數(shù)形結(jié)合思想在解題中的靈活運(yùn)用分析

佘陳嚆

摘 要：雖然我國(guó)新課程改革在不斷推進(jìn)，素質(zhì)教育在不斷推行，但就現(xiàn)階段而言，高考仍是改變學(xué)生一生命運(yùn)的重要途徑。因此，無(wú)論老師、學(xué)生還是整個(gè)社會(huì)都非常重視高考。在高考中，競(jìng)爭(zhēng)壓力非常大，通常一分之差排名可能就差距上萬(wàn)人，所以一直以來(lái)，有很多老師、學(xué)生還有社會(huì)人員研究怎樣在高考中多得分、少丟分。掌握做題方法不僅能夠讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到顯著提升，還能讓學(xué)生在有限的考試時(shí)間內(nèi)，做對(duì)更多的題，得到更多的分，最終讓高中生能夠在高考數(shù)學(xué)中為自己的十二年學(xué)習(xí)畫上一個(gè)圓滿的句號(hào)。數(shù)形結(jié)合思想就是一種很好的做題技巧，通過(guò)這種思想能夠讓學(xué)生把復(fù)雜的數(shù)學(xué)題生動(dòng)化、簡(jiǎn)單化。本文就數(shù)形結(jié)合思想在高中解題中的靈活運(yùn)用展開(kāi)較為深入的探索及分析。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合思想;解題;運(yùn)用

一、引言

雖然現(xiàn)在我國(guó)正在大力推行全面素質(zhì)教育，但高考仍舊是改變學(xué)生命運(yùn)的最主要方式。著名中央電視臺(tái)主持人白巖松曾說(shuō)過(guò)“盡管高考存在一定局限性，但是高考還是最公平最給人希望的一條路”。所以高考對(duì)于一個(gè)高中生而言是極其重要的經(jīng)歷。作為老師應(yīng)該非常清楚，雖然近年來(lái)我國(guó)各大高校爭(zhēng)相開(kāi)始擴(kuò)招，但是高考存在的競(jìng)爭(zhēng)仍舊是非常大的，只有多得分、少丟分才是在高考中決勝千里的王道。無(wú)論文科生還是理科生，數(shù)學(xué)都是必修科目，更是高考中重點(diǎn)考察的內(nèi)容，其在高考總分值中占據(jù)的比例極大，所以筆者將以數(shù)形結(jié)合思想為例，重點(diǎn)講解數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用，旨在讓考生在數(shù)學(xué)題中多得分、少丟分，考上理想的大學(xué)。

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中解題中運(yùn)用的概述

什么是數(shù)形結(jié)合思想呢？其實(shí)簡(jiǎn)單的來(lái)說(shuō)，數(shù)形結(jié)合指的就是將數(shù)學(xué)問(wèn)題中包含的運(yùn)算和數(shù)量關(guān)系，與幾何圖形展開(kāi)有機(jī)的結(jié)合，并且展開(kāi)進(jìn)一步思考的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。通俗的說(shuō)，就是把數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系和運(yùn)算題目，轉(zhuǎn)化成看得見(jiàn)摸得著的實(shí)物間數(shù)量上的關(guān)系及運(yùn)算過(guò)程。最常見(jiàn)的例子就是“掰手指頭算數(shù)”。在實(shí)際教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生可以利用這種學(xué)習(xí)方法，用自己的雙眼和自己的手指來(lái)感受數(shù)字、算式要表達(dá)的實(shí)際意義。雖然高中生的邏輯思維和數(shù)學(xué)思維較初中相比已經(jīng)成熟了不少，然而面對(duì)復(fù)雜的高中數(shù)學(xué)知識(shí)，其對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和運(yùn)算能力的掌握都比較差。運(yùn)用圖形分析數(shù)量關(guān)系的方法，可以對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解更加深入。所以，老師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)思想，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)更深入透徹的認(rèn)識(shí)，更能行之有效地提高他們的學(xué)習(xí)質(zhì)量。

實(shí)際上，高中階段數(shù)學(xué)理論知識(shí)能夠分成三個(gè)部分，一是“數(shù)”方面的知識(shí)，即高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程、方程組、不等式、不等式組甚至函數(shù)等相關(guān)內(nèi)容;二是“形”方面的知識(shí)，即高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)常接觸到的平面幾何、立體幾何等相關(guān)內(nèi)容;三是“數(shù)形結(jié)合”方面的知識(shí)，這部分知識(shí)主要包括解析幾何等內(nèi)容。

在實(shí)際高中數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中，比較常見(jiàn)的方式就是把“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”、把“形”轉(zhuǎn)化成“數(shù)”及“數(shù)”和“形”之間互相轉(zhuǎn)化。

（一）把“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”

“數(shù)”和“形”二者之間是存在著比較明顯的對(duì)應(yīng)關(guān)系的，某些數(shù)量比較抽象，我們很難把握，而“形”是比較直觀、生動(dòng)的，能夠有效調(diào)動(dòng)起學(xué)生的形象思維，在高中解題中扮演著十分重要的角色。因此，在實(shí)際解題的過(guò)程中，我們能夠把“數(shù)”所對(duì)應(yīng)的“形”尋找出來(lái)，憑借著具體的圖形來(lái)解決“數(shù)”的相關(guān)問(wèn)題。我們能夠在已經(jīng)給出的問(wèn)題中找出滿足問(wèn)題目標(biāo)的某些熟悉的“模式”，即“數(shù)”和“形”的特定關(guān)系或者某些特定結(jié)構(gòu)。這一類把數(shù)的相關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)變成圖的相關(guān)問(wèn)題，并借助對(duì)于圖的分析以及推理得到正確的結(jié)果，即常說(shuō)的圖形分析法。實(shí)際上，圖形分析法的運(yùn)用方面可以分成三種方式，分別是應(yīng)用平面幾何的相關(guān)知識(shí)、應(yīng)用立體幾何的相關(guān)知識(shí)及應(yīng)用解析幾何的相關(guān)知識(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)于“數(shù)”和“形”二者之間的轉(zhuǎn)化。

（二）把“形”轉(zhuǎn)化成“數(shù)”

雖然“形”相比于抽象的“數(shù)”而言比較生動(dòng)、直觀，然而其在定量方面依舊需要憑著“數(shù)”的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算，特別是對(duì)于那些復(fù)雜、生澀難懂的“型”來(lái)說(shuō)，不僅需要把“形”數(shù)字化、還需要通過(guò)仔細(xì)觀察“形”自身所具備的幾何特征，進(jìn)而獲取題目中的隱藏條件，再借助“形”的幾何特征或者相關(guān)的幾何意義，把“形”轉(zhuǎn)化成“數(shù)”的形式，然后再進(jìn)行計(jì)算。在實(shí)際數(shù)學(xué)題目的解題過(guò)程中，把“形”轉(zhuǎn)化成“數(shù)”來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想，應(yīng)該分成以下幾個(gè)環(huán)節(jié)。首先，學(xué)生們一定要明確數(shù)學(xué)題目中給出的已知條件以及最終希望得到的相關(guān)結(jié)果，通過(guò)認(rèn)真分析題目所給出的已知條件以及最終希望得到的結(jié)果特征、性質(zhì)來(lái)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到題目已知條件或者最后結(jié)果在“形”當(dāng)中所具備的幾何意義;其次，應(yīng)用學(xué)生們已經(jīng)學(xué)習(xí)的相關(guān)知識(shí)把數(shù)學(xué)題目中所給出的圖形應(yīng)用代數(shù)的方式來(lái)表現(xiàn)出來(lái)，并且要和題目所給出的已知條件和最后的結(jié)論有機(jī)結(jié)合起來(lái)，最大程度地運(yùn)用相關(guān)的代數(shù)公式或者相關(guān)定理解答題目。

（三）“形”與“數(shù)”二者之間的互相轉(zhuǎn)化

其實(shí)，簡(jiǎn)單的說(shuō)，圖形和代數(shù)之間的互相轉(zhuǎn)化具體指的就是在一部分高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中，僅僅依賴把“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”或者把“形”轉(zhuǎn)化成“數(shù)”很難繼續(xù)有效的解決相關(guān)問(wèn)題，此時(shí)應(yīng)該考慮到把直觀的圖形轉(zhuǎn)化成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)，并且要重點(diǎn)考慮把嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)轉(zhuǎn)化成直觀生動(dòng)的圖形。通常，解決這些問(wèn)題都應(yīng)該同時(shí)兼顧數(shù)學(xué)題目中所給出的已知條件以及最后獲得的結(jié)論，在此之后通過(guò)細(xì)致的分析進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)題目中“數(shù)”和“形”二者的互相轉(zhuǎn)化。其主要的思路就是：見(jiàn)到“形”率先想到“數(shù)”、看到“數(shù)”率先思考“形”，即把“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”與把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”二者之間有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，具體問(wèn)題具體分析，在實(shí)際中靈活地進(jìn)行使用。

三、數(shù)形結(jié)合思想在解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題實(shí)踐過(guò)程中的應(yīng)用舉措

數(shù)形結(jié)合的思想又能夠分成兩大部分，分別為用數(shù)輔助形以及用形輔助數(shù)，而數(shù)形結(jié)合思想在解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)又能夠分成兩個(gè)形式，分別是利用“形”自身所具備的直觀性以及生動(dòng)性來(lái)表示“數(shù)”之間存在的關(guān)系、利用“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)性以及精準(zhǔn)性來(lái)表示“形”的某些特征。例如，曲線是高中十分重要的教學(xué)內(nèi)容之一，運(yùn)用曲線的方程能夠輕松地表示出曲線自身所具備的幾何性質(zhì)。在實(shí)際解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的思想和方法可以應(yīng)用幾何圖形對(duì)于函數(shù)參數(shù)相關(guān)問(wèn)題的解題思路進(jìn)行比較明確的構(gòu)建;對(duì)于某些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，通過(guò)認(rèn)真細(xì)致的觀察幾何圖形就可以準(zhǔn)確的獲得答案。筆者以函數(shù)參數(shù)的問(wèn)題為例，針對(duì)函數(shù)f（x）=|4x-x2|+a，對(duì)其幾何圖形展開(kāi)觀察，就能夠比較快速且準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)有四處和X軸相交，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法就可以快速且準(zhǔn)確地求出a的值。通過(guò)認(rèn)真細(xì)致地觀察函數(shù)f（x）=|4x-x2|+a的相關(guān)圖形，我們能夠比較容易的發(fā)現(xiàn)，它是基于二重性函數(shù)經(jīng)過(guò)翻折、豎直平移過(guò)程后得到的。因此，我們?cè)谇蠼鈺r(shí)，只需要對(duì)函數(shù)展開(kāi)相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，即|4x-x2|=-a的形式，然后在直角坐標(biāo)系中分別把函數(shù)y=|4x-x2|以及y=-a的圖形畫出，再把y=-a的相應(yīng)圖形展開(kāi)平移，我們觀察y=|4x-x2|圖形以及y=-a經(jīng)過(guò)平移后的圖形，在了解二者之間交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況下，依據(jù)相關(guān)的參數(shù)取值范圍需要同時(shí)滿足交點(diǎn)連線的原則來(lái)確定參數(shù)合適的取值范圍。

高中數(shù)學(xué)不僅僅是為了使學(xué)生們掌握數(shù)學(xué)相關(guān)的理論知識(shí)，其更希望學(xué)生可以通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)來(lái)提升自身的數(shù)學(xué)思維以及創(chuàng)新思維等。然而，在實(shí)際中，很多數(shù)學(xué)老師甚至學(xué)生并沒(méi)有理解學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的重要意義，僅僅把它當(dāng)成一項(xiàng)任務(wù)，甚至是提升高考分?jǐn)?shù)的途徑。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生常常都會(huì)用到大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式進(jìn)行數(shù)學(xué)理論的推理或者寫出證明步驟，在這樣機(jī)械化的解題過(guò)程中，學(xué)生會(huì)感覺(jué)到枯燥。實(shí)際上，公式僅僅是解題的一種方法，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想能夠讓學(xué)生理清楚自身的思維結(jié)構(gòu)以及解題思路，進(jìn)而對(duì)于其自身的思維結(jié)構(gòu)展開(kāi)創(chuàng)新和優(yōu)化，從而達(dá)到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的目的。

四、結(jié)語(yǔ)

在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，由于數(shù)學(xué)知識(shí)比較復(fù)雜且比較多，學(xué)生們很難掌握相關(guān)知識(shí)，更難高效的做題，所以為了讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，提升學(xué)生做題效率，高中數(shù)學(xué)老師一定要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解題。

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