全國名校拋物線測試卷答案與提示

一、選擇題

1.C 2.B 3.B 4.C 5.D 6.A 7.C 8.B 9.A 10.B 11.C 12.B 13.A 14.B 15.B 16.C 17.C 18.C 19.D 20.C 21.C 22.B

二、填空題

23.2 24.(5,4) 25.y2-4y+2x=0 26.6 27.28.6 29.230.32

三、解答題

圖1

31.(1)設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l,交x軸于K點,l的方程為x=。如圖1,作AA′⊥l,BB′⊥l,則|AF|=|AA′|=|m|。同理,|BF|=|m|。又|AB|=6,則|2m|=6,m=±3,所求拋物線方程為y2=±6x。

(2)設(shè)焦點為F(a,0),|PF|==6,即a2+10a+9=0,解得a=-1或-9。當(dāng)焦點為F(-1,0)時,p=2,拋物線開口方向向左,其方程為y2=-4x；當(dāng)焦點為F(-9,0),p=18,拋物線開口方向向左,其方程為y2=-36x。

32.點M到對稱軸的距離為6,可設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,6)。

又因為點M到準(zhǔn)線的距離為10,所以

故當(dāng)點M的橫坐標(biāo)為9時,拋物線方程為y2=4x；當(dāng)點M的橫坐標(biāo)為1時,拋物線方程為y2=36x。

33.設(shè)弦兩端點分別為P1(x1,y1),P2(x2,y2)。

因為P1,P2在拋物線上,所以=6x1,=6x2。

兩式相減,得：

(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2)。

因為y1+y2=2,所以k=

故直線的方程為y-1=3(x-4),即3x-y-11=0。

則y1+y2=2,y1·y2=-22。

故|P1P2|=

34.將y=kx-2代入y2=8x,變形整理得：

k2x2-(4k+8)x+4=0。

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)。

由題意得x1+x2==4?k2=k+2?k2-k-2=0。

解得k=2或k=-1(舍去)。

由弦長公式得：

35.設(shè)AB方程為y=x+b。

x2+(2b-8)x+b2=0。

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則：

x1+x2=8-2b,x1·x2=b2。

解得b=-3。

直線方程為y=x-3,即x-y-3=0。

焦點F(2,0)到x-y-3=0 的距離為

故S△FAB=

36.(1)點P與點F(2,0)的距離比它到直線x+4=0 的距離小2,所以點P與點F(2,0)的距離與它到直線x+2=0 的距離相等。

由拋物線定義得：點P在以F為焦點,直線x+2=0為準(zhǔn)線的拋物線上,拋物線方程為y2=8x。

(2)①若l斜率存在,設(shè)直線l：y=kx+b與拋物線交于點(x1,y1),(x2,y2)。

②直線l與x軸垂直,則直線OA或直線OB的斜率為1。

直線l過定點(8,0)。

由①②得：直線恒過定點(8,0)。

37.(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=6。

由拋物線的定義知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,|AF|+|BF|=x1+x2+2=8。

(2)設(shè)直線l的方程為x=my-1,由得y2-4my+4=0。

由Δ=16m2-16＞0,得m2＞1。

則y1+y2=4m,y1y2=4。

由拋物線的定義知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,則|AF|·|BF|=(x1+1)(x2+1)=m2y1y2=4m2。

因為m2＞1,所以|AF|·|BF|＞4。

故|AF|·|BF|的取值范圍是(4,+∞)。

聯(lián)立直線方程與y2=2px(p＞0)得：

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則有x1+x2=3p。

因為|MN|=8,所以x1+x2+p=8,即3p+p=8,解得p=2。

拋物線C的方程為y2=4x。

(2)設(shè)l的方程為y=x+b,代入y2=4x,得x2+(2b-4)x+b2=0。

因為l為拋物線C的切線,所以Δ=0。

解得b=1,l：y=x+1。

(2)設(shè)直線AB與x軸交于點N,顯然k≠0,點N的坐標(biāo)為(-1,0)。

40.(1)當(dāng)l與x軸垂直時,l的方程為x=2,代入y2=2x,解得M(2,-2),N(2,2)或M(2,2),N(2,-2)。故BM的方程為2y+x+2=0或x-2y+2=0。

(2)如圖2,設(shè)MN的方程為x=my+2,M(x1,y1),N(x2,y2)。聯(lián)立方程得：

圖2

41.(1)設(shè)直線l方程為：y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2)。

由拋物線焦半徑公式可知：|AF|+|BF|=x1+x2+=4,故x1+x2=。

9x2+(12m-12)x+4m2=0。

則Δ=(12m-12)2-144m2＞0,m＜。

則x1+x2=,解得m=。

直線l的方程為,即12x-8y-7=0。

(2)設(shè)P(t,0),則可設(shè)直線l方程為：

42.(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1≠x2,y1=,x1+x2=4。

于是直線AB的斜率k=

(2)不妨設(shè)過點M的切線方程為y=x+b,聯(lián)立y=,可得b=-1,切點的橫坐標(biāo)為2。

設(shè)M(x3,y3),則x3=2,于是M(2,1)。

設(shè)直線AB的方程為y=x+m,線段AB的中點為N(2,2+m),|MN|=|m+1|。

將y=x+m代入y=得：

x2-4x-4m=0。

當(dāng)Δ=16(m+1)＞0,即m＞-1時,不妨設(shè)方程兩個根,x1=2+2,x2=2-2。

從而|AB| =|x1-x2| =4。

由題設(shè)知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7。

所以直線AB的方程為y=x+7。

43.(1)依題意知F(1,0),設(shè)直線AB的方程為x=my+1。

將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去x得y2-4my-4=0。

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=4m,y1y2=-4。①

聯(lián)立①和②,消去y1,y2,得m=。

所以直線AB的斜率是±。

(2)由點C與原點O關(guān)于點M對稱,得M是線段OC的中點,從而點O與點C到直線AB的距離相等,所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB。

當(dāng)m=0時,四邊形OACB的面積最小,最小值是4。