數(shù)形結(jié)合思想在解題中的靈活運用分析

佘陳嚆

摘 要：雖然我國新課程改革在不斷推進，素質(zhì)教育在不斷推行，但就現(xiàn)階段而言，高考仍是改變學(xué)生一生命運的重要途徑。因此，無論老師、學(xué)生還是整個社會都非常重視高考。在高考中，競爭壓力非常大，通常一分之差排名可能就差距上萬人，所以一直以來，有很多老師、學(xué)生還有社會人員研究怎樣在高考中多得分、少丟分。掌握做題方法不僅能夠讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到顯著提升，還能讓學(xué)生在有限的考試時間內(nèi)，做對更多的題，得到更多的分，最終讓高中生能夠在高考數(shù)學(xué)中為自己的十二年學(xué)習(xí)畫上一個圓滿的句號。數(shù)形結(jié)合思想就是一種很好的做題技巧，通過這種思想能夠讓學(xué)生把復(fù)雜的數(shù)學(xué)題生動化、簡單化。本文就數(shù)形結(jié)合思想在高中解題中的靈活運用展開較為深入的探索及分析。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合思想;解題;運用

一、引言

雖然現(xiàn)在我國正在大力推行全面素質(zhì)教育，但高考仍舊是改變學(xué)生命運的最主要方式。著名中央電視臺主持人白巖松曾說過“盡管高考存在一定局限性，但是高考還是最公平最給人希望的一條路”。所以高考對于一個高中生而言是極其重要的經(jīng)歷。作為老師應(yīng)該非常清楚，雖然近年來我國各大高校爭相開始擴招，但是高考存在的競爭仍舊是非常大的，只有多得分、少丟分才是在高考中決勝千里的王道。無論文科生還是理科生，數(shù)學(xué)都是必修科目，更是高考中重點考察的內(nèi)容，其在高考總分值中占據(jù)的比例極大，所以筆者將以數(shù)形結(jié)合思想為例，重點講解數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的運用，旨在讓考生在數(shù)學(xué)題中多得分、少丟分，考上理想的大學(xué)。

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中解題中運用的概述

什么是數(shù)形結(jié)合思想呢？其實簡單的來說，數(shù)形結(jié)合指的就是將數(shù)學(xué)問題中包含的運算和數(shù)量關(guān)系，與幾何圖形展開有機的結(jié)合，并且展開進一步思考的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。通俗的說，就是把數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系和運算題目，轉(zhuǎn)化成看得見摸得著的實物間數(shù)量上的關(guān)系及運算過程。最常見的例子就是“掰手指頭算數(shù)”。在實際教學(xué)活動中，學(xué)生可以利用這種學(xué)習(xí)方法，用自己的雙眼和自己的手指來感受數(shù)字、算式要表達的實際意義。雖然高中生的邏輯思維和數(shù)學(xué)思維較初中相比已經(jīng)成熟了不少，然而面對復(fù)雜的高中數(shù)學(xué)知識，其對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和運算能力的掌握都比較差。運用圖形分析數(shù)量關(guān)系的方法，可以對數(shù)量關(guān)系的理解更加深入。所以，老師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)思想，有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)更深入透徹的認識，更能行之有效地提高他們的學(xué)習(xí)質(zhì)量。

實際上，高中階段數(shù)學(xué)理論知識能夠分成三個部分，一是“數(shù)”方面的知識，即高中數(shù)學(xué)中常見的實數(shù)、代數(shù)式、方程、方程組、不等式、不等式組甚至函數(shù)等相關(guān)內(nèi)容;二是“形”方面的知識，即高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常接觸到的平面幾何、立體幾何等相關(guān)內(nèi)容;三是“數(shù)形結(jié)合”方面的知識，這部分知識主要包括解析幾何等內(nèi)容。

在實際高中數(shù)學(xué)解題的過程中，比較常見的方式就是把“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”、把“形”轉(zhuǎn)化成“數(shù)”及“數(shù)”和“形”之間互相轉(zhuǎn)化。

（一）把“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”

“數(shù)”和“形”二者之間是存在著比較明顯的對應(yīng)關(guān)系的，某些數(shù)量比較抽象，我們很難把握，而“形”是比較直觀、生動的，能夠有效調(diào)動起學(xué)生的形象思維，在高中解題中扮演著十分重要的角色。因此，在實際解題的過程中，我們能夠把“數(shù)”所對應(yīng)的“形”尋找出來，憑借著具體的圖形來解決“數(shù)”的相關(guān)問題。我們能夠在已經(jīng)給出的問題中找出滿足問題目標(biāo)的某些熟悉的“模式”，即“數(shù)”和“形”的特定關(guān)系或者某些特定結(jié)構(gòu)。這一類把數(shù)的相關(guān)問題轉(zhuǎn)變成圖的相關(guān)問題，并借助對于圖的分析以及推理得到正確的結(jié)果，即常說的圖形分析法。實際上，圖形分析法的運用方面可以分成三種方式，分別是應(yīng)用平面幾何的相關(guān)知識、應(yīng)用立體幾何的相關(guān)知識及應(yīng)用解析幾何的相關(guān)知識實現(xiàn)對于“數(shù)”和“形”二者之間的轉(zhuǎn)化。

（二）把“形”轉(zhuǎn)化成“數(shù)”

雖然“形”相比于抽象的“數(shù)”而言比較生動、直觀，然而其在定量方面依舊需要憑著“數(shù)”的相關(guān)知識進行運算，特別是對于那些復(fù)雜、生澀難懂的“型”來說，不僅需要把“形”數(shù)字化、還需要通過仔細觀察“形”自身所具備的幾何特征，進而獲取題目中的隱藏條件，再借助“形”的幾何特征或者相關(guān)的幾何意義，把“形”轉(zhuǎn)化成“數(shù)”的形式，然后再進行計算。在實際數(shù)學(xué)題目的解題過程中，把“形”轉(zhuǎn)化成“數(shù)”來解決數(shù)學(xué)問題的思想，應(yīng)該分成以下幾個環(huán)節(jié)。首先，學(xué)生們一定要明確數(shù)學(xué)題目中給出的已知條件以及最終希望得到的相關(guān)結(jié)果，通過認真分析題目所給出的已知條件以及最終希望得到的結(jié)果特征、性質(zhì)來進一步認識到題目已知條件或者最后結(jié)果在“形”當(dāng)中所具備的幾何意義;其次，應(yīng)用學(xué)生們已經(jīng)學(xué)習(xí)的相關(guān)知識把數(shù)學(xué)題目中所給出的圖形應(yīng)用代數(shù)的方式來表現(xiàn)出來，并且要和題目所給出的已知條件和最后的結(jié)論有機結(jié)合起來，最大程度地運用相關(guān)的代數(shù)公式或者相關(guān)定理解答題目。

（三）“形”與“數(shù)”二者之間的互相轉(zhuǎn)化

其實，簡單的說，圖形和代數(shù)之間的互相轉(zhuǎn)化具體指的就是在一部分高中數(shù)學(xué)問題中，僅僅依賴把“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”或者把“形”轉(zhuǎn)化成“數(shù)”很難繼續(xù)有效的解決相關(guān)問題，此時應(yīng)該考慮到把直觀的圖形轉(zhuǎn)化成嚴謹?shù)拇鷶?shù)，并且要重點考慮把嚴謹?shù)拇鷶?shù)轉(zhuǎn)化成直觀生動的圖形。通常，解決這些問題都應(yīng)該同時兼顧數(shù)學(xué)題目中所給出的已知條件以及最后獲得的結(jié)論，在此之后通過細致的分析進一步明確數(shù)學(xué)題目中“數(shù)”和“形”二者的互相轉(zhuǎn)化。其主要的思路就是：見到“形”率先想到“數(shù)”、看到“數(shù)”率先思考“形”，即把“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”與把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”二者之間有機的結(jié)合起來，具體問題具體分析，在實際中靈活地進行使用。

三、數(shù)形結(jié)合思想在解決高中數(shù)學(xué)問題實踐過程中的應(yīng)用舉措

數(shù)形結(jié)合的思想又能夠分成兩大部分，分別為用數(shù)輔助形以及用形輔助數(shù)，而數(shù)形結(jié)合思想在解決高中數(shù)學(xué)問題時又能夠分成兩個形式，分別是利用“形”自身所具備的直觀性以及生動性來表示“數(shù)”之間存在的關(guān)系、利用“數(shù)”的嚴謹性以及精準(zhǔn)性來表示“形”的某些特征。例如，曲線是高中十分重要的教學(xué)內(nèi)容之一，運用曲線的方程能夠輕松地表示出曲線自身所具備的幾何性質(zhì)。在實際解決數(shù)學(xué)問題的過程中，學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的思想和方法可以應(yīng)用幾何圖形對于函數(shù)參數(shù)相關(guān)問題的解題思路進行比較明確的構(gòu)建;對于某些簡單的問題，通過認真細致的觀察幾何圖形就可以準(zhǔn)確的獲得答案。筆者以函數(shù)參數(shù)的問題為例，針對函數(shù)f（x）=|4x-x2|+a，對其幾何圖形展開觀察，就能夠比較快速且準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)有四處和X軸相交，運用數(shù)形結(jié)合的方法就可以快速且準(zhǔn)確地求出a的值。通過認真細致地觀察函數(shù)f（x）=|4x-x2|+a的相關(guān)圖形，我們能夠比較容易的發(fā)現(xiàn)，它是基于二重性函數(shù)經(jīng)過翻折、豎直平移過程后得到的。因此，我們在求解時，只需要對函數(shù)展開相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，即|4x-x2|=-a的形式，然后在直角坐標(biāo)系中分別把函數(shù)y=|4x-x2|以及y=-a的圖形畫出，再把y=-a的相應(yīng)圖形展開平移，我們觀察y=|4x-x2|圖形以及y=-a經(jīng)過平移后的圖形，在了解二者之間交點個數(shù)的情況下，依據(jù)相關(guān)的參數(shù)取值范圍需要同時滿足交點連線的原則來確定參數(shù)合適的取值范圍。

高中數(shù)學(xué)不僅僅是為了使學(xué)生們掌握數(shù)學(xué)相關(guān)的理論知識，其更希望學(xué)生可以通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的相關(guān)知識來提升自身的數(shù)學(xué)思維以及創(chuàng)新思維等。然而，在實際中，很多數(shù)學(xué)老師甚至學(xué)生并沒有理解學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的重要意義，僅僅把它當(dāng)成一項任務(wù)，甚至是提升高考分數(shù)的途徑。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生常常都會用到大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式進行數(shù)學(xué)理論的推理或者寫出證明步驟，在這樣機械化的解題過程中，學(xué)生會感覺到枯燥。實際上，公式僅僅是解題的一種方法，通過數(shù)形結(jié)合思想能夠讓學(xué)生理清楚自身的思維結(jié)構(gòu)以及解題思路，進而對于其自身的思維結(jié)構(gòu)展開創(chuàng)新和優(yōu)化，從而達到解決數(shù)學(xué)問題的目的。

四、結(jié)語

在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，由于數(shù)學(xué)知識比較復(fù)雜且比較多，學(xué)生們很難掌握相關(guān)知識，更難高效的做題，所以為了讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識，提升學(xué)生做題效率，高中數(shù)學(xué)老師一定要引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合的方法解題。

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