全國名校橢圓測試卷答案與提示

一、選擇題

1.C 2.D 3.D 4.D 5.C 6.C 7.D 8.B 9.C 10.B 11.A 12.B 13.B 14.A 15.D 16.C 17.D 18.D 19.D 20.A 21.D 22.A 23.A 24.D 25.B 26.C 27.B 28.C

二、填空題

三、解答題

49.(1)依題意,可設橢圓C的方程為=1(a＞b＞0),可知其左焦點為F′(-2,0)。

故橢圓C的方程為

(2)假設存在符合題意的直線l,設其方程為

因為直線l與橢圓C有公共點,所以Δ=(3t)2-4×3×(t2-12)≥0,解得-≤t≤。

另一方面,由直線OA與直線l的距離d=4,得,解得t=±2。

50.(1)根據c=及題設條件知

將b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得或=-2(舍去)。

故橢圓C的離心率為。

(2)由題意知,原點O為F1F2的中點,MF2∥y軸,所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點。

由|MN|=5|F1N|,得|DF1|=2|F1N|。

設N(x1,y1),由題意知y1＜0,則：

代入橢圓C的方程,得。②

將① 及c=代入②得

解得a=7,b2=4a=28。

故a=7,b=2。

51.(1)因為直線l的方向向量為v=(1,),所以直線l的斜率k=。

又因為直線l過點(0,-2),所以直線l的方程為

因為a＞b,所以橢圓的焦點為直線l與x軸的交點,c=2。

又因為e=,所以a=,b2=a2-c2=2。

(2)若直線MN⊥y軸,則M、N是橢圓的左、右頂點。

52.(1)設△F1PF2的內切圓半徑為r,則。

設|F1F2|=2c,則=bc。

(2)S=|AC||BD|。

上兩式聯(lián)立,解得a2=16,b2=4。

(2)設直線l：y=kx+1(k≠0),與橢圓的方程聯(lián)立,消去y得：

由k不恒為0得t=4,即存在N(0,4),使得直線NA與直線NB關于y軸對稱。

x2+(2b-4)x+b2=0。

因直線y=x+b與拋物線y2=4x相切,所以Δ=(2b-4)2-4b2=0,b=1。

(2)當l與x軸平行時,以AB為直徑的圓的方程為

當l與x軸垂直時,以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=1。

故兩圓相切于點(0,-1),因此,所求的點T如果存在,只能是(0,-1)。

事實上,點T(0,-1)就是所求的點,證明如下。

當直線l垂直于x軸時,以AB為直徑的圓過點T(0,-1)。

若直線l不垂直于x軸,可設直線l：y

因此,TA⊥TB,即以AB為直徑的圓恒過點T(0,-1)。

所以在坐標平面上存在一個定點T(0,-1)滿足條件。

55.(1)因 為BF1⊥x軸,得到點

橢圓C的方程是

56.(1)由題意2a=8,,解得a=4,b2=12。

橢圓C的方程為

(2)當PQ與x軸垂直時,P(0,2),Q(0,-2)

57.(1)設P(x,y),由得A(3x,0),。|AB|=3,得9x2+=9,P的軌跡E的方程為

(2)①當直線AB的斜率存在且不為0時,設AB的方程為y=kx+1。

②當AB與坐標軸垂直時也成立。

故直線MN恒過點。

(2)因為A(-2,0),B(0,1),所以kAB=。由CD∥AB,設直線CD的方程為y=+m。

由已知,得M(-2m,0),N(0,m)。

設C(x1,y1),D(x2,y2)。