淺談不定積分的積分方法

王秋芬　宋丹丹

【摘要】不定積分是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)分析學(xué)科中也占據(jù)著重要地位.同一道積分題目有不同的積分方法，為使學(xué)生更好地掌握不定積分，本文主要結(jié)合實(shí)例分析介紹了不定積分的基本積分法、換元積分法和分部積分法.

【關(guān)鍵詞】不定積分;換元積分法;分部積分法

【基金項(xiàng)目】安康學(xué)院教改項(xiàng)目（YB201807、YB201803）;安康學(xué)院自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2017AYQN09、2018AYQN02）.

不定積分是高等數(shù)學(xué)中積分學(xué)的基礎(chǔ)，不定積分的掌握情況直接影響到積分理論的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，熟練掌握不定積分的理論與不定積分的幾種積分方法需要以微分理論為基礎(chǔ).

一、不定積分的定義與性質(zhì)

定理1 若F（x）是f（x）在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則對(duì)c，F(xiàn)（x）+c都是f（x）在區(qū)間I上的原函數(shù);若G（x）也是f（x）在區(qū)間I上的原函數(shù)，則必有G（x）=F（x）+c.

可見(jiàn)，若f（x）有原函數(shù)F（x），則f（x）的全體原函數(shù)所成集合為{F（x）+c|c∈R}.

定義1 函數(shù)f在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱(chēng)為f在I上的不定積分，記作∫f（x）dx，

其中稱(chēng)∫為積分號(hào)，f（x）為被積函數(shù)，f（x）dx為被積表達(dá)式，x為積分變量.

不定積分與原函數(shù)是總體與個(gè)體的關(guān)系，即若F是f的一個(gè)原函數(shù)，則f的不定積分是一個(gè)函數(shù)族{F+C}，C是任意常數(shù)，為方便起見(jiàn)，寫(xiě)作∫f（x）dx=F（x）+C.

這時(shí)又稱(chēng)C為積分常數(shù)，它可取任一實(shí)數(shù)值.

不定積分的線性運(yùn)算，即對(duì)α，β∈R，有∫（αf（x）+βg（x））dx=α∫f（x）dx+β∫g（x）dx.

二、不定積分的積分方法

（一）直接積分法

直接積分法是指直接或者將被積函數(shù)做適當(dāng)恒等變形后，利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式來(lái)求不定積分的方法.

例1 求∫tan2xdx.

解 ∫tan2xdx

=∫（sec2x-1）dx

=∫sec2xdx-∫dx

=tanx-x+C.

（二）換元積分法

1.第一類(lèi)換元積分法

第一類(lèi)換元積分法，也叫湊微分法，是所有積分法的基礎(chǔ)，是把復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則反過(guò)來(lái)應(yīng)用于不定積分，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，把一些積分形式轉(zhuǎn)換成基本積分表中所給出的形式再計(jì)算最終結(jié)果.

定理2 設(shè)F（u）為f（u）的原函數(shù)，u=φ（x）可微，則

∫f（φ（x））φ′（x）dx=∫f（u）duu=φ（x）.

公式在使用時(shí)可把它寫(xiě)成簡(jiǎn)便形式：

∫f（φ（x））φ′（x）dx=∫f（φ（x））dφ（x）=F（φ（x））+C.

例2 求∫tanxdx.

解 由∫tanxdx=∫sinxcosxdx=-∫（cosx）′cosxdx，可令u=cosx，g（u）=1u，則得

∫tanxdx

=-∫1udu=-ln|u|+C=-ln|cosx|+C.

例3 求∫lnx+1（xlnx）2dx.

解 ∫1（xlnx）2d（xlnx）

=-1xlnx+C.

2.第二類(lèi)換元積分法

第二類(lèi)換元的基本思想是選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Qx=φ（t），將無(wú)理函數(shù)的積分化為有理式的積分.

定理3 設(shè)x=φ（t）是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且φ′（t）≠0.又設(shè)f[φ（t）]φ′（t）具有原函數(shù)F（t），則有換元公式

∫f（x）dx=∫f[φ（t）]φ′（t）dt=F（t）+C=F[φ-1（x）]+C，

其中t=φ-1（x）是x=φ（t）的反函數(shù).

例4 求∫a2-x2dx（a>0）.

解 令x=asint，|t|<π2（這是存在反函數(shù)t=arcsinxa的一個(gè)單調(diào)區(qū)間）.于是

∫a2-x2dx

=∫acostd（asint）

=a2∫cos2tdt

=a22∫（1+cos2t）dt

=a22t+12sin2t+C

=a22arcsinxa+xa1-xa2+C

=12a2arcsinxa+xa2-x2+C.

（三）分部積分法

分部積分法是乘積的微分公式的逆運(yùn)算.分部積分法在使用時(shí)需注意：（1）熟記分部積分公式;（2）記住反函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)這五類(lèi)函數(shù)的順序，簡(jiǎn)記為反對(duì)冪指三，前為u后為v′.

定理4 若u（x）與v（x）可導(dǎo)，不定積分∫u′（x）v（x）dx存在，則∫u（x）v′（x）dx也存在，并有

∫u（x）v′（x）dx=u（x）v（x）-∫u′（x）v（x）dx.

例5 求∫x2exdx.

解 令u=x2，v′=ex，則有u′=2x，v=ex.

∫x2exdx

=∫x2d（ex）=x2ex-∫exd（x2）

=x2ex-2∫xexdx

=x2ex-2exx+2ex+C.

例6 ∫xlnxdx.

解 ∫xlnxdx=∫lnxdx22

=x22·lnx-∫x22dlnx

=x22·lnx-∫x2dx

=x22·lnx-x24+C.

本文對(duì)不定積分的幾種積分方法進(jìn)行了簡(jiǎn)單的總結(jié)，不定積分的解法不是一成不變的，也沒(méi)有統(tǒng)一的規(guī)律可循，只有對(duì)不定積分的解法熟練掌握，以后遇到不定積分才可以快速準(zhǔn)確地求解.

【參考文獻(xiàn)】

[1]汪義瑞，石衛(wèi)國(guó).數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程[M].成都：西南交通大學(xué)出版社，2014.

[2]張曼.淺談不定積分的積分方法[J].科教導(dǎo)刊，2012（24）：118-119.

[3]馬文素.淺談不定積分的積分方法[J].青海師專(zhuān)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)），2006（5）：45-47.

[4]曹勇.淺談不定積分的常用方法[J].科技信息，2012（10）：131.

[5]王寧，劉生.淺談高等數(shù)學(xué)不定積分方法的簡(jiǎn)單歸類(lèi)[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2011（4）：150.