三線“擺平”拋物線中的平行四邊形

張振中

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知平行四邊形的兩個頂點(diǎn)（不動的），確定另外兩頂點(diǎn)（運(yùn)動的，一頂點(diǎn)在拋物線上，另一頂點(diǎn)在直線上），是拋物線中一類比較綜合的題目.筆者利用平行四邊形的兩個判定（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形和對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），通過平移動點(diǎn)所在直線，得到三條平行線，輕松實現(xiàn)了對拋物線上動點(diǎn)的尋找，使這一類型問題得以輕松解答.試舉三例，幫助讀者理解“三線擺平”的解決方法.

1 知識準(zhǔn)備

1.坐標(biāo)系中線段平移的描述

在坐標(biāo)系中線段AB平移到A′B′，我們將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的平移，進(jìn)行如下的描述：

如圖1，點(diǎn)A平移到點(diǎn)B的過程是：向下平移n個單位，再向左平移m個單位.如圖2，點(diǎn)A′平移到點(diǎn)B′的過程是：向下平移n個單位，再向左平移m個單位（點(diǎn)B′平移到點(diǎn)A′的過程是：向上平移n個單位，再向右平移m個單位），我們就說線段A′B′是由線段AB平移得到的.由平移變換的特征可知：線段AB和線段A′B′平行或在同一條直線上.

2.點(diǎn)M夾在平行線中間

如圖3，在兩條平行線l1，l2各取一點(diǎn)P、Q，連結(jié)PQ，取它的中點(diǎn)M，我們稱作點(diǎn)M夾在平行線中間.若在l1上取一點(diǎn)H，連接HM并延長交l2與點(diǎn)L，則有ML=MH.

2 典型例題

例1 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三點(diǎn).

（1）求該拋物線的表達(dá)式;

（2）點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn)Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析 （1）利用交點(diǎn)式設(shè)y=a（x+1）（x-3），代入點(diǎn)（0，-1），可得拋物線的解析式y(tǒng)=13x2-23x-1.（2）分兩種情況討論：

1.AB為平行四邊形的邊

（?。┤鐖D4，點(diǎn)A向右平移4個單位到點(diǎn)B，點(diǎn)Q向右平移4個單位到點(diǎn)P.由準(zhǔn)備知識1可知，線段AB與線段PQ平行且相等，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可知四邊形ABPQ是平行四邊形，因為點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P就在把y軸向右平移4個單位得到的直線l1上.

l1與拋物線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)是4，把x=4代入拋物線解析式可得點(diǎn)P1坐標(biāo)為（4，53）.

（ⅱ）如圖5，點(diǎn)B向左平移4個單位到點(diǎn)A，點(diǎn)Q向左平移4個單位到點(diǎn)P.因為點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P就在把y軸向左平移4個單位得到的直線l2上.

l2與拋物線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)是-4，把x=-4代入拋物線解析式可得點(diǎn)P2坐標(biāo)為（-4，213）.

2.AB為平行四邊形的對角線

分析 如圖6，由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形這一判定可知，線段AB與線段PQ互相平分才能構(gòu)成平行四邊形.我們?nèi)B的中點(diǎn)M，只要點(diǎn)M夾在y軸和與y軸平行的直線中間即可.由于M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），則過（2，0）點(diǎn)作y軸平行線l3是符合的直線（可結(jié)合知識準(zhǔn)備2去分析，不再贅述）.直線l3與拋物線的交點(diǎn)P就是所求，把x=2代入拋物線解析式可得P3坐標(biāo)為（2，-1）.

我們發(fā)現(xiàn)符合條件的P點(diǎn)所在直線是與y軸平行的三條直線（如圖7），它與拋物線的交點(diǎn)就是所求，通過知橫求縱，就可得出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).

例2 在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于A（-3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求二次函數(shù)的解析式;

（2）點(diǎn)M為拋物線上一動點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使以A、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，說明理由.

分析 （1）利用交點(diǎn)式設(shè)y=a（x-1）（x+3），代入點(diǎn)（0，2），可得拋物線的解析式：y=-23x2-43x+2.（2）分兩種情況討論：

1.以AC為平行四邊形的邊

（?。┤鐖D8，點(diǎn)A向右平移3個單位，向上平移2個單位得到點(diǎn)C.將點(diǎn)Q所在的直線向上平移2個單位可得到點(diǎn)M所在直線l1，可知l1與x軸平行且與x軸距離為2，l1與拋物線的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)M（過點(diǎn)C作x軸平行線即可得到l1，讀者思考理由）.所以點(diǎn)M1的縱坐標(biāo)是2，可得-23x2-43x+2=2，可得M1坐標(biāo)為（-2，2），由點(diǎn)C到點(diǎn)A的平移方法，可得Q1的坐標(biāo)為（-5，0）. （ⅱ）如圖9，點(diǎn)C向左平移3個單位，向下平移2個單位得到點(diǎn)A.將點(diǎn)Q所在直線向下平移2個單位可得到點(diǎn)M所在直線l2，可知l2與x軸平行且與x軸距離為2，l2與拋物線的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)M.所以點(diǎn)M2、M3的縱坐標(biāo)是-2，即-23x2-43x+2=-2，可得M2、M3坐標(biāo)為（-1+7，-2）、（-1-7，-2），由點(diǎn)A到點(diǎn)C的平移方法，可得Q2、Q3的坐標(biāo)為（2+7，0）、（2-7，0）.

2.以AC為平行四邊形的對角線時如圖10，

取AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的平行線l3，這樣可以將中點(diǎn)夾在兩平線中間，也就是說以AC為對角線的平行四邊形的頂點(diǎn)M就在直線l3（此條線與l1重合）上，M4坐標(biāo)為（-2，2），可得Q4坐標(biāo)為（-1，0）.

通過上面的解答，我們發(fā)現(xiàn)M點(diǎn)所在直線都是與x軸平行的三條直線（如圖11），它與拋物線的交點(diǎn)就是所求，通過知縱求橫，就可得出相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo).

例3 如圖12，直線y=-13x+1與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)D，將△BOD繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AOC，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，點(diǎn)E、點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸對稱.

（1）求拋物線的解析式;

（2）點(diǎn)L是直線BD上一動點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線上一動點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)O、E、F、L

為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

分析 （1）拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.（2）分兩種情況討論：

1.OE為平行四邊形的邊

（ⅰ）如圖12，點(diǎn)O向右平移2個單位，向上平移3個單位得到點(diǎn)E，將直線BD依此平移可得到點(diǎn)F所在直線l1.直線l1的解析式為y=-13（x-2）+1+3=-13x+143.聯(lián)立y=-x2+2x+3，y=-13x+143，無解，說明無交點(diǎn).

（ⅱ）如圖12，點(diǎn)E向左平移2個單位，向下平移3個單位得到點(diǎn)O，將直線BD依此平移可得到點(diǎn)F所在直線l2.直線l2的解析式為為y=-13（x+2）+1-3=-13x-83，聯(lián)立y=-x2+2x+3，y=-13x-83，解得x1=7-2536，y1=-55+25318，x2=7+2536，y2=-55-25318，所以F1（7-2536，-55+25318），F(xiàn)2（7+2536，-55-25318）.

2.OE為平行四邊形的對角線

如圖13，取OE的中點(diǎn)M，坐標(biāo)為（1，32），過點(diǎn)M作y軸平行線交BD于點(diǎn)P，在平行線上取一點(diǎn)Q，使得MQ=MP，過點(diǎn)Q作BD的平行線l3，中點(diǎn)M夾在兩平線中間，l3就是符合以O(shè)E為對角線的平行四邊形的頂點(diǎn)F所在的直線.l3的解析式的求解過程為：把x=1代入y=-13x+1，得y=23，則MP=32-23=56，所以PQ=53.直線l3可以看作是BD向上平移53個單位得到，解析式為y=-13x+83，聯(lián)立方程組y=-x2+2x+3，y=-13x+83，可求得F3（7-616，41+6118），F(xiàn)4（7+616，41-6118）.

3 方法歸納

從三例的解答可以看出，利用已知線段特征平移已知直線得到三條平行線，它們與拋物線的交點(diǎn)就是所求.解答過程體現(xiàn)了分類討論的思想方法，我們進(jìn)行如下的歸納：

1.已知線段AB（如圖14）為邊時，有兩條平行線

（1）動點(diǎn)所在直線與y軸平行（重合）時，兩條平行線位于已知直線兩側(cè)，距離為m，利用知橫求縱可以求出拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)（如例1）.

（2）動點(diǎn)所在直線與x軸平行（重合）時，兩條平行線位于已知直線兩側(cè)，距離為n，利用知縱求橫可以求出拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)（如例2）.

（3）動點(diǎn)所在直線為一次函數(shù)y=kx+b時，兩條平行線位于已知直線兩側(cè)，兩直線解析式為y=k（x±m(xù)）+b±n與拋物線聯(lián)立方程組可以求出拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)（如例3）.

2.已知線段為對角線時，有一條平行線（有時與為邊時重合）

作已知線段中點(diǎn)，然后使所作已知直線的平行線將其夾在中間，再利用上述方法求出拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)（如例1、例2、例3）.