“圓錐曲線與方程”教學(xué)重點分析

黃海燕

圓錐曲線與方程的內(nèi)容，主要是在直線和圓的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)圓錐曲線與方程，了解圓錐曲線與二次方程的關(guān)系，掌握圓錐曲線的基本幾何性質(zhì)，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.

一、教材中內(nèi)容特點

（一）明確解析幾何的基本思想方法

突出用方程研究曲線，用代數(shù)方法研究曲線的幾何性質(zhì);強調(diào)解析幾何解決問題的程序性和普適性;自始至終貫穿曲線與方程、方程與曲線的關(guān)系.

（二）抓住軌跡問題的本質(zhì)，建立軌跡的方程

軌跡是由動點運動形成的曲線（或幾何圖形），其特點是，動點在運動變化過程中，始終有保持不變的量，由此我們可以建立軌跡的方程.通過軌跡的方程，研究軌跡的幾何性質(zhì).橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線都是動點在運動變化過程中，保持某種“距離”不變.

（三）實例豐富，注重實際背景和應(yīng)用

實際上，圓錐曲線很早就與人類生產(chǎn)、生活以及科研有著緊密的聯(lián)系.在章引言中，說明三種圓錐曲線都是用不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐面得到的.改變截面與圓錐軸線的夾角，可以得到橢圓、雙曲線、拋物線.這種引入，目的是使學(xué)生了解“圓錐曲線”名稱的由來.另外在教材的正文中，還多次提到行星運行軌道、發(fā)電廠冷卻塔的外形、拋物運動軌跡、探照燈的鏡面等等.在教材的拓展性欄目中，還安排了“探究與發(fā)現(xiàn)：為什么截口曲線是橢圓”“閱讀與思考：圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”（這些內(nèi)容非常有趣，運用導(dǎo)數(shù)可以給出嚴(yán)格的證明）等.安排大量的實例，注重實際背景和應(yīng)用的目的是讓學(xué)生感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的重要作用.

二、教學(xué)中主要方法

（一）引導(dǎo)學(xué)生自主探索

介紹三種圓錐曲線時，引導(dǎo)學(xué)生自主探索.如通過觀察橢圓的形狀，引導(dǎo)學(xué)生建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用點的坐標(biāo)表示距離，建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.這種呈現(xiàn)方式，意在突出知識的發(fā)生、發(fā)展過程，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)探索，既動手又動腦，獲得體驗.在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，把具體直觀的圖形“橢圓”抽象形式化（代數(shù)化）為“方程”，形成理性認(rèn)識.雙曲線與拋物線的幾何特征雖然與橢圓不同，但其引入和標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，都是與橢圓相類比展開的.

（二）注意代數(shù)方法與幾何直觀相結(jié)合

在三種圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)的研究中，從直觀入手，用代數(shù)方法研究它們的幾何性質(zhì)，注意代數(shù)方法與幾何直觀相結(jié)合.如對橢圓離心率的研究，首先從直觀入手，讓學(xué)生觀察兩組扁平程度不一的橢圓，提出問題“用什么量刻畫橢圓的扁平程度呢？”再讓學(xué)生思考，然后給出橢圓離心率的定義.這種方式，首先使學(xué)生對離心率有一個直觀的印象，然后對離心率的概念有更加深入的認(rèn)識.這種處理方式可以從不同的角度，用不同的量刻畫橢圓的扁平程度.類比橢圓離心率的概念，對雙曲線離心率的研究，我們首先直接給出雙曲線離心率的概念，然后提出問題“橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度，雙曲線的離心率刻畫雙曲線的什么幾何特征？”，讓學(xué)生思考.結(jié)合幾何直觀，以及a，c兩個量，可以發(fā)現(xiàn)，雙曲線的離心率可以用來刻畫雙曲線“張口”的大小.

（三）幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性

加強不同知識內(nèi)容的聯(lián)系性，從不同角度看待同一數(shù)學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生體會曲線與方程和函數(shù)與圖像之間的關(guān)系，感受數(shù)學(xué)的整體性.曲線與方程、函數(shù)與圖像是兩類不同的研究對象，它們之間有一定的聯(lián)系，也存在一定的區(qū)別.首先，方程、函數(shù)的外延和內(nèi)涵不盡相同.從外延來講，方程的概念很寬泛，函數(shù)的解析式都可以表示為方程的形式;從內(nèi)涵來說，函數(shù)的內(nèi)涵非常豐富，方程不一定是函數(shù).

（四）重視信息技術(shù)工具的作用

信息技術(shù)工具在解析幾何的學(xué)習(xí)中有較大的支持作用，發(fā)揮的空間也較廣闊.在教材中，安排了很多“信息技術(shù)應(yīng)用”的內(nèi)容.如利用信息技術(shù)工具向?qū)W生演示平面截圓錐的過程，通過改變截面與圓錐軸線的夾角，得出不同的圓錐曲線.信息技術(shù)工具的使用可以加深學(xué)生對圓錐曲線的直觀認(rèn)識.運用信息技術(shù)工具的“運動變化過程中保持幾何關(guān)系不變”的特點，非常容易探索動點軌跡的形狀.一方面，信息技術(shù)工具為我們創(chuàng)造了一個實驗、發(fā)現(xiàn)、猜想的環(huán)境，在動態(tài)演示中，觀察軌跡形成的原因、軌跡的形狀，發(fā)現(xiàn)結(jié)論、形成猜想;另一方面，當(dāng)我們求出軌跡的方程后，可以用信息技術(shù)工具幫助我們進行直觀驗證軌跡的形狀，加深對方程所表示的曲線形狀的理解.

總之，圓錐曲線與方程的內(nèi)容十分重要，在教學(xué)中需要我們仔細(xì)研究，認(rèn)真講解，加強訓(xùn)練，幫助學(xué)生很好地掌握這部分內(nèi)容.