函數(shù)概念教學(xué)的哲學(xué)思考

【摘 要】 函數(shù)概念是哲學(xué)上發(fā)生真理性認(rèn)識(shí)的一個(gè)現(xiàn)實(shí)的實(shí)例，它的教學(xué)設(shè)計(jì)的一種有效程序可以刻畫(huà)為：首先，通過(guò)“教材分析”離析出知識(shí)所內(nèi)含的“核心思想”；其次，選擇相關(guān)材料啟發(fā)學(xué)生再次萌生“核心思想”進(jìn)而形成“規(guī)范性表達(dá)”；再次，從發(fā)生數(shù)學(xué)概念認(rèn)識(shí)的上述兩個(gè)環(huán)節(jié)中獲得“啟發(fā)性成分”；如此，最大限度地發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)的教育價(jià)值.其中，離析“核心思想”需要教師的整體精神活力的支持，是教師的綜合素養(yǎng)的集中體現(xiàn).

【關(guān)鍵詞】 高中函數(shù)概念；核心思想；規(guī)范性表達(dá)；啟發(fā)性成分

數(shù)學(xué)教學(xué)所要傳授的知識(shí)相對(duì)固定（其最低限度已經(jīng)清楚地寫入課程標(biāo)準(zhǔn)）.但是，通過(guò)何種方式來(lái)傳授這種已經(jīng)設(shè)定了的知識(shí)，卻隨著教師的教學(xué)設(shè)計(jì)的取向不同，預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)不同，持有的教學(xué)觀念不同，獲得的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)不同，理解特定數(shù)學(xué)知識(shí)性質(zhì)不同，揣摩發(fā)生特定知識(shí)的學(xué)生認(rèn)知方式不同，估計(jì)發(fā)生知識(shí)時(shí)學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)心理活動(dòng)意向不同，存在多種選擇余地.不同的教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)的教育價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)發(fā)展的結(jié)果大相徑庭、迥然有別.本文所討論的主要是筆者從自己的教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)的一種可操作數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)的程序，及其對(duì)這一程序舉例加以說(shuō)明.

1 函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)的一種可操作的程序

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)是一項(xiàng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性的整體工程，合理的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的源頭（或立足之基）集中地體現(xiàn)于互相關(guān)聯(lián)的三個(gè)側(cè)面：理解要傳授的具體數(shù)學(xué)知識(shí)所呈現(xiàn)的環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介的組成序列（簡(jiǎn)稱“教材分析”）；把握學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)（針對(duì)“教材分析”獲得的知識(shí)環(huán)節(jié)及其聯(lián)接中介）的心理活動(dòng)環(huán)節(jié)及其過(guò)渡性中介的組成序列（簡(jiǎn)稱“學(xué)情分析”）；通過(guò)創(chuàng)造性工作找到貫通這兩方面環(huán)節(jié)序列之間的切合點(diǎn)（可以溝通的元素）、實(shí)現(xiàn)兩者之間的關(guān)聯(lián)（簡(jiǎn)稱“關(guān)聯(lián)分析”）.如框架圖1所示[1].

筆者在這個(gè)基礎(chǔ)又發(fā)現(xiàn)了發(fā)揮數(shù)學(xué)（概念）知識(shí)教育價(jià)值的一種可操作的程序，那就是，首先，從“教材分析”中離析出數(shù)學(xué)（概念）知識(shí)的“核心思想”，在教學(xué)中，不是將它直接地“奉獻(xiàn)”給學(xué)生，而是想方設(shè)法地啟發(fā)學(xué)生從自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中獨(dú)立地萌生這一“核心思想”；其次，找到承載這一核心思想的材料，設(shè)置情境，鼓勵(lì)學(xué)生將這一核心思想轉(zhuǎn)化為“規(guī)范性表達(dá)”，從個(gè)性化角度來(lái)說(shuō)，再次生成全新的數(shù)學(xué)知識(shí)（作為社會(huì)化的角度而言，它已經(jīng)是陳舊的知識(shí)了）；再次，通過(guò)教師的啟導(dǎo)，學(xué)生從萌生“核心思想”到“規(guī)范性表達(dá)”的這一整套過(guò)程中獲得運(yùn)用知識(shí)的“啟發(fā)性成分”.

在這個(gè)程序的三個(gè)環(huán)節(jié)中，最為基礎(chǔ)與關(guān)鍵的是從所要的傳授的知識(shí)，通過(guò)“教材分析”離析“核心思想”的這一環(huán)節(jié).因?yàn)椋辛恕昂诵乃枷搿?，加之以教師選擇合適的教學(xué)材料，經(jīng)由情景設(shè)計(jì)，循循誘導(dǎo)、步步啟發(fā)地引導(dǎo)學(xué)生，他們就一定會(huì)或早或遲總可以形成“規(guī)范性表達(dá)”的，但是，就教學(xué)設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，從“核心思想”到“規(guī)范性表達(dá)”是需要教師特別注意的，那就是要經(jīng)由這一過(guò)程應(yīng)該將其中所隱含的“啟發(fā)性成分”發(fā)揮得淋漓盡致.為此，我們以高中函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)為例加以說(shuō)明.

2 基于此程序的函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)

教科書(shū)上提供的函數(shù)概念的表述：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f∶A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)（function），記作

y=f（x），x∈A.

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域（domain）；與x值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫函數(shù)的值域（range）[2].我們就此概念研究教學(xué)設(shè)計(jì)的程序.

（一）哲學(xué)思考：離析核心思想

從教科書(shū)上所提供的字斟句酌的函數(shù)概念定義表述中，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)定義的組成元素為兩個(gè)集合A與B，其中集合A中的元素是函數(shù)的“定義域”，但是，一般情況下，集合B中的所有元素并非是其“值域”，值域可能只是集合B中元素的一部分（特殊情況下，也可能是其全部），它的最為核心的元素就是“對(duì)應(yīng)”.“對(duì)應(yīng)”是“綱”，集合A與集合B及其生成的“定義域”與“值域”是“目”.那么，關(guān)于函數(shù)定義的教學(xué)設(shè)計(jì)我們應(yīng)該緊緊抓住“對(duì)應(yīng)”這個(gè)元素，處理好了它，就可以綱舉目張，達(dá)到啟發(fā)學(xué)生徹底地理解它的目的.

這個(gè)定義的字斟句酌的“規(guī)范性表達(dá)”，給剛剛進(jìn)入高中的學(xué)生的學(xué)習(xí)造成了很大困難，因此，我們?cè)诜治鲞@個(gè)概念結(jié)構(gòu)時(shí)，必須要理出一種秩序，在這種“規(guī)范性表達(dá)”中，何謂它的“核心思想”？通過(guò)這個(gè)“核心思想”如何將這些材料織就成這種嚴(yán)密的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)——“規(guī)范性表達(dá)”？進(jìn)而從函數(shù)概念的“核心思想”到“規(guī)范性表達(dá)”的現(xiàn)實(shí)實(shí)踐過(guò)程而產(chǎn)生的“啟發(fā)性成分”？這是“教材分析”與“學(xué)情分析”首先要解決的問(wèn)題，并以此為基礎(chǔ)，教師通過(guò)悉心考慮，找到教學(xué)設(shè)計(jì)的可執(zhí)行的現(xiàn)實(shí)途徑.

建立兩個(gè)領(lǐng)域相關(guān)元素“對(duì)應(yīng)”關(guān)系方式的工作原理是，把兩個(gè)領(lǐng)域的相關(guān)元素通過(guò)建立“對(duì)應(yīng)”關(guān)聯(lián)起來(lái)，對(duì)于研究它的人來(lái)說(shuō)，它們當(dāng)中的一個(gè)領(lǐng)域中的元素形成的知識(shí)（關(guān)系與結(jié)構(gòu)）是比較地清楚明白的，而到目前為止，另一個(gè)領(lǐng)域中的元素的關(guān)系與結(jié)構(gòu)我們知之甚少，或一無(wú)所知，通過(guò)兩者建立成的“對(duì)應(yīng)”，就可以將未知領(lǐng)域中的元素的關(guān)系與結(jié)構(gòu)，憑借已經(jīng)獲得的已知領(lǐng)域中元素的關(guān)系與結(jié)構(gòu)（知識(shí)）加以衡量、估計(jì)與推測(cè).如此，利用“對(duì)應(yīng)”的手段建立一種可靠的體系發(fā)生真理性認(rèn)識(shí)的方法[3].這正是高中階段利用函數(shù)的抽象性的教學(xué)資源，盡可能地形成學(xué)生的深層次的體驗(yàn)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)伊始，教師對(duì)此必須深入思考與皆盡可能地進(jìn)行教學(xué)研究的問(wèn)題.

通過(guò)如此分析，我們可以看到，函數(shù)概念的“對(duì)應(yīng)”的思想，具有哲學(xué)上的發(fā)生真理性認(rèn)識(shí)的認(rèn)識(shí)論意蘊(yùn)， 是哲學(xué)上發(fā)生真理性認(rèn)識(shí)的一個(gè)現(xiàn)實(shí)的實(shí)例，體現(xiàn)了使用數(shù)學(xué)的方法探究、發(fā)現(xiàn)真理性認(rèn)識(shí)的精神.它構(gòu)成了函數(shù)概念的“核心思想”，教學(xué)設(shè)計(jì)的過(guò)程就是設(shè)法將這種“對(duì)應(yīng)”的“核心思想”，透過(guò)選擇材料與基于材料進(jìn)行問(wèn)題情境的設(shè)置，通過(guò)建構(gòu)的活動(dòng)過(guò)程，啟發(fā)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中體驗(yàn)如此思想.

（二）教學(xué)設(shè)計(jì)：?jiǎn)l(fā)建構(gòu)“核心思想”形成“規(guī)范性表達(dá)”獲得“啟發(fā)性成分”

筆者必須要花費(fèi)點(diǎn)筆墨來(lái)敘述自己關(guān)于函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)的真實(shí)經(jīng)歷：筆者從函數(shù)概念的定義中離析出了它的“核心思想”——發(fā)生真理性認(rèn)識(shí)的一種方法，如果我們只是泛泛地用語(yǔ)言形式向?qū)W生解釋使學(xué)生理解這種思想，也是一種教學(xué)途徑，那更多地是哲學(xué)課的講授教學(xué)形式所采納的.數(shù)學(xué)知識(shí)及其運(yùn)用是這種思想的具體體現(xiàn)，應(yīng)該讓學(xué)生現(xiàn)實(shí)地體驗(yàn)它，最好的方式就是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，使學(xué)生從具體的問(wèn)題情境中構(gòu)建出函數(shù)定義中的關(guān)鍵要素“對(duì)應(yīng)”的“核心思想”.

筆者在這種觀念的指導(dǎo)下，經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)時(shí)間思考，這一觀念似乎在筆者的大腦中設(shè)置成了一個(gè)強(qiáng)烈的磁場(chǎng)，任何與如此問(wèn)題相關(guān)的可能有價(jià)值材料的鐵屑飛過(guò)，都難以逃脫它的捕獲.最先想到的是釣魚(yú)的原理：有釣魚(yú)經(jīng)驗(yàn)的人都知道，釣魚(yú)主要是推測(cè)與判斷魚(yú)咬鉤，但是，魚(yú)是否咬鉤在水下，我們不能直接地看到，那么，如何做出推測(cè)呢？這就需要將本來(lái)看不見(jiàn)的魚(yú)咬鉤的動(dòng)作轉(zhuǎn)化為可以觀察到的標(biāo)識(shí)物，就是通過(guò)浮在水面上可以看得見(jiàn)的浮標(biāo)的運(yùn)動(dòng)來(lái)推測(cè)水下魚(yú)咬鉤的動(dòng)作.這兩者的建立的關(guān)聯(lián)（或“對(duì)應(yīng)”）是運(yùn)用已知的結(jié)論去估計(jì)未知的結(jié)果發(fā)生的可能性，這就需要建立一種“對(duì)應(yīng)”來(lái)達(dá)到目的.

但是，筆者以為，如果就運(yùn)用這種現(xiàn)象性的材料作為提示學(xué)生理解函數(shù)的“核心思想”的話，那也就意味著是將這種“對(duì)應(yīng)”要素產(chǎn)生過(guò)程直接交給了學(xué)生，這與直接地向?qū)W生解釋說(shuō)明其實(shí)沒(méi)有多大區(qū)別.因?yàn)椋环矫?，在這樣的情況下，學(xué)生并不是利用自己的整體精神活力建構(gòu)了這一“核心思想”，而只是通過(guò)生活現(xiàn)象的啟發(fā)，直接地接受了這種“核心思想”；另一方面，沒(méi)有啟發(fā)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的價(jià)值.因此，如此設(shè)計(jì)的效果也不會(huì)太理想，它依然是一種解釋性而不是鼓勵(lì)學(xué)生萌生知識(shí)“核心思想”的手段促進(jìn)學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的.

如此，它構(gòu)成了一個(gè)鮮活的問(wèn)題，筆者等待著觸發(fā)靈感解決它的機(jī)會(huì).果然，有一次，坐在大巴車上，車進(jìn)加油站加油，當(dāng)我看到油罐桶臥在那里的時(shí)候，筆者突然想到了解決這一問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)的現(xiàn)實(shí)材料了，回家后，立即作了這樣的設(shè)計(jì)：

師：新北區(qū)（常州國(guó)際學(xué)校坐落在這個(gè)區(qū)）的“月星”加油站需要知道油罐桶中的存油量（就是圖2中的陰影部分的體積V），如果經(jīng)理請(qǐng)你給他一種比較精確的答案，你打算通過(guò)怎樣的手段來(lái)獲得這一數(shù)據(jù)？

師：經(jīng)理會(huì)不會(huì)讓工人將油罐桶里的油料倒下來(lái)，然后再運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)容器來(lái)一次又一次地測(cè)量從而獲得它的體積呢？

生1：肯定不會(huì)這樣做.

師：老師也是如此想的，這樣做就極大地增加了成本，幾個(gè)工人可能一天也不能完成這件事.那怎么辦？

生2：我想通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算來(lái)避免具有許多工作量的事務(wù)性的測(cè)量活動(dòng).

師：一個(gè)很好的想法！那么，要進(jìn)行計(jì)算就需要獲得一些數(shù)據(jù)，我們可以假定這個(gè)油罐桶是一個(gè)柱體，它的豎截面是一個(gè)圓，這個(gè)圓的半徑為r，柱體的長(zhǎng)為d.還需要那種數(shù)據(jù)才會(huì)有利于求出陰影部分的體積？

生3：我們只要知道豎截面的那個(gè)陰影弓形的面積就行了，而要知道陰影弓形的面積，我們只要知道這個(gè)弓形的高就行了，這個(gè)弓形的高是比較好測(cè)量的.

師：生3同學(xué)的意思是，我們只要測(cè)量出豎截面的陰影弓形的高h(yuǎn)，就可以得到這個(gè)油罐桶中的油量體積V了.

師：生3的想法是一種非常好的想法.就是將不容易測(cè)量而得到的油料體積V轉(zhuǎn)化為非常易于測(cè)量的弓形高h(yuǎn)（如圖3），從而，利用弓形高來(lái)推知儲(chǔ)油罐里的油料的體積V.事實(shí)上，就是建立了一種“對(duì)應(yīng)”關(guān)系：有一個(gè)弓形高h(yuǎn)就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)油料的體積V.

師：這種分析中其實(shí)隱含了一種一般性的解決問(wèn)題的思想，其骨架是，在數(shù)學(xué)中，當(dāng)我們面臨一個(gè)難于測(cè)量得到結(jié)果的問(wèn)題（本例中的體積V），常常將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于測(cè)量得到結(jié)果的問(wèn)題（本例中的弓形高的線段長(zhǎng)度h），它的條件是，這兩個(gè)量之間具有一種換算的關(guān)系（特別指出的是，這里對(duì)于每一個(gè)確定的長(zhǎng)度h都可以確定唯一的體積V，這就是為什么選擇油罐桶置于其上的平面為測(cè)量弓形高的起點(diǎn)，而不是水平的中軸面為測(cè)量起點(diǎn)）.

師：我們將這種思想一般化，就是在兩個(gè)數(shù)集中，一個(gè)數(shù)集（一般是實(shí)數(shù)集，我們對(duì)它的相關(guān)性質(zhì)已經(jīng)透徹理解了）中的元素形成的關(guān)系與性質(zhì)我們非常容易地取得，而另一個(gè)數(shù)集中的元素的關(guān)系與性質(zhì)我們難以取得，如果將這兩個(gè)數(shù)集之間形成一種“對(duì)應(yīng)”關(guān)系，那么，我們就可以用容易取得數(shù)集中元素的關(guān)系性質(zhì)去推測(cè)與估計(jì)不容易取得數(shù)集中元素的關(guān)系性質(zhì).這就是我們今天所要研究的函數(shù)概念的核心思想的要旨所在（余下，通過(guò)這種設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生將其“核心思想”轉(zhuǎn)化為函數(shù)定義的“規(guī)范性表達(dá)”，這里略而不記了.下面的設(shè)問(wèn)，是檢驗(yàn)學(xué)生獲得了的“啟發(fā)性成分”的情況）.

師：現(xiàn)在，你對(duì)在初中已經(jīng)的學(xué)習(xí)過(guò)了的反比例函數(shù)y=kx（k≠0）有什么新的認(rèn)識(shí)？

生4：根據(jù)我對(duì)剛才所定義的函數(shù)概念的理解，這里就是運(yùn)用已知的函數(shù)y=x，即實(shí)數(shù)自身來(lái)推測(cè)y=kx（k≠0）的相關(guān)性質(zhì)，如定義域、值域及其相關(guān)圖像所產(chǎn)生的性質(zhì)等.

師：是的，就是這樣的.后面還要學(xué)習(xí)函數(shù)的許多其他性質(zhì)，也基本上都是去利用函數(shù)y=x來(lái)加以推測(cè)的，我們到時(shí)候再加以學(xué)習(xí).

如此教學(xué)設(shè)計(jì)，突出了啟發(fā)學(xué)生萌生函數(shù)概念所內(nèi)含的“核心思想”，通過(guò)問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，鼓勵(lì)學(xué)生自己建構(gòu)出了函數(shù)概念中的“對(duì)應(yīng)”的要素，藉此，促使學(xué)生體會(huì)到函數(shù)概念具有哲學(xué)認(rèn)識(shí)論中的方法論意義，體驗(yàn)開(kāi)拓方法、發(fā)現(xiàn)客觀規(guī)律時(shí)，主體精神活力的能動(dòng)性作用.這種突出萌生“數(shù)學(xué)思想”的教學(xué)設(shè)計(jì)是偏于知識(shí)，或突出能力的教學(xué)設(shè)計(jì)意旨所無(wú)可比擬的.

3 結(jié)語(yǔ)

由此我們看到，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師“教材分析”這一環(huán)節(jié)重要性，王策三先生說(shuō)，“知識(shí)好比一個(gè)百寶箱，里面藏了大量的珍寶；不僅內(nèi)含有關(guān)于客觀事物的特性與規(guī)律，而且內(nèi)含有人類主觀能力、思想、情感、價(jià)值觀等精神力量、品質(zhì)與態(tài)度.因?yàn)橹R(shí)是人類歷史實(shí)踐、認(rèn)識(shí)活動(dòng)的結(jié)果凝結(jié)在里面的，因而知識(shí)更內(nèi)含有知識(shí)原始獲得的實(shí)踐認(rèn)識(shí)活動(dòng)方式和過(guò)程”[4].王先生接著說(shuō)明，要將知識(shí)中的這些育人價(jià)值挖掘出來(lái)，就要將知識(shí)打開(kāi)，即把知識(shí)原創(chuàng)者的實(shí)踐認(rèn)識(shí)活動(dòng)方式和過(guò)程，加以還原、展開(kāi)、重演、再現(xiàn)，使學(xué)生與人類總體“相遇”；然后，依據(jù)“學(xué)情分析”的結(jié)果（其實(shí)是揣摩學(xué)生發(fā)生知識(shí)認(rèn)識(shí)時(shí)的心理環(huán)節(jié)及其過(guò)渡性中介的建構(gòu)），將獲得的這一過(guò)程進(jìn)行改造、專門設(shè)計(jì)、簡(jiǎn)化、典型化，如縮短過(guò)程、平易難度、精簡(jiǎn)多余等.如此，以保證學(xué)生可以比較順利地再創(chuàng)造出前人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的知識(shí)，并且從中獲得最大的教益.

本文所論述的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的“三項(xiàng)分析”是王先生這一論述的突出體現(xiàn)，其中，通過(guò)“教材分析”，離析出其中內(nèi)含的“核心思想”對(duì)經(jīng)由教學(xué)設(shè)計(jì)發(fā)揮知識(shí)的教育價(jià)值具有舉足輕重的作用.其實(shí)，如此進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的環(huán)節(jié)也是非常簡(jiǎn)單的，就是“離析‘核心思想”；到“選擇相關(guān)材料啟發(fā)學(xué)生再次萌生‘核心思想進(jìn)而形成‘規(guī)范性表達(dá)；再到“從這發(fā)生認(rèn)識(shí)過(guò)程中獲得‘啟發(fā)性成分”.從筆者自己設(shè)計(jì)這一教學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，離析“核心思想”需要教師的整體精神活力的支持，這對(duì)數(shù)學(xué)教師提出了很高的要求，是教師的綜合教學(xué)素養(yǎng)的集中體現(xiàn).

關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)理念更深的理解，我們可以首先引用威廉·卡爾文的建議，“智力就是你不知怎么辦時(shí)動(dòng)用的東西.但是，富有智慧則有更多的涵義，這是一種創(chuàng)造性能力，憑借這種能力你會(huì)瞬即想出新主意，各種答案在你的大腦中接踵而至，一些比另一些更好”[5].因此，通過(guò)知識(shí)的教學(xué)發(fā)展學(xué)生的智力，進(jìn)而增加學(xué)生的智慧，最好的方式是教師需要設(shè)計(jì)出一種學(xué)生“不知道怎么辦”的問(wèn)題場(chǎng)景，使學(xué)生直面問(wèn)題所在，從而迫使他們動(dòng)用自己的智力，從中萌生新思想，想出新辦法，生成新觀念.而不是把解決具體問(wèn)題的方法呈現(xiàn)給學(xué)生，甚至也不能提示學(xué)生解決問(wèn)題的具體方法，必須迫使學(xué)生針對(duì)具體問(wèn)題萌生思想，再?gòu)倪@種思想中生成駕馭具體問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法.

我們知道，數(shù)學(xué)知識(shí)最終是數(shù)學(xué)思想的物化形式，但是，在將其轉(zhuǎn)化為育人的資源時(shí)，它們是不能如同物質(zhì)性的材料一樣地互相傳遞的.數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程，絕不是如同使用微機(jī)‘下載文件的方式進(jìn)行的，不能直接將他人已經(jīng)形成的知識(shí)吸收進(jìn)入學(xué)習(xí)者的智囊.數(shù)學(xué)知識(shí)是一種承載思想的載體，是人與人數(shù)學(xué)思想交流的一種中介物.于是，數(shù)學(xué)知識(shí)作為教育資源時(shí)，必須要將隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想重新發(fā)掘出來(lái)，在數(shù)學(xué)知識(shí)所設(shè)定的場(chǎng)域中，學(xué)習(xí)者與前人（他人）進(jìn)行思想交流，在前人（他人）思想的啟示中，受教育者重新萌生出數(shù)學(xué)思想、并再造出數(shù)學(xué)方法，從而再一次形成具體的數(shù)學(xué)知識(shí)[6].

這就是說(shuō)，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的合適途徑應(yīng)該是，利用數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，直面學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)的心理環(huán)節(jié)，在學(xué)生已經(jīng)習(xí)得的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)中，找到奠基發(fā)生新知識(shí)所缺乏的數(shù)學(xué)思想，設(shè)法幫助學(xué)生從這種思想中產(chǎn)生出數(shù)學(xué)方法.這就需要學(xué)生面臨真正的問(wèn)題，也就是體現(xiàn)威廉·卡爾文所強(qiáng)調(diào)的“不知怎么辦”的關(guān)節(jié)點(diǎn)，它正是教師利用數(shù)學(xué)知識(shí)促進(jìn)學(xué)生萌生數(shù)學(xué)思想的至關(guān)重要的環(huán)節(jié).學(xué)生發(fā)生了數(shù)學(xué)思想之后，就會(huì)迫使他們?cè)隍?yàn)證自己的思想的過(guò)程中產(chǎn)生新方法，形成（對(duì)學(xué)生而言的）新知識(shí)，從而擴(kuò)展智力，增加智慧，形成數(shù)學(xué)能力.由此可知，萌生數(shù)學(xué)思想的教學(xué)設(shè)計(jì)才是數(shù)學(xué)教學(xué)的最高境界.

參考文獻(xiàn)

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[3] [英]卡爾·波普爾.客觀知識(shí)——一個(gè)進(jìn)化論的研究[M].上海：上海譯文出版社，1987：35.

[4] 王策三.認(rèn)真對(duì)待“輕視知識(shí)”的教育思潮——再評(píng)由“應(yīng)試教育”想素質(zhì)教育轉(zhuǎn)軌提法的討論[J].北京大學(xué)教育評(píng)論，2004（7）；2（3）：16.

[5] [美]威廉·卡爾文.大腦如何思維：智力演化的今昔[M].楊雄里，梁培基譯，上海，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1996∶1.

[6] 張昆.數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計(jì)的創(chuàng)新實(shí)踐研究——基于“美學(xué)”的視點(diǎn)[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（5）：43.