基于核心素養(yǎng)的“導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性”課例分析及其教學(xué)改進(jìn)

張長雁

[摘 ?要] 精心的教學(xué)設(shè)計(jì)是實(shí)施有效教學(xué)的前提，精彩的教學(xué)生成是在教師引導(dǎo)下，凸顯學(xué)生主體學(xué)習(xí)活動(dòng)及師生互動(dòng)、共同學(xué)習(xí)提高的過程. 教學(xué)中教師應(yīng)該機(jī)智巧妙地引導(dǎo)學(xué)生化解和消除學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，促成精彩的教學(xué)生成，提高教學(xué)效率，切不可因追求完成預(yù)定的教學(xué)進(jìn)度而跳過學(xué)生知識(shí)的困惑點(diǎn)，忽視學(xué)生自主學(xué)習(xí)過程，形成學(xué)生思維的空洞，影響學(xué)生思維能力的提升，造成教學(xué)低效.

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);教學(xué)改進(jìn);教學(xué)生成;生長點(diǎn);課例分析

當(dāng)前學(xué)科核心素養(yǎng)是一個(gè)熱門的話題，課堂教學(xué)是培養(yǎng)和落實(shí)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)的主陣地. 基于核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)是中學(xué)教師的首要任務(wù)，迫在眉睫，勢在必行. 教育心理學(xué)理論告訴我們：精心的教學(xué)設(shè)計(jì)是實(shí)施有效教學(xué)的前提，精彩的教學(xué)生成是在教師引導(dǎo)下，凸顯學(xué)生主體學(xué)習(xí)活動(dòng)及其師生互動(dòng)、共同學(xué)習(xí)提高的過程. 教學(xué)中，教師應(yīng)該敏銳地捕捉學(xué)生思維的發(fā)生點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)的生長點(diǎn)，把握問題的關(guān)鍵點(diǎn)，集中精力，重點(diǎn)突破，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 教師應(yīng)該機(jī)智巧妙地引導(dǎo)學(xué)生，化解和消除學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，促成精彩的教學(xué)生成，提高教學(xué)效率，切不可因追求完成預(yù)定的教學(xué)進(jìn)度而跳過學(xué)生知識(shí)的困惑點(diǎn)，忽視學(xué)生自主學(xué)習(xí)過程，形成學(xué)生思維的空洞，影響學(xué)生思維能力的提升，從而造成教學(xué)低效. 現(xiàn)以課例“導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性”予以分析說明.

教學(xué)過程簡述

本節(jié)課是一位青年教師執(zhí)教的高三復(fù)習(xí)課，授課班級(jí)是高三往屆理科班，學(xué)生基礎(chǔ)一般，期中考試數(shù)學(xué)平均成績約74分，屬于中等水平. ？搖

首先，教師通過復(fù)習(xí)梳理知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)入新課，強(qiáng)調(diào)了函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間，重點(diǎn)說明和澄清了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系. 其次，教師選取了一道典型的例題——2017年全國高考Ⅰ卷中壓軸題21題：已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x，討論f（x）的單調(diào)性.

接著，教師開始解題分析，并組織教學(xué);學(xué)生分組，合作學(xué)習(xí)，討論研究;教師提問，學(xué)生集體回應(yīng);教師講解，黑板和電子白板交互使用，講解思路清晰，聲音洪亮，感情充沛.

教學(xué)中，教師按照參數(shù)a的范圍通過分類討論的方法解決了a=0和a>0的情況，將a<0的情況留給學(xué)生課后去做. 可是就本例題學(xué)生主體學(xué)習(xí)思維活動(dòng)以及學(xué)習(xí)中存在的問題都沒能夠充分地體現(xiàn)出來，教師也沒有進(jìn)行方法的歸類、總結(jié)和提煉.

接下來，教師開始課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，給出跟蹤練習(xí)，組織學(xué)生分組，實(shí)踐操作，合作討論，歸納總結(jié)，組內(nèi)形成共識(shí). 小組代表發(fā)言，展示交流討論的結(jié)果. 此時(shí)，教師馬上發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)上的漏洞，出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因就是在前面例題的教學(xué)中對(duì)難點(diǎn)的突破不徹底造成的. 這時(shí)，教師又一次進(jìn)行了知識(shí)的補(bǔ)充和講解，可是下課鈴聲已經(jīng)響起. 雖然教師的重新講解最終解決了這個(gè)難點(diǎn)，但是由于前面教學(xué)難點(diǎn)的突破不夠深入和細(xì)致，導(dǎo)致后面教學(xué)中同一難點(diǎn)（參數(shù)的取值范圍）的重新浮現(xiàn)，浪費(fèi)了課時(shí)，造成教學(xué)低效. 這就是教學(xué)中的“熱冷飯”現(xiàn)象，是一種常見的教學(xué)通病，教師理應(yīng)盡量地避免和根除這種教學(xué)陋習(xí).

問題分析

在這里，筆者認(rèn)為此題作為一個(gè)典型問題借以突出學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)分類討論思想的感悟、理解和應(yīng)用，應(yīng)該將分類討論作為一個(gè)知識(shí)重點(diǎn)和學(xué)習(xí)難點(diǎn)來進(jìn)行教學(xué)，針對(duì)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)水平和解題能力，做好教學(xué)設(shè)計(jì)，選擇好適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)實(shí)施策略. 具體而言，假如學(xué)生對(duì)前兩種情況的討論已經(jīng)掌握，可以將第三種情況留給學(xué)生自主練習(xí)，但教師仍然要檢查學(xué)生的完成情況，適時(shí)調(diào)整教學(xué)，不可為追求教學(xué)進(jìn)度而“一走了之”;假如學(xué)生的基礎(chǔ)薄弱，就更應(yīng)該把學(xué)生的練習(xí)情況通過學(xué)生的活動(dòng)如實(shí)反映出來，比如學(xué)生板演，提問學(xué)生讓其回答問題，教師巡查學(xué)生練習(xí)情況等，借以觀察學(xué)情，掌握教學(xué)反饋信息. 即從學(xué)生視角出發(fā)，解決存在的問題，提高學(xué)生分析和解決問題的能力.

教學(xué)建議

高三數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不可平均著力，應(yīng)該集中精力攻克一點(diǎn)——教學(xué)核心問題. 即將前面的例題作為重點(diǎn)和難點(diǎn)突破，應(yīng)該不惜教學(xué)時(shí)間進(jìn)行參數(shù)范圍的各種情況的分析和討論，同時(shí)教師規(guī)范板書解題步驟，展示解答思路. 只有將這一重難點(diǎn)解決好，才能水到渠成地進(jìn)行下一步的教學(xué). 最主要的是要將三種情況分析進(jìn)行歸納和總結(jié)，總結(jié)規(guī)律和方法，形成解決這一類問題的通法，然后再做針對(duì)性練習(xí)、變式練習(xí)、高考模擬練習(xí)，達(dá)到教學(xué)的預(yù)期效果，進(jìn)一步拓展學(xué)生思維空間，提升學(xué)生的思維能力和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

教學(xué)改進(jìn)

題目：已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x，討論f（x）的單調(diào)性.

1. 計(jì)算能力考查點(diǎn)：求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)

求導(dǎo)： f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1.

（1）教學(xué)分析：對(duì)于函數(shù)的求導(dǎo)，學(xué)生容易發(fā)生計(jì)算上的錯(cuò)誤，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，教師不應(yīng)該忽略這個(gè)計(jì)算過程，應(yīng)該對(duì)學(xué)生加強(qiáng)訓(xùn)練，增強(qiáng)學(xué)生的基本運(yùn)算能力.

（2）教學(xué)策略：學(xué)生自主練習(xí)，先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，同時(shí)抽取幾位不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生上黑板板演. 觀察學(xué)生的解題情況，暴露學(xué)生解題的思維過程，及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，及時(shí)糾正和完善. 重在考查和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——計(jì)算能力.

2. 思維突破點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)分解因式

（1）教學(xué)分析：這是一個(gè)思維觸發(fā)點(diǎn). 因?yàn)橥ㄟ^函數(shù)導(dǎo)數(shù)討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，所以要考慮參數(shù)a的范圍. 但就原導(dǎo)數(shù)的形式直接討論較為困難，故將導(dǎo)數(shù)分解因式，將問題轉(zhuǎn)化，即f′（x）=（2ex+1）（aex-1）. 這一過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想，也就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)抽象的形成過程，也是搭建學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的重要過程. 這個(gè)分析和引導(dǎo)過程必須體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行積極的自主思考和探究交流. 同時(shí)，必須彰顯學(xué)生的主體學(xué)習(xí)活動(dòng). 只有兩者的完美結(jié)合才能有效地促成教學(xué)生成.

（2）教學(xué)策略：教師適時(shí)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行自主思考、實(shí)踐操作、合作探究和交流，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)將導(dǎo)數(shù)分解因式的意圖——便于討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào).

3. 能力生長點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)符號(hào)的討論

（1）教學(xué)分析：通過前面的知識(shí)鋪墊，此時(shí)，教學(xué)活動(dòng)中已經(jīng)構(gòu)建了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，按照參數(shù)a的取值范圍分為a=0，a<0，a>0三種情況進(jìn)行討論.

如何選擇其一討論？顯然體現(xiàn)的是由特殊到一般，從簡單到復(fù)雜的數(shù)學(xué)演繹和化歸思想. 即首先從特殊情況a=0討論，當(dāng)a=0時(shí)， f′（x）=（2ex+1）（aex-1）= -（2ex+1）<0. 其次，到底討論a<0還是a>0？這里就是學(xué)生能力的生長點(diǎn). 重點(diǎn)考查學(xué)生敏銳的數(shù)學(xué)感覺，即是考查和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——數(shù)據(jù)分析能力.

顯然，按照由易到難的原則，應(yīng)該先討論：當(dāng)a<0時(shí)， f′（x）=（2ex+1）（aex-1）<0，因此當(dāng)a≤0時(shí)， f′（x）=（2ex+1）（aex-1）<0，函數(shù)f（x）在定義域（-∞，+∞）上單調(diào)遞減.

對(duì)第三種情況“a>0”的討論是難點(diǎn). 這一點(diǎn)上，教師應(yīng)當(dāng)花大力氣進(jìn)行教學(xué)引導(dǎo)和分析，加強(qiáng)學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力. 比如解方程還需要結(jié)合函數(shù)知識(shí)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)必須結(jié)合不等式和函數(shù)的知識(shí)，等等. 因此，這個(gè)難點(diǎn)既是學(xué)生的困惑點(diǎn)，也是知識(shí)的交匯點(diǎn)，更是能力的生長點(diǎn).

難點(diǎn)：當(dāng)a>0時(shí)，令f′（x）=（2ex+1）（aex-1）=0，解得ex= ，即x=ln . 因?yàn)楹瘮?shù)y=lnx為定義域上的增函數(shù)，所以當(dāng)xln 時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間ln ，+∞上單調(diào)遞增.

結(jié)論：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減;當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間-∞，ln 上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）在區(qū)間ln ，+∞上單調(diào)遞增.

這個(gè)過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——邏輯推理能力和計(jì)算能力的形成及培養(yǎng).

（2）教學(xué)策略：教師組織學(xué)生分組討論，合作探究，相互交流. 小組代表發(fā)言，師生對(duì)話、互動(dòng)、點(diǎn)評(píng)、解決簡單的兩種情況a=0，a≤0，然后篩選優(yōu)秀的小組代表進(jìn)行板演，展示對(duì)a>0情況的解決過程. 最后，幻燈片展示完整解題過程，師生共同總結(jié)解決這類問題的通法和規(guī)律.

結(jié)語

總之，高三復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)該切中學(xué)生的學(xué)情，以學(xué)生視角觀察問題、思考問題、解決問題. 把學(xué)生作為備課資源，訪談學(xué)情，深入了解學(xué)情，研究學(xué)情，盡量讓學(xué)生能夠參與教師的備課活動(dòng). 致力解決學(xué)生知識(shí)困惑點(diǎn)、銜接點(diǎn)、交匯點(diǎn);巡查學(xué)生思維的盲點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)、生長點(diǎn);把控教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)、靈感的觸發(fā)點(diǎn)、思維的創(chuàng)新點(diǎn). 多種方法創(chuàng)建學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，促使學(xué)生思考，開拓學(xué)生的思維空間，提升思維能力，凝練思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，提高他們發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.