體會(huì)研究物理問(wèn)題的極限方法

摘 要：《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確要求學(xué)生體會(huì)研究物理問(wèn)題的極限方法。本文通過(guò)建構(gòu)瞬時(shí)速度的概念，提煉出極限方法的三個(gè)核心思想：?jiǎn)握{(diào)性與連續(xù)性、分割與逼近、近似與精準(zhǔn)。教學(xué)中，教師經(jīng)過(guò)深入理解三個(gè)核心思想，能夠幫助學(xué)生體會(huì)研究物理問(wèn)題的極限方法，并能區(qū)分極限方法與微元法、極值法，也可以更有效地評(píng)估學(xué)生對(duì)極限方法的理解情況，從而促進(jìn)學(xué)生科學(xué)思維的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：極限方法；物理思想方法；核心思想

“體會(huì)研究物理問(wèn)題的極限方法”是《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》）中明確提出的要求。［1］極限方法不僅是一種數(shù)學(xué)方法，更是一種重要的物理思維方法。極限思想無(wú)形地滲透在整個(gè)高中物理的學(xué)習(xí)過(guò)程中［2］，是高中物理連接大學(xué)普通物理中“力學(xué)”“電磁學(xué)”的一種核心思想，是人類(lèi)深入認(rèn)識(shí)和描述現(xiàn)實(shí)世界必備的思維品質(zhì)。掌握極限方法對(duì)學(xué)生的科學(xué)思維發(fā)展具有促進(jìn)作用，可有效提升學(xué)生的物理核心素養(yǎng)。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的語(yǔ)言表達(dá)雖然精煉，但往往較為抽象，無(wú)法直接應(yīng)用于課堂教學(xué)和課堂評(píng)價(jià)。物理課堂的教學(xué)與評(píng)價(jià)目標(biāo)必須清晰、具體、易懂，并且能夠被檢測(cè)和評(píng)價(jià)。因此，本文對(duì)《課程標(biāo)準(zhǔn)》進(jìn)行深入解析，明確極限方法的定義及內(nèi)涵。

1 極限方法現(xiàn)行中學(xué)教材中未明確給出極限的定義。若想讓學(xué)生在研究物理問(wèn)題中體會(huì)到極限方法，教師就必須了解極限的定義以及極限方法。這樣教師才能更好地指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，并對(duì)其學(xué)習(xí)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)。

在數(shù)學(xué)中，極限的定義可簡(jiǎn)單表述為：如果對(duì)于任意給定的數(shù)值ε（ε＞0）和常數(shù)A，從過(guò)程的某一時(shí)刻（或數(shù)列的某一項(xiàng)）開(kāi)始，不等式A－ε＜x＜A＋ε成立，那么常數(shù)A就叫作變量x的極限。

極限的定義是十分抽象的；那么我們可以通過(guò)下述具體情境來(lái)理解極限的含義。

一口井深10m，一只蝸牛從井底往上爬。假設(shè)蝸牛每天可爬剩余高度的一半，求問(wèn)5天后、10天后、15天后蝸牛分別距離井口多遠(yuǎn)？蝸牛多久可以爬到井口？

設(shè)蝸牛距離井口的距離為x，爬行的天數(shù)為n，則距離井口的距離可表示為x＝10（1/2）ⁿ。5天后距離井口的距離為31.25cm，10天后距離井口的距離為9.765625mm，15天后距離井口的距離為305.17578125μm。隨著時(shí)間的推移，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)蝸牛距離井口的距離越來(lái)越小，最后不斷趨近于0，但總不會(huì)為0。這個(gè)就是取極限的一個(gè)過(guò)程，0就是蝸牛距離井口距離的極限值。

在物理學(xué)中，我們可以把連續(xù)不斷變化、趨近于穩(wěn)定狀態(tài)和常量的物理過(guò)程或狀態(tài)稱(chēng)為趨于極限過(guò)程或極限狀態(tài)，把這個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)或常量稱(chēng)為極限。通過(guò)無(wú)限分割、不斷逼近，在連續(xù)變化的過(guò)程中探究變量的變化趨勢(shì)，尋找極限的思想方法就是極限方法。

2 以瞬時(shí)速度概念的建構(gòu)提煉極限方法的核心思想根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》給出的建議，體會(huì)極限方法的核心思想可結(jié)合瞬時(shí)速度概念的建構(gòu)來(lái)進(jìn)行。［1］瞬時(shí)速度是用來(lái)描述物體在某一時(shí)刻或經(jīng)過(guò)某一位置時(shí)運(yùn)動(dòng)快慢的物理量，是狀態(tài)量?！拔锢韺W(xué)中用位移與發(fā)生這段位移所用時(shí)間之比表示物體運(yùn)動(dòng)的快慢，這就是速度。”［3］這其實(shí)應(yīng)該是平均速度的定義，描述的是物體在一段時(shí)間內(nèi)或一段位移內(nèi)運(yùn)動(dòng)的平均快慢程度。如何由平均速度過(guò)渡到瞬時(shí)速度呢？勻速直線運(yùn)動(dòng)是速度保持不變的運(yùn)動(dòng)。做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體在一段時(shí)間內(nèi)的平均速度和各個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度是一樣的。測(cè)量出物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)的平均速度即可得到物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。對(duì)于物體的一般運(yùn)動(dòng)，物體在一段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)快慢是變化的，瞬時(shí)速度又該如何測(cè)量？

2.1 定性分析——認(rèn)識(shí)瞬時(shí)速度

在物體的一般運(yùn)動(dòng)中，某段時(shí)間內(nèi)的平均速度不能代替某一時(shí)刻或某一位置的速度，是因?yàn)檫@段時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)，速度可能在不斷變化。如果在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中取一段極短的時(shí)間或極短的位移，短到物體的運(yùn)動(dòng)快慢來(lái)不及發(fā)生變化或者變化量極小；那么這段極短時(shí)間或極短位移內(nèi)物體的運(yùn)動(dòng)就可以近似看作勻速直線運(yùn)動(dòng)，測(cè)量出來(lái)的平均速度就近似等于物體在這段時(shí)間內(nèi)的某時(shí)刻或這段位移內(nèi)的某位置的瞬時(shí)速度。在誤差允許的范圍內(nèi)，則可認(rèn)為測(cè)量出了物體在該時(shí)刻或該位置的瞬時(shí)速度。

2.2 通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究認(rèn)識(shí)瞬時(shí)速度

為了更加準(zhǔn)確地記錄物體運(yùn)動(dòng)的位置和時(shí)間，實(shí)驗(yàn)可以采用Tracker視頻追蹤處理軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)記錄與處理。使用智能手機(jī)“慢動(dòng)作”攝像功能（60幀率）錄制一個(gè)小球下落的視頻，將其導(dǎo)入到Tracker軟件中。通過(guò)定標(biāo)，軟件自動(dòng)跟蹤所定標(biāo)的小球，記錄小球的位移及對(duì)應(yīng)的時(shí)間數(shù)據(jù)。在整個(gè)完整的運(yùn)動(dòng)中，選擇其中一點(diǎn)標(biāo)記為A點(diǎn)，在其下方選擇一點(diǎn)標(biāo)記為B點(diǎn)，不斷改變A、B之間的距離，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔，然后算出該段時(shí)間內(nèi)的平均速度，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。由表1可以發(fā)現(xiàn)，在B點(diǎn)不斷靠近A點(diǎn)的過(guò)程中，小球在A、B之間的平均速度逐漸變小，當(dāng)A、B之間的距離小于6cm時(shí)，可近似認(rèn)為平均速度變成了一個(gè)常量，即可近似認(rèn)為這段時(shí)間內(nèi)物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，平均速度即為這段時(shí)間內(nèi)各點(diǎn)的瞬時(shí)速度。

2.3 通過(guò)x-t圖像認(rèn)識(shí)瞬時(shí)速度

若物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其x-t圖像是一條傾斜的直線，該直線的斜率可表示該段時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的平均速度，也可以表示各個(gè)時(shí)刻瞬時(shí)速度的大小。若物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，其x-t圖像是一條曲線（如圖1所示）。在圖像上選取A、B兩點(diǎn)，A、B連線的斜率可以表示A、B之間的平均速度，但是無(wú)法反映A點(diǎn)的瞬時(shí)速度。當(dāng)我們逐漸移動(dòng)B點(diǎn)位置來(lái)縮短A、B之間的距離時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)連接A、B的直線逐漸靠近曲線（如圖2所示）。當(dāng)A、B之間間隔非常短時(shí)，通過(guò)電腦放大來(lái)觀察，會(huì)發(fā)現(xiàn)A、B連線與曲線基本重合，曲線上的AB這一小段可以近似看成直線處理（如圖3所示）。也就是說(shuō)AB段的運(yùn)動(dòng)可以近似看作勻速直線運(yùn)動(dòng)，這條線段的斜率就可以近似表示物體在A點(diǎn)的瞬時(shí)速度。A、B之間越接近，所計(jì)算的A點(diǎn)的瞬時(shí)速度結(jié)果就越準(zhǔn)確。當(dāng)A、B基本重合時(shí)，它們的連線就變成了圖像的切線，該切線的斜率就表示割線AB在Δt趨近于0時(shí)斜率的極限。由割線逼近切線的過(guò)程就是平均速度向瞬時(shí)速度轉(zhuǎn)化的過(guò)程。

以上測(cè)量物體在某一時(shí)刻或某一位置瞬時(shí)速度的過(guò)程，其實(shí)就是使用極限方法的過(guò)程。首先，所研究的時(shí)間間隔內(nèi)速度的變化是單調(diào)并連續(xù)的；其次，通過(guò)不斷縮小所取時(shí)間間隔或位移，即分割時(shí)間或位移，從而使得平均速度逐漸接近于待測(cè)時(shí)刻或位置的瞬時(shí)速度，這個(gè)過(guò)程就是一個(gè)不斷逼近的過(guò)程；最后，當(dāng)達(dá)到一定精度后，就近似認(rèn)為測(cè)量出來(lái)的平均速度即為該時(shí)刻或位置的瞬時(shí)速度，即要能處理近似和精準(zhǔn)之間的關(guān)系。因此，極限方法的核心思想可歸納為三點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)性與連續(xù)性、分割與逼近、近似與精準(zhǔn)。

3 體會(huì)研究物理問(wèn)題的極限方法體會(huì)的意思就是通過(guò)體驗(yàn)然后領(lǐng)會(huì)。要想讓學(xué)生體會(huì)研究物理問(wèn)題中使用的極限方法，教師需要讓學(xué)生經(jīng)歷相關(guān)物理問(wèn)題的研究，領(lǐng)會(huì)極限方法的三個(gè)核心思想，然后經(jīng)過(guò)內(nèi)化，理解極限方法。

單調(diào)性與連續(xù)性是物理中使用極限方法解決問(wèn)題的前提條件。單調(diào)性是極限問(wèn)題的基本特征，指某物理量隨其影響因素的變化在區(qū)間內(nèi)呈單調(diào)變化。［4］連續(xù)性是指在研究的物理問(wèn)題范圍內(nèi)，物理量隨其影響因素的變化沒(méi)有斷點(diǎn)。數(shù)學(xué)函數(shù)的極限和連續(xù)性是兩個(gè)彼此獨(dú)立的問(wèn)題。在物理中，處理極限問(wèn)題往往需要通過(guò)分割與逼近來(lái)實(shí)現(xiàn)。變化過(guò)程必須連續(xù)，這是由時(shí)空的連續(xù)變化決定的。對(duì)連續(xù)的理解，可以從離散出發(fā)［5］，即由特殊到一般的演變過(guò)程。比如，對(duì)于極限，學(xué)生很難理解“Δt→0”，一個(gè)量如何能連續(xù)不斷地趨于0呢？連續(xù)不斷是什么意思呢？教師可以讓學(xué)生先理解1/n經(jīng)過(guò)1/2、1/3、1/4、…逐漸實(shí)現(xiàn)趨近于0。合理應(yīng)用極限方法中的單調(diào)性與連續(xù)性可實(shí)現(xiàn)物理問(wèn)題從有限向無(wú)限的過(guò)渡。

分割與逼近是物理中使用極限方法解決問(wèn)題的核心。分割是將一個(gè)整體分為有限或者無(wú)限個(gè)部分來(lái)研究，其可分為空間分割和時(shí)間（或過(guò)程）分割。根據(jù)分割單元需要參量不同，常見(jiàn)的空間分割可分為線分割、面分割和體分割。比如，勻速直線運(yùn)動(dòng)——一個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果質(zhì)點(diǎn)在任意相等的時(shí)間內(nèi)通過(guò)的位移都相等，這種運(yùn)動(dòng)就叫作勻速直線運(yùn)動(dòng)。即將質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程分割成時(shí)間相等的若干個(gè)過(guò)程，判斷每個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程所需要的時(shí)間是否相等。當(dāng)分割的時(shí)間段趨近于無(wú)限小時(shí)，就得到了嚴(yán)格意義上的勻速直線運(yùn)動(dòng)。再比如，根據(jù)開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)第二定律，在證明行星在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)速度與到軌道焦點(diǎn)距離成反比規(guī)律的過(guò)程，我們需要將行星與太陽(yáng)連線掃過(guò)的面積分割為極小，近似認(rèn)為此過(guò)程中行星運(yùn)動(dòng)的速率不變。逼近就是“靠攏”的意思，指的是事物在發(fā)展變化的過(guò)程中向某個(gè)確定值“靠攏”（或“趨近”）。在研究和解決具體物理問(wèn)題中，有這樣幾種常見(jiàn)的逼近情況：位置逼近、直線逼近曲線、割線逼近切線、矩形逼近曲邊梯形。［6］分割與逼近是極限方法的核心思想，對(duì)解決實(shí)際物理問(wèn)題有著十分重要的意義。

近似與精準(zhǔn)是物理中使用極限方法解決問(wèn)題的靈魂。近似與精準(zhǔn)本身是一組相互矛盾的概念，而在極限方法中卻實(shí)現(xiàn)了辯證與同一。魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，他指出：割之彌細(xì)，失之彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣。古希臘哲學(xué)家安蒂豐同樣提出過(guò)類(lèi)似的方法，通過(guò)無(wú)限等分的方法計(jì)算圓的周長(zhǎng)。當(dāng)然，在實(shí)際計(jì)算中，他們只能進(jìn)行有限次的分割。故亞里士多德在《物理學(xué)》中提到安蒂豐的觀念，指出安蒂豐的多邊形永遠(yuǎn)不能和圓周重合，因?yàn)檫@種等分可以永遠(yuǎn)繼續(xù)下去。［7］亞里士多德更多關(guān)注的是近似，認(rèn)為無(wú)論如何分割逼近，最后的結(jié)果也只能是近似值。而他卻忽略了如果重復(fù)的次數(shù)足夠多，近似的結(jié)果就能達(dá)到研究所需要的精度。在實(shí)際物理問(wèn)題中，精準(zhǔn)本身就是一個(gè)相對(duì)概念，絕對(duì)的精準(zhǔn)是不存在的。在祖沖之的不懈努力下，早在南北朝時(shí)期圓周率就實(shí)現(xiàn)了小數(shù)點(diǎn)后七位的精準(zhǔn)度。雖然這個(gè)結(jié)果仍然是近似值，但是已經(jīng)可以完全滿足當(dāng)時(shí)的生產(chǎn)、生活以及科技發(fā)展要求，所以該值對(duì)當(dāng)時(shí)來(lái)說(shuō)就是精準(zhǔn)的。因此，我們可以通過(guò)近似認(rèn)識(shí)精準(zhǔn)。在不斷分割、逼近的過(guò)程中所取的值，對(duì)于極限值而言是近似的，但是在研究誤差允許的范圍內(nèi)也可以認(rèn)為是精準(zhǔn)的，可作為極限值處理。

4 極限方法與微元法、極值法的關(guān)系在日常教學(xué)過(guò)程中，教師經(jīng)常將極限方法與微元法、極值法混淆。因此，在了解極限方法及其核心思想之后，教師還需要明確三種方法之間的關(guān)系。

微元法是指在處理較復(fù)雜的變化問(wèn)題時(shí)，常常先把整個(gè)區(qū)間劃分為若干個(gè)小區(qū)間，認(rèn)為每一小區(qū)間內(nèi)研究的量不變，再研究單個(gè)區(qū)間的特性或?qū)φ麄€(gè)區(qū)間求和。［8］微元法是大學(xué)物理中常用到的微積分的基礎(chǔ)。中學(xué)物理中討論的微元法包含極限、導(dǎo)數(shù)、積分的思想［9］，因此微元法與極限方法是包含與被包含的關(guān)系。微元法除了極限思想中的三個(gè)核心特征之外，還包含重新組合疊加的積分思想，這可以作為二者的主要區(qū)別。當(dāng)然，微元法亦可作為極限方法的思維進(jìn)階，在學(xué)生體會(huì)到極限方法之后，再進(jìn)一步接觸。

示例1 如圖所示，擺球的質(zhì)量為m，懸線的長(zhǎng)為L(zhǎng)，把懸線拉到水平位置后由靜止釋放。設(shè)擺球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受空氣阻力f的大小不變，求擺球從位置A運(yùn)動(dòng)到豎直位置B過(guò)程中，空氣阻力f做了多少功？［10］

將AB圓弧分成許多段小弧長(zhǎng)，使每一段小弧長(zhǎng)小到可以看成直線段，可認(rèn)為每一段小弧長(zhǎng)上f的大小、方向均不變，即為恒力，這就將變力做功問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒力做功問(wèn)題。f所做的總功等于每段小弧長(zhǎng)上f所做功的代數(shù)和。雖然原作者使用該案例來(lái)說(shuō)明極限法在高中物理解題中的應(yīng)用，但準(zhǔn)確來(lái)說(shuō)，原作者在該案例中使用的應(yīng)該是微元法。這不僅要求學(xué)生要理解極限思想，還要能夠理解積分思想。如果學(xué)生剛接觸極限方法，直接考查學(xué)生對(duì)極限方法的體會(huì)程度就會(huì)有些不合適；如果學(xué)生接觸微元法后，再對(duì)其進(jìn)行考查就會(huì)合適很多。因此，將此題作為微元法在高中物理解題中的應(yīng)用會(huì)更恰當(dāng)。

極值法是指通過(guò)數(shù)學(xué)方法找到某個(gè)物理過(guò)程或狀態(tài)的最大或最小值的方法。極值是可以達(dá)到的，是不需要近似和逼近的。

示例2 如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m的小球位于一質(zhì)量可忽略的直立彈簧上方h高度處。該小球從靜止開(kāi)始落向彈簧，設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，求小球可能獲得的最大動(dòng)能。［11］

根據(jù)極限法分析，小球跟彈簧接觸后，先做變加速運(yùn)動(dòng)，后做變減速運(yùn)動(dòng)，因此，小球在所受合力為零的位置時(shí)速度、動(dòng)能最大。上述分析過(guò)程雖然是清晰的，但是并沒(méi)有體現(xiàn)極限方法核心思想的應(yīng)用，此處仍是用定性分析物理過(guò)程代替定量列方程求解，本質(zhì)仍然是極值法。

5 結(jié)語(yǔ)教師在明確了極限方法及其核心思想之后，不僅能夠更清晰地指導(dǎo)學(xué)生體會(huì)極限思想，還能夠根據(jù)其核心特征對(duì)學(xué)生運(yùn)用極限方法的情況進(jìn)行評(píng)價(jià)。例如，教師可以通過(guò)觀察學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題或解釋自然現(xiàn)象時(shí)對(duì)極限方法核心思想的應(yīng)用來(lái)進(jìn)行評(píng)價(jià)。以這樣的問(wèn)題為例：“用照相機(jī)拍攝短跑比賽中飛奔的運(yùn)動(dòng)員，可以得到一張靜止的照片，因此我們有理由相信運(yùn)動(dòng)員在這一時(shí)刻是靜止的。請(qǐng)你評(píng)價(jià)這一觀點(diǎn)，并說(shuō)明原因?！比绻麑W(xué)生能夠運(yùn)用極限方法的核心思想來(lái)說(shuō)明這一觀點(diǎn)的錯(cuò)誤之處以及為什么會(huì)產(chǎn)生這樣的錯(cuò)誤觀念，那么可以說(shuō)學(xué)生已經(jīng)體會(huì)到了研究物理問(wèn)題中的極限方法。

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*基金項(xiàng)目：本文系湖南省普通高等學(xué)校教學(xué)改革研究項(xiàng)目“基于深度學(xué)習(xí)的物理課程與教學(xué)論改革研究與實(shí)踐”（課題編號(hào)：HNJG-2020-0164）的階段性成果。