圓錐曲線中有關(guān)斜率類型的定值定點(diǎn)問題

■河南省禹州市第一高級(jí)中學(xué) 趙會(huì)貞

圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題是高考中的?？碱}型,難度較大,考查知識(shí)間的聯(lián)系與綜合,并且此類題一般計(jì)算量都較大,費(fèi)時(shí)費(fèi)力難以攻破,令很多同學(xué)望而生畏。

下面給出圓錐曲線中有關(guān)斜率類型的定值定點(diǎn)問題的求解方法,希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、常用的結(jié)論

已知點(diǎn)P(x0,y0)是橢圓=1(a＞b＞0)上一點(diǎn),過點(diǎn)P作兩條直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),則有以下結(jié)論：

①kPA+kPB為定值?直線AB過定點(diǎn)；②kPA·kPB為定值?直線AB過定點(diǎn)。

二、應(yīng)用舉例

例1(2017 年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷)已知橢圓=1(a＞b＞0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上。

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明：直線l過定點(diǎn)。

解析：(1)由于P3,P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,故由題設(shè)知C經(jīng)過P3,P4兩點(diǎn)。

(2)設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2。

如果直線l與x軸垂直,設(shè)l：x=t,由題設(shè)知t≠0,且|t|＜2,可得A,B的坐標(biāo)分別為。則k1+k2==-1,解得t=2,不符合題意。

從而可設(shè)l：y=kx+m(m≠1)。

將y=kx+m代入+y2=1得：

例2已知橢圓=1(a＞b＞0)過點(diǎn)P(2,1),且離心率為,過點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)(A、B不與點(diǎn)P重合),求證：直線AB過定點(diǎn),并求該點(diǎn)的坐標(biāo)。

例3(2019 年全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷)已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為。記M的軌跡為曲線C。

(1)求C的方程,并說明C是什么曲線。

(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連接QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G。

(i)證明：△PQG是直角三角形；

(ii)求△PQG面積的最大值。

三、小結(jié)

圓錐曲線中的直線斜率類型的定點(diǎn)、定值問題是高考命題的熱點(diǎn)問題,也是圓錐曲線的難點(diǎn)問題,而此類問題隱藏著很多優(yōu)美的幾何性質(zhì)及圓錐曲線的統(tǒng)一性,很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美,同時(shí)在性質(zhì)的探究過程中能培養(yǎng)同學(xué)們的猜想、論證、類比的數(shù)學(xué)思想和能力。