數(shù)形結(jié)合，以線段圖理解兩數(shù)的和、差及倍數(shù)關(guān)系

溫彩娥

(廣東省云浮市新興縣實(shí)驗(yàn)小學(xué) 廣東 新興 527400)

小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊的《實(shí)際問題與方程》例4是學(xué)習(xí)用簡易方程解決含有兩個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問題。教學(xué)用書把畫線段圖分析比較數(shù)量關(guān)系，找準(zhǔn)等量關(guān)系定為本節(jié)課的重點(diǎn)，把兩個(gè)未知數(shù)究竟“設(shè)哪一個(gè)為χ，另一個(gè)又怎樣表示”定為本節(jié)課的難點(diǎn)。在此之前，學(xué)生從未接觸過這種類型的題目，雖然學(xué)生早就學(xué)過和、差、倍以及線段圖的知識(shí)，但例4的知識(shí)點(diǎn)過于密集，很考驗(yàn)學(xué)生的綜合運(yùn)用能力。比如倍的知識(shí)雖然在前幾頁的例2有一定的鋪墊訓(xùn)練，但這節(jié)課從整數(shù)倍過渡到小數(shù)倍，學(xué)生的觀念一下子轉(zhuǎn)變不過來，這是其一。其二有倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)利用和/差計(jì)算的時(shí)候，必須找準(zhǔn)“一倍數(shù)”，但學(xué)生在“誰是誰的幾倍”這句話里，往往只注意幾倍數(shù)的份數(shù)，忽略了“一倍數(shù)”也占一份，這個(gè)數(shù)量關(guān)系沒弄清楚，等量關(guān)系也不好找。其三學(xué)生雖然在三年級(jí)就學(xué)了線段圖，但利用率不高，還沒養(yǎng)成畫線段圖解題的習(xí)慣。

如何把新授內(nèi)容與已學(xué)內(nèi)容建立聯(lián)系，讓學(xué)生能根據(jù)和、差、倍的關(guān)系列方程解答呢？縱觀之前的知識(shí)脈絡(luò)，這種類型的題目與學(xué)生以前學(xué)過的不少內(nèi)容有關(guān)，比如在小學(xué)低年級(jí)就有根據(jù)兩數(shù)求出它們的和、差及倍數(shù)關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用問題?，F(xiàn)在是從兩數(shù)的和、差及倍數(shù)關(guān)系中選取兩項(xiàng)作為已知條件，反過來求兩數(shù)分別是多少?？梢姡^的“和差”、“和倍”、“差倍”問題，實(shí)際上是求兩數(shù)和、差、倍問題的逆向變換。

俞正強(qiáng)老師說，當(dāng)一個(gè)小學(xué)生的思維發(fā)生困難的時(shí)候，一定是在學(xué)習(xí)準(zhǔn)備上出問題了，而不是智力有問題。他說教學(xué)設(shè)計(jì)要把握八個(gè)字“因材施教、循序漸進(jìn)”。 因材施教指兩方面，(1)用什么材料來教學(xué)生；(2)用什么問題來問學(xué)生。循序漸進(jìn)講究的“序”就是知識(shí)結(jié)構(gòu)跟認(rèn)知方式要吻合。為了幫助學(xué)生更好地理解該類問題的數(shù)量關(guān)系，我將在學(xué)習(xí)新課前采取數(shù)形結(jié)合的方式，把線段圖作為準(zhǔn)備性學(xué)習(xí)材料讓學(xué)生充分經(jīng)歷探究的過程，學(xué)會(huì)借助線段圖分析比較兩數(shù)的和、差及倍數(shù)關(guān)系。

課前就板書課題，讓學(xué)生把知識(shí)庫里“和”、“差”、“倍”的相關(guān)知識(shí)提取出來：你知道什么是和？什么是差？什么是倍嗎？接著用三幅線段圖和3個(gè)核心問題落實(shí)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。為什么用三幅線段圖呢？第一幅是整數(shù)計(jì)算，后面兩幅是小數(shù)計(jì)算，目的有二：一讓學(xué)生體會(huì)借助線段圖看數(shù)量關(guān)系很直觀，充分感受到線段圖的實(shí)用性很強(qiáng)；二讓學(xué)生跳出整數(shù)倍的范疇，因?yàn)閷W(xué)生最早接觸的份數(shù)概念與倍數(shù)概念都是整份整份的，但今天要把不夠一份的零點(diǎn)幾份用來計(jì)算。因此一上課就讓學(xué)生接觸，盡早培養(yǎng)數(shù)感。

我先用第一幅引出線段圖的概念，然后提出第一個(gè)核心問題：一看這幅線段圖，你知道甲、乙的和、差、倍分別是多少嗎？三幅線段圖都讓學(xué)生說一說，熟悉里面的數(shù)量關(guān)系。接著把線段圖換成有倍數(shù)關(guān)系的一句話，繼續(xù)找甲、乙和、差的份數(shù)，讓學(xué)生明白：原來只要給出有倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，就可以從這句話里找到它們和、差的份數(shù)。

再回到剛才的三幅線段圖，讓學(xué)生對比找共同點(diǎn)，他們會(huì)發(fā)現(xiàn)甲都是一份，乙是不止一份的。原來線段圖不是亂畫的，它是有講究的，一般把一倍數(shù)畫在上面，幾倍數(shù)畫在下面。那么到底甲是幾？乙又是多少呢？都不知道，含有兩個(gè)未知數(shù)。這時(shí)提出第二個(gè)核心問題：如果給甲或乙一個(gè)數(shù)量，你覺得給誰會(huì)更好算？比如甲為一份是10個(gè)的話，那么第一幅里乙就是30個(gè)，第二幅里乙是25個(gè)，第三幅里乙是33個(gè)。反過來，如果乙是10個(gè)，也能很快算出甲來嗎？這個(gè)環(huán)節(jié)是讓學(xué)生更深切地體會(huì)到：先找一倍數(shù)，再算幾倍數(shù)效率更高。

接著增加難度，把已知數(shù)量給甲乙的和或差，讓學(xué)生說說從圖上得到什么信息？能不能算出甲、乙來？這是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)，如果沒有線段圖，不少學(xué)生會(huì)忽略一倍數(shù)要占一份。比如第一幅線段圖，用文字表達(dá)是：甲、乙的和是12米，乙的長度是甲的3倍，求甲、乙分別是多少？有的學(xué)生會(huì)用12除以3得到甲，再用12減4得到乙。那就錯(cuò)了，因?yàn)樗麄兛床坏胶褪?份這個(gè)隱含條件，要突破這個(gè)難點(diǎn)，必須要有工具，就是線段圖，把圖畫出來，數(shù)量關(guān)系就一目了然了。

接下來制造一個(gè)連環(huán)錯(cuò)的判斷題：甲乙之和是20，甲是乙的4倍，甲是5，乙是15。這里不僅一倍數(shù)幾倍數(shù)搞反了，甲乙之和的份數(shù)也是錯(cuò)的。理解能力強(qiáng)的孩子可以根據(jù)題目找到相關(guān)的信息，但理解能力弱的孩子，他就蒙了：為什么要加1？為什么又減1？1從何來？當(dāng)學(xué)生分析匯報(bào)時(shí)，說出甲是4份，乙為1份，和包括5份，應(yīng)該用20除以5求出一倍數(shù)。這時(shí)老師提出第3個(gè)核心問題：怎么找一倍數(shù)？讓學(xué)生把目光聚焦在有倍數(shù)關(guān)系的這句話上。

我根據(jù)俞老師說的“因材施教、循序漸進(jìn)”來設(shè)計(jì)，以線段圖為準(zhǔn)備性學(xué)習(xí)材料，圍繞三個(gè)核心問題開展教學(xué)活動(dòng)，把大量的時(shí)間放在學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備上，例4作為練習(xí)題出現(xiàn)的，希望這樣的知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生的認(rèn)知方式吻合，能幫助學(xué)生更好地掌握含有兩個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問題，感受到運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的自豪感。