 抽樣的意義在于，現(xiàn)實世界的事件和現(xiàn)象大量而多樣，人們不可能做出完全的觀察，而且有時考察還帶有破壞性，所以“我們只能滿足于抽樣”. 統(tǒng)計學這種“由局部到整體”“由特殊上升到一般”的研究方法，是歸納法在數(shù)學上的特殊應用.

（2）如何提高樣本的效度？應該承認，我們不能只憑抽取的樣本而確切地得到總體的某個特征，但好的樣本能夠提高估計的精確度，這就需要樣本有好的代表性. 抽樣的代表性是指，被調(diào)查的對象能夠反映其他未被調(diào)查的對象的性質. 為保證樣本的代表性，一般從三個方面對抽樣過程提出要求：？搖①抽樣的規(guī)模應當盡可能地大;②抽樣的范圍應當盡可能地廣;③樣本的選取應當是隨機的，即總體中每一個個體被抽到的可能性相等. 高中階段要求學生掌握三種隨機抽樣方法：簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣. 學生應該根據(jù)問題的特點恰當?shù)剡x擇抽樣方法.

（3）如何對樣本數(shù)據(jù)進行分析？①用直觀圖表進行數(shù)據(jù)分析;②用數(shù)字特征進行數(shù)據(jù)分析，主要包括反映數(shù)據(jù)集中趨勢的參數(shù)——平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù);反映數(shù)據(jù)離散程度的參數(shù)——標準差、方差、極差.

有研究表明，中學生對平均數(shù)的意義理解不夠，往往停留在把它看成一組數(shù)據(jù)相加再除以數(shù)據(jù)個數(shù)的算法層面，而缺乏為什么用、什么時候用、如何用的能力. 不知道平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)偏差之和為零，不知道如果數(shù)據(jù)中出現(xiàn)零，計算平均數(shù)時這個零必須考慮進去，不知道平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的代表. 不能體會平均數(shù)對極端數(shù)據(jù)的敏感性，往往會偏向擁有極端值的一側，因此當數(shù)據(jù)分布不對稱時用中位數(shù)或眾數(shù)能更好地概括這組數(shù)據(jù). 教學中必須加強訓練，讓學生能在不同場合運用不同的統(tǒng)計量合理地反映數(shù)據(jù)的平均水平（集中趨勢）.

3. 統(tǒng)計推斷——估計的基本思想

（1）統(tǒng)計推斷是帶有概率性質的一種推理方法.統(tǒng)計推斷是統(tǒng)計學的重要思想方法，它不同于數(shù)學中的演繹推理，是帶有概率性質的一種推理方法. 比如有如下形式的結論：“在顯著水平為0.01的前提下，認為吸煙與患肺癌有關系. ”就是在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吸煙與患肺癌有關.

（2）抽樣推斷是統(tǒng)計推斷的集中體現(xiàn). 認識的世界是無限的，如何利用已知的某些信息來推斷這個無限世界的一些規(guī)律和特征成為人們把握世界的一種方法. 規(guī)律所寓的對象是無窮無盡的，而我們所要觀察的群體總是有限的. 總結出的規(guī)律，對整體現(xiàn)象的判斷都是基于推斷的，是利用現(xiàn)有信息進行的概率推斷，這就是樣本估計總體的實質.

（3）極大似然估計是統(tǒng)計推斷最常用的方法. 條件不同，選擇的統(tǒng)計推斷方法也不同，極大似然估計是統(tǒng)計推斷最常用的方法，它的理論依據(jù)是“概率最大的事件最容易在一次試驗中發(fā)生”這一原理.

4. 回歸分析的基本思想

（1）什么是回歸分析？通常稱對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫作回歸分析.

（2）掌握線性回歸分析的方法步驟：①明確事物間是相互聯(lián)系的，認識現(xiàn)實生活中變量間存在的非確定性的相關關系，體會研究此類問題在現(xiàn)實生活中的重要性. ②作散點圖，并由此對變量間的正相關與負相關關系做出直觀判斷. ③經(jīng)歷描述兩個變量線性相關關系的過程，了解最小二乘法思想，能用回歸直線描述線性相關關系. ④了解任何模型只能近似描述實際問題.掌握模型擬合效果的分析工具：殘差分析和指標R2.

（3）理解回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別：

（4）會將非線性回歸問題轉化成線性回歸問題.

5. 假設檢驗的基本思想

（1）什么是假設檢驗？為了對總體的分布做出推斷，首先對它們提出一個假設H0，然后在H0成立的條件下，通過選取恰當?shù)慕y(tǒng)計量來構造一個小概率事件，若在一次試驗中，小概率事件發(fā)生了，就完全有理由拒絕H0的正確性，否則，沒有充分的理由拒絕H0的正確性，從而接受H0，這就是假設檢驗的基本思想.

（2）假設檢驗的理論依據(jù). 假設檢驗的基本依據(jù)是小概率事件不可能性原理：概率很小的事件在一次試驗中是不可能發(fā)生的.

（3）假設檢驗的基本步驟：①提出假設檢驗問題;②選擇檢驗的指標;③根據(jù)檢驗指標的含義確定拒絕域的構造;④確定拒絕域中的臨界值;⑤給出推斷結果及其解釋.

感悟與反思

章建躍博士說過“理解數(shù)學是當好數(shù)學教師的前提”. 教師對數(shù)學知識的理解水平?jīng)Q定了其對學生認知具體內(nèi)容時的心理把握水平，所以作為教師一定要準確地把握學科本質. 在此基礎上，明確學習目標，選好內(nèi)容素材，確定好研究主題，設計好教學活動. 這樣才能讓學生在掌握相應知識技能的同時形成本門學科特有的學科能力與素養(yǎng).

中小學教育是按學科進行的，每門學科都有其特殊性. 中學數(shù)學學科是由代數(shù)、幾何、三角、微積分、概率統(tǒng)計等分支組成的. 一門學科的本質是一門學科的根本屬性，主要從以下幾個方面體現(xiàn)出來：一是學科的研究對象和基本問題;二是核心概念與范疇;三是基本的學科思想與方法，其核心是學科思維;四是核心的學科價值與精神. 統(tǒng)計學獨特的學科特點與學科思想是培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析能力的良好載體，它所提供的解決問題特有的視角、思維的方式、獲得的經(jīng)歷與體驗是樹立統(tǒng)計思維的良好素材.