兩類“三線碰頭”問(wèn)題的處理策略

李玲玲

本文所指的“三線碰頭”問(wèn)題的基本圖形是指在任意△ABC內(nèi)，分別以△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C為一個(gè)端點(diǎn)的三條線段交于一點(diǎn)P時(shí)的圖形（如圖1）.以該圖形為背景的常見(jiàn)問(wèn)題有兩類：一是與“碰頭三線和”有關(guān)的問(wèn)題;二是與“碰頭三線和”無(wú)關(guān)的問(wèn)題（如求角度、求邊長(zhǎng)等）.本文分別針對(duì)這兩類問(wèn)題進(jìn)行分析.

1 與“碰頭三線和”有關(guān)的問(wèn)題

例1 如圖2，在Rt△ABC中，AC=1，∠ABC=30°，在△ABC內(nèi)部是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PB+PC的和最小？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 PA、PB、PC形成“三線碰頭”基本圖形，我們嘗試通過(guò)合同變換將三條未連接的“碰頭三線”轉(zhuǎn)化為連接的三折線，而“平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱”是合同變換的常用手段，根據(jù)圖形信息，可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換實(shí)現(xiàn)該目的，具體方法如下：圖2 圖3

將含有兩條動(dòng)線PA、PB的△PAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△NAM，連接NP（如圖3）.

該旋轉(zhuǎn)變換的四大作用是：

①通過(guò)全等變換（△PAB≌△NAM）將線段PB轉(zhuǎn)化為等長(zhǎng)線段NM;

②通過(guò)出現(xiàn)的等邊△APN使線段PA轉(zhuǎn)化為等長(zhǎng)線段PN;

③由①②實(shí)現(xiàn)“碰頭三線”→“連接三折線”的轉(zhuǎn)化;

④使∠CAM=60°+60°=120°，于是可以構(gòu)造含有特殊角60°的直角三角形，通過(guò)解直角三角形求和的最小值.

所以，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”得知，（PA+PB+PC）min=（PN+NM+PC）min=CM，此時(shí)C、P、N、M共線.作MD⊥CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，通過(guò)解Rt△ADM與Rt△CDM求出CM的長(zhǎng)度即可.

需要說(shuō)明的是，以上可看作是以A為端點(diǎn)的動(dòng)線段PA繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°的做法.因?yàn)镻A、PB、PC這三條線段具有同等地位，所以將線段PB繞點(diǎn)B順（逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，或?qū)⒕€段PC繞點(diǎn)C順（逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°均可.但將PB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖4，因?yàn)椤螦BC+旋轉(zhuǎn)角60°=90°，而90°是非常特殊的角，所以相比較而言繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)計(jì)算最簡(jiǎn)便.此外，無(wú)論繞哪個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)都是向△ABC的“形外”作旋轉(zhuǎn)，即△ABC的某條邊繞著其某個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中旋轉(zhuǎn)面不掃過(guò)△ABC.基于以上分析，該類問(wèn)題可按照下面步驟簡(jiǎn)化解決：①先判斷繞哪個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)計(jì)算最簡(jiǎn)單.本題繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)計(jì)算最簡(jiǎn)單;②再將邊AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針（或?qū)⑦匓C繞點(diǎn)B順時(shí)針，總之是向△ABC的“形外”作旋轉(zhuǎn)）旋轉(zhuǎn)60°;③連接CM;④解Rt△BCM求線段CM.

注 在任意△ABC中，點(diǎn)P是三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)PA+PB+PC的和最小時(shí)：

①點(diǎn)P即為△ABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”;

②此時(shí)∠APC=∠BPC=∠APB=120°（請(qǐng)自行證明）.

變式1 如圖5，菱形ABCD的對(duì)角線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，且BC=6，∠ABC=150°，求PA+PB+PD的最小值.

分析 連接BD，則變?yōu)椤扒蟆鲱^三線和的最小值”問(wèn)題.且∠ABD=∠ADB=75°，∠BAD=30°.按照例1的分析，需通過(guò)旋轉(zhuǎn)將“碰頭三線”轉(zhuǎn)化為“連接三折線”.先判斷繞哪個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)計(jì)算最簡(jiǎn)單，因?yàn)槔@點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，“30°+旋轉(zhuǎn)角60°=90°”，所以將△APD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，再連接MB，線段MB的長(zhǎng)即為三線和的最小值.當(dāng)然，該題還有其余做法，不一一贅述.

變式2 如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，0）、點(diǎn)B（0，-4），點(diǎn)P是直線y=-x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PB，當(dāng)PA+PB+PO的和最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及其最小值.

分析 這依然是“求‘碰頭三線和的最小值”問(wèn)題.由題意可知∠OAB=∠OBA=45°.因?yàn)樵陧旤c(diǎn)A或B處旋轉(zhuǎn)均有“45°+旋轉(zhuǎn)角60°=非特殊角105°”，在頂點(diǎn)O處有“90°+60°=特殊角150°”，所以旋轉(zhuǎn)中心應(yīng)定在O點(diǎn).將△APO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，連接BD，線段BD的長(zhǎng)即為三線和的最小值.點(diǎn)P的坐標(biāo)即為直線BD與直線y=-x的交點(diǎn)坐標(biāo).

變式3 如圖7，已知正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)E，E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為2+6，求該正方形的邊長(zhǎng).

分析 本題是已知“碰頭三線”和的最小值求正方形的邊長(zhǎng)，是典型的正向問(wèn)題（求最小值）逆向（最值已知）命題的方式.采取“正向解析、求邊設(shè)邊”的策略.由于在頂點(diǎn)B處有“90°+旋轉(zhuǎn)角60°=特殊角150°”，所以旋轉(zhuǎn)中心定在B點(diǎn).將△AEB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2a，在Rt△CGF中，由勾股定理列方程求解即可.

解題策略 通過(guò)例1及其變式分析，與“碰頭三線和”有關(guān)的問(wèn)題的處理策略總結(jié)為：“三線碰頭思旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中心巧斟酌;折變直求最小值，構(gòu)造并解Rt△”.即“‘形外旋轉(zhuǎn)60°→等邊三角形（等長(zhǎng)轉(zhuǎn)化）→連接三折線→折化直（兩點(diǎn)之間，線段最短）→構(gòu)造并解Rt△”.

2 與“碰頭三線和”無(wú)關(guān)的問(wèn)題

例2 如圖8，等邊△ABC中，已知PA=3，PB=4，PC=5，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，求∠APB的度數(shù).

分析 條件“PA=3，PB=4，PC=5”與待求問(wèn)題的關(guān)系并不顯明，但“3，4，5”是一組勾股數(shù)，雖然三條線段在圖中的位置關(guān)系并非直角三角形，但可以嘗試通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換將三條線段轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中.比如將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△CQB，則PQ=PB=4，CQ=AP=3，在△PQC中，由“勾股定理逆定理”得∠CQP=90°，所以∠APB=∠CQB=90°+60°=150°.

注 ①因?yàn)镻A、PB、PC這三條線段具有同等地位，所以以其中任一線段為腰順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°均可.但通常情況下，以第2大長(zhǎng)度的線段為腰進(jìn)行旋轉(zhuǎn);

②本題也可看作在等邊△ABC的背景下重新構(gòu)造一個(gè)新等邊△PBQ，使得△ABC與△PBQ構(gòu)成等邊三角形“手拉手”基本模型，易證△APB≌△CQB，所以CQ=AP=3，其余思路同上.

變式1 如圖9，等邊△ABC中，已知PA=1，PB=2，PC=3，求△ABC的面積.

分析 “三線碰頭思旋轉(zhuǎn)”，因?yàn)椤?，2，3”依然是一組勾股數(shù)，所以依然可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)60°變換將其轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中解決問(wèn)題.選取第2大長(zhǎng)度的線段PC為腰，繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，易得∠BQP=90°，∠BPQ=30°，所以∠BPC=30°+60°=90°.在Rt△BPC中，由勾股定理求得BC=7，所以S△ABC=34BC2=734.

變式2 如圖10，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，已知PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度數(shù).

分析 因?yàn)椤?，2，3”不再是勾股數(shù)，所以再通過(guò)旋轉(zhuǎn)60°進(jìn)行等長(zhǎng)線段轉(zhuǎn)化毫無(wú)意義.但是這三條線段的數(shù)值存在這樣的關(guān)系“12+（22）2=32”，即PA2+（2PB）2=PC2，所以PA、2PB、PC構(gòu)成直角三角形.因?yàn)樵谌我獾妊苯侨切沃?，底邊和腰長(zhǎng)之間存在關(guān)系“底邊=2腰長(zhǎng)”，所以將線段PB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至BD，連接PD、AD，可得等腰Rt△PBD，所以底邊PD=2PB，實(shí)現(xiàn)了“隱形線段2PB→顯性線段PD”的轉(zhuǎn)化;易證△ABD≌△CBP，所以AD=CP=3，由“全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等”實(shí)現(xiàn)了等長(zhǎng)線段轉(zhuǎn)化;在△ADP中，由“勾股定理逆定理”可得∠APD=90°，所以∠APB=90°+45°=135°.當(dāng)然也可將線段PB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

注 ①本題也可看作在等腰Rt△ABC的背景下重新構(gòu)造一個(gè)新的等腰Rt△DBP，△ABC與△DBP形成等腰直角三角形“手拉手”模型，易證△ABD≌△CBP，所以AD=CP=3，其余思路同上;

②該題中PA、PB、PC、∠APB之間是“知三求一”的關(guān)系，可自行嘗試計(jì)算.

變式3 如圖11，正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足PA=22，PB=1，PD=17.求∠APB的度數(shù)和正方形ABCD的邊長(zhǎng).

分析 因?yàn)?2+12=（17）2，即（2PA）2+PB2=PD2，所以2PA、PB、PD構(gòu)成直角三角形.將線段PA繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段EA，連接PE、EB，則可得等腰Rt△PAE，所以PE=2PA=4，由等腰直角三角形的腰底關(guān)系實(shí)現(xiàn)了“隱形線段2PA→顯性線段PE”的轉(zhuǎn)化;易證△APD≌△AEB，所以BE=DP=17，由“全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等”實(shí)現(xiàn)了等長(zhǎng)線段轉(zhuǎn)化;在△PBE中，由“勾股定理逆定理”可得∠BPE=90°，所以∠APB=90°+45°=135°.作BF⊥AP，交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，可得等腰Rt△BPF，解Rt△BPF和Rt△ABF即可求出AB的長(zhǎng).當(dāng)然也可將線段PA繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

解題策略 與“碰頭三線和”無(wú)關(guān)的問(wèn)題（如求角度、求邊長(zhǎng)等）的處理策略為：

①“三線碰頭”思旋轉(zhuǎn)：一條線段通過(guò)全等變換轉(zhuǎn)化為另一條線段;一條線段通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到的等腰三角形進(jìn)行腰底轉(zhuǎn)化;

②旋轉(zhuǎn)角度細(xì)斟酌：等長(zhǎng)變換旋轉(zhuǎn)60°;擴(kuò)大2倍旋轉(zhuǎn)90°;由此推出擴(kuò)大3倍旋轉(zhuǎn)120°.3 綜合類應(yīng)用

例3 （2019年沙坪壩區(qū)校級(jí)一模）如圖12，已知拋物線y=-13x2+533x-4與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.連接BC，P是線段BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，當(dāng)PH長(zhǎng)度最大時(shí)，在△APB內(nèi)部有一點(diǎn)M，連接AM、BM、PM，求AM+3BM+PM的最小值.

分析 當(dāng)PH長(zhǎng)度最大時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（23，2）（求解過(guò)程略）.令y=0可求得A（3，0），B（43，0）.拋開題目的二次函數(shù)背景，只保留關(guān)鍵信息（如圖13），將△PMB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△EDB，連接MD，則MD=3BM，DE=PM.連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，因?yàn)閠an∠PBF=PFBF=223=33，所以∠PBF=30°，所以∠EBG=180°-120°-30°=30°，EB=PB=4.則E（63，2），AE=AG2+EG2=（5 3）2+22=79，

所以AM+3BM+PM=AM+MD+DE≥AE=79，即AM+3BM+PM的最小值為79.

解題策略 例3實(shí)為“加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)”問(wèn)題，需要先找準(zhǔn)“碰頭三線”基本圖形，再按如下策略進(jìn)行處理：“形外”旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)度數(shù)取決于加權(quán)線段前面的系數(shù)）→等腰三角形（底腰轉(zhuǎn)化）→連接三折線→折化直（兩點(diǎn)之間，線段最短）→構(gòu)造并解Rt△.

總之，本文所指的兩類“三線碰頭”問(wèn)題均可通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換實(shí)現(xiàn)線段轉(zhuǎn)化.與“碰頭三線和”有關(guān)的問(wèn)題，通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換轉(zhuǎn)化為連接的三折線;與“碰頭三線和”無(wú)關(guān)的問(wèn)題，通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換使得“碰頭三線”存在于一個(gè)直角三角形中解決.