挖掘隱性聯(lián)系，促進(jìn)意義學(xué)習(xí)

王罡

[摘 ?要] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了促進(jìn)和實(shí)現(xiàn)學(xué)生的有意義學(xué)習(xí)，教師僅僅向?qū)W生闡明教材中呈現(xiàn)的顯性聯(lián)系是不夠的，還應(yīng)注重挖掘課程內(nèi)容與初中數(shù)學(xué)的隱性聯(lián)系. 教師需要設(shè)法幫助學(xué)生尋找初高中數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，以實(shí)現(xiàn)內(nèi)容的有效銜接，同時讓學(xué)生懂得融會貫通. 文章列舉正弦定理與余弦定理、復(fù)數(shù)、等差數(shù)列與等比數(shù)列三個典型案例分別從顯性聯(lián)系和隱性聯(lián)系兩方面展開分析.

[關(guān)鍵詞] 顯性聯(lián)系;隱性聯(lián)系;意義學(xué)習(xí)

美國著名教育心理學(xué)家奧蘇泊爾曾提出有意義接受說，他認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是在新舊知識間建立一種非認(rèn)為的和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，因此教師有必要通過教學(xué)幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)有意義學(xué)習(xí)[1]. ?高中數(shù)學(xué)教學(xué)更是如此，一方面，作為初中數(shù)學(xué)知識的延伸、拓展和深化，高中數(shù)學(xué)結(jié)論更具有概括性和一般性，教師應(yīng)全面了解高中數(shù)學(xué)知識體系，深入挖掘初中數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容，并在實(shí)際教學(xué)中深刻揭示兩者間的聯(lián)系;另一方面，初中數(shù)學(xué)的結(jié)論早已轉(zhuǎn)化為學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)，深深根植于學(xué)生的頭腦中，為了遵循直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)相統(tǒng)一的教學(xué)規(guī)律，教師同樣需要在教學(xué)實(shí)施中深入向?qū)W生解密初高中知識間的關(guān)聯(lián)，以豐富完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)[2].

然而，筆者在聽課的過程中，不時會發(fā)現(xiàn)存在這樣一種有待改進(jìn)的不足：許多教師在課堂上往往只注重向?qū)W生揭示淺層的知識間的關(guān)聯(lián). 這種關(guān)聯(lián)通常已經(jīng)在多個版本教材上清晰呈現(xiàn)，教師的任務(wù)不過是將課本內(nèi)容經(jīng)過加工轉(zhuǎn)化為自己的教學(xué)內(nèi)容，筆者不妨將之定義為顯性聯(lián)系. 事實(shí)上，筆者認(rèn)為，教師更應(yīng)該向?qū)W生揭示那些表面上看似并無關(guān)聯(lián)的知識間的聯(lián)系，即教材上未呈現(xiàn)的、潛在待挖掘的隱性聯(lián)系. 只有這樣，才能真正體現(xiàn)教師勞動的創(chuàng)造性，從而真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生的有意義學(xué)習(xí). 下面筆者選取三個典型的章節(jié)內(nèi)容予以具體分析和說明.

正弦定理與余弦定理

1. 顯性聯(lián)系分析

筆者翻閱人教A版和北師大版兩版本教材“解三角形”一章，將教材中呈現(xiàn)的正弦定理、余弦定理與初中數(shù)學(xué)相關(guān)知識的聯(lián)系整理成表1、表2：

通過整理可以看到，北師大版和人教A版兩版本教材在介紹正弦定理、余弦定理時或多或少展示了其與初中所學(xué)三角形相關(guān)內(nèi)容的密切關(guān)聯(lián)，這些內(nèi)容包括三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理、三角形全等等知識. 筆者認(rèn)為，除此以外，還有一些內(nèi)容有待教師挖掘和開發(fā)，以更好地實(shí)現(xiàn)初高中教材三角形模塊內(nèi)容的有效銜接.

2. 隱性聯(lián)系分析

（1）與完全平方公式的聯(lián)系

事實(shí)上，仔細(xì)觀察余弦定理的公式c2=a2+b2-2abcosC，不禁會發(fā)現(xiàn)，該公式在形式上不僅與勾股定理c2=a2+b2很像（勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣），而且與初中所學(xué)的完全平方公式（a+b）2=a2+b2±2ab也有幾分相似.

眾所周知，余弦定理要求角C的取值范圍是（0，π），而勾股定理恰恰是當(dāng)C= 時的特殊情形. 筆者進(jìn)一步思考，當(dāng)角C取0或者π，情況又是怎樣的呢？盡管此時已經(jīng)不再構(gòu)成三角形，但不妨將C=0和C=π分別代入公式中，最終得到c2=a2+b2+2ab和c2=a2+b2-2ab.

另一方面，考慮C=0時的幾何意義，由于此時得到的幾何圖形是由在一條直線上的兩條長度分別為a和b的線段構(gòu)成的合線段，邊c的長度恰為另外兩邊中較長邊與較短邊的差，故有c=a-b. 同理，分析C=π時的幾何意義，得到c=a+b.

由此可見，當(dāng)C=0時，所得為兩數(shù)和的完全平方公式;當(dāng)C=π時，所得為兩數(shù)差的完全平方公式. 這樣一來，看似不相干的余弦定理與初中所學(xué)的完全平方公式在形式上統(tǒng)一了起來，教師若能在課堂上及時啟發(fā)學(xué)生的思考并幫助學(xué)生澄清這一聯(lián)系，或許將收到意想不到的教學(xué)效果.

（2）與三角形全等的聯(lián)系

盡管人教A版在介紹余弦定理時提及三角形全等的“邊角邊”判定和“邊邊邊”判定，但給筆者的感覺不過是蜻蜓點(diǎn)水，兩者的聯(lián)系揭示得不夠深入和全面. 眾所周知，關(guān)于任意三角形全等，學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了四種判定，依次分別是“邊邊邊”（SSS）“邊角邊”（SAS）“角邊角”（ASA）和“角角邊”（AAS）. 此外，學(xué)生還通過尺規(guī)作圖等操作活動初步感受到以上四種判定實(shí)則唯一確定一個三角形的充分條件，而“邊邊角”（SSA）并不能確保三角形唯一確定. 不過，學(xué)生當(dāng)時尚不能通過推理解釋說明判定成立的合理性.

在筆者看來，以上學(xué)情分析可以成為教師教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和終極目標(biāo)，即學(xué)完正弦定理和余弦定理后，教師可引導(dǎo)學(xué)生重新復(fù)習(xí)回顧全等三角形的判定，并讓學(xué)生嘗試借助這兩個定理解釋說明判定成立的合理性，從而使學(xué)生深刻體會到學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理不僅僅是為了求解三角形中的未知元素，真正的目的其實(shí)是為了解釋之前所學(xué)的內(nèi)容，學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望和興趣將進(jìn)一步提升. 另一方面，給定三角形中的某三個元素解三角形恰好對應(yīng)SSS，SAS，SSA，ASA，AAS五種情況，教師有義務(wù)幫助學(xué)生系統(tǒng)總結(jié)每種情況適用的定理，以使學(xué)生形成清晰穩(wěn)定的知識結(jié)構(gòu)，同時也實(shí)現(xiàn)了初高中所學(xué)知識的完美結(jié)合. 筆者針對每種情況建立的知識間的一一對應(yīng)關(guān)系如表3所示.

復(fù)數(shù)

1. 顯性聯(lián)系分析

筆者翻閱人教A版和北師大版“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”一節(jié)，將教材中涉及的與初中有關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系總結(jié)成表4.

由表格可獲知，兩版本教材主要想借助初中所學(xué)“一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可能無解”這一結(jié)論指出實(shí)數(shù)集擴(kuò)充的必要性. 當(dāng)然，為了引入虛數(shù)單位i，也為了讓學(xué)生更快更好地接受新數(shù)i，教材這里特意選取了最簡單的一元二次方程x2+1=0. 有所不同的是，人教A版回顧了初中由有理數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集的大致過程，為實(shí)數(shù)集的進(jìn)一步擴(kuò)充提供了可借鑒的思路. 筆者認(rèn)為，在此基礎(chǔ)上，教師仍有較大的改進(jìn)空間，有望在實(shí)際教學(xué)中更深層次地揭示復(fù)數(shù)的引入與一元二次方程求解的關(guān)系.

2. 隱性聯(lián)系分析

初中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)了四種求解一元二次方程的方法，依次分別為直接開平方法（（mx+n）2=p型）、配方法、公式法（ax2+bx+c=0（a≠0）型）和因式分解法. 這里，求根公式是通過配方法得到的，故只需討論以下三種情形：

（1）（mx+n）2=p型的一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解，須要求p≥0. 如果p<0，為了保證方程仍然有解，就需要引入虛數(shù)單位i（i2=-1），此時方程變形為（mx+n）2=（-1）（-p），進(jìn)而轉(zhuǎn)化為mx+n= ± i，這樣一來，方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)就有兩解.

（2）ax2+bx+c=0（a≠0）型的一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解，須要求Δ≥0. 如果Δ<0，為了確保方程仍能求解，同樣引入虛數(shù)單位i（i2=-1），此時方程的解x= ，可變形為x= . 由此可見，方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有兩解.

（3）某些一元二次方程可以通過因式分解的方法來求解. 像ax2+bx=0（a≠0）型的方程一般用提公因式的方法求解，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一定有解. 但部分方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無法使用乘法公式進(jìn)行因式分解，同樣引入復(fù)數(shù)之后便可迎刃而解. 比如4x2+3=0在實(shí)數(shù)系內(nèi)無解，但在復(fù)數(shù)系內(nèi)可因式分解為（2x- i）·（2x- i）=0.

教師在教學(xué)實(shí)施中一方面可引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧初中求解一元二次方程時無解的幾種情形，讓學(xué)生深刻感受到引入復(fù)數(shù)的必要性和現(xiàn)實(shí)需求;另一方面，通過引入復(fù)數(shù)，進(jìn)一步加深學(xué)生對求解一元二次方程的認(rèn)識. 學(xué)生在此過程中不僅對舊知識有了更深層次的理解，而且提高了對新知識的接受能力，可謂一舉兩得.

等差數(shù)列與等比數(shù)列

1. 顯性聯(lián)系分析

筆者翻閱人教A版和北師大版教材“數(shù)列”一章，將教材中呈現(xiàn)的兩類特殊數(shù)列（等差數(shù)列和等比數(shù)列）與初中已學(xué)知識的聯(lián)系總結(jié)成表5，表6.

經(jīng)過整理分析，筆者發(fā)現(xiàn)關(guān)于兩類特殊數(shù)列與初中數(shù)學(xué)的聯(lián)系，兩版本教材著重在以下兩個方面予以體現(xiàn)：①將等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式分別與初中所學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)進(jìn)行類比，以借助函數(shù)思想解決有關(guān)問題;②教材列舉了許多學(xué)生在初中學(xué)習(xí)有理數(shù)的乘方運(yùn)算時便已熟知的實(shí)例，有助于學(xué)生從感性材料中抽象概括出等比數(shù)列的概念.

2. 隱性聯(lián)系分析

事實(shí)上，兩類特殊數(shù)列與初中數(shù)學(xué)的聯(lián)系遠(yuǎn)不止這些，筆者認(rèn)為還有兩個方面跟初中數(shù)學(xué)聯(lián)系較為密切，它們分別是等差（比）中項(xiàng)和等差（比）數(shù)列的整體性質(zhì).

其中，由三個數(shù)組成的最簡單的等差（比）數(shù)列中，中間的一項(xiàng)通常稱作另外兩項(xiàng)的等差（比）中項(xiàng). 在實(shí)際教學(xué)過程中，教師往往會一筆帶過，但在筆者看來，它在初中數(shù)學(xué)中有著豐富的原型，初中數(shù)學(xué)的不少內(nèi)容都可以見到它的影子. 比如，一個含 的角的直角三角形是初中重點(diǎn)討論的特殊三角形，它的三個內(nèi)角 ， ， 恰好構(gòu)成一個最簡單的等差數(shù)列， 是另外兩內(nèi)角的等差中項(xiàng);將一條線段分成兩部分，其中較長部分與全長之比等于較短部分與較長部分的比，即著名的黃金分割比，這里較長的部分便是較短部分與全長的等比中項(xiàng). 此外，等邊三角形無論是三條邊還是三個內(nèi)角，都既是最簡單的等差數(shù)列，又是最簡單的等比數(shù)列. 教師在講到等差（比）中項(xiàng)時，不妨讓學(xué)生課后搜集一下與之相關(guān)的初中內(nèi)容，學(xué)生將深深領(lǐng)悟到等差（比）中項(xiàng)應(yīng)用的廣泛性.

至于等差（比）數(shù)列的整體性質(zhì)，盡管教材中沒有系統(tǒng)總結(jié)，但是教師通常會給學(xué)生補(bǔ)充，以為后續(xù)的鞏固練習(xí)提供幫助. 這里，筆者認(rèn)為數(shù)列可以跟統(tǒng)計(jì)中的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析. 設(shè)有一行數(shù)，分別為a1，a2，a3，…，an，它既可以看作一個等差（比）數(shù)列，又可以看成一組數(shù)據(jù).

（1）將它的每個數(shù)都增加一個常數(shù)b，構(gòu)成一個新數(shù)列或者一組新數(shù)據(jù);

（2）將它的每個數(shù)都擴(kuò)大k倍，構(gòu)成一個新數(shù)列或者一組新數(shù)據(jù);

（3）將它的每個數(shù)都先擴(kuò)大k倍再增加一個常數(shù)b，構(gòu)成一個新數(shù)列或者一組新數(shù)據(jù).

討論形成的新數(shù)列的公差或公比的變化情況和新數(shù)據(jù)的均值變化情況，列成表7.

通過分析表格，可以發(fā)現(xiàn)，等差數(shù)列公差d、等比數(shù)列公比q和數(shù)據(jù)均值 隨著每一項(xiàng)同時擴(kuò)大相同的倍數(shù)或者增加同一個常數(shù)，各自的變化情況有所不同. 教師可在課堂上組織學(xué)生探究有關(guān)結(jié)論，經(jīng)過自主學(xué)習(xí)探究，學(xué)生會驚奇地發(fā)現(xiàn)，等差（比）數(shù)列的整體性質(zhì)居然跟數(shù)據(jù)有著異曲同工之妙，從而將理解得更透徹.

總結(jié)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，從本質(zhì)上講是有意義學(xué)習(xí)的過程，是學(xué)習(xí)者將數(shù)學(xué)語言代表的新知識與個人認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)知識建立非人為和實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的過程. 通過上述舉例可以看出，初中數(shù)學(xué)的許多知識可以作為高中數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容的原型和先行組織者，而高中數(shù)學(xué)的某些知識又可以反過來幫助解釋說明初中所學(xué)內(nèi)容. 由此可見，兩學(xué)段數(shù)學(xué)知識環(huán)環(huán)相扣，彼此聯(lián)系緊密，教師在闡明教材所呈現(xiàn)的顯性聯(lián)系的基礎(chǔ)上，有必要幫助學(xué)生認(rèn)真挖掘潛在的隱性聯(lián)系，以期引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生的有意義學(xué)習(xí). ？搖？搖

參考文獻(xiàn)：

[1] ?涂榮豹，季素月. 數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論新編[M]. 南京：江蘇教育出版社，2007.

[2] ?劉婧. 人教版初高中數(shù)學(xué)教材銜接研究[D]. 西南大學(xué)，2013.