從思路解析到“一題一課”：考題研究的追求
——以2019年河北省中考卷第25題為例

福建省廈門市同安區(qū)教師進修學校 楊建強

較難的中考綜合題講評時往往需要精心預(yù)設(shè)，將其作為“一題一課”來研發(fā).這就要求我們在研習各地優(yōu)秀考題時要注意深入進行解析與教學構(gòu)思，而不是“分離”開來.本文結(jié)合2019年河北省中考卷第25題，先給出思路解析，再構(gòu)思“一題一課”的鋪墊設(shè)問，供研討.

一、考題及思路解析

考題：（2019年河北第25題）如圖1和圖2，?ABCD中，AB=3，BC=15，tan∠DAB=.點P為AB的延長線上一點，過點A作⊙O切CP于點P，設(shè)BP=x.

（1）如圖1，x為何值時，圓心O落在AP上？若此時⊙O交AD于點E，直接指出PE與BC的位置關(guān)系；

圖1

圖2

（2）如圖2，當x=4時，⊙O與AC交于點Q，求∠CAP的度數(shù)，并通過計算比較弦AP與劣弧PQ長度的大??；

（3）當⊙O與線段AD只有一個公共點時，直接寫出x的取值范圍.

思路解析：（1）當圓心O落在AP上時，CP⊥BP，可利用Rt△CBP中推知的和BC=15這兩個條件，解出x的值為9（善于利用“3，4，5”三角形的邊角關(guān)系能快速讀取解答）.此時PE與BC的位置關(guān)系是互相垂直.

（2）①先求∠CAP的度數(shù).如圖3，過點C作CK⊥AP于點K.

②再求弦AP與劣弧PQ的長度并比較它們的大小.弦AP的長度直接可知，即AB＋BP=7，主要在于求劣弧PQ的長度.要求弧長，就涉及半徑和所對圓心角，連接OP、OQ，弧PQ所對圓心角為∠QOP，∠QOP的度數(shù)為弧PQ所對圓周角∠QAP的2倍，即90°.如圖3，過點O作OH⊥AP于點H.可證得利用，可求出半徑OP的長為所以劣弧PQ的長度為比較可得所以弦AB較長.

圖3

圖4

（3）⊙O與線段AD只有一個公共點，且⊙O一定過點A，說明與線段AD的一個交點就是A.點P可以看作在線段AB的延長線上向右運動，起點是B，隨著點P往右移動，圓心O從AP的上方下降到AP的下方，⊙O與直線AD的交點也從2個變?yōu)?個再變?yōu)?個.其中⊙O與直線AD相切時，如圖4，△APQ、△BCP都是等腰三角形，作CK⊥AP于點K，由前面求解經(jīng)驗可知CK=PK=9，于是x=18.點P繼續(xù)向右運動，交點再次變?yōu)?個，并且另一個交點落在線段DA的延長線上，也就是符合與線段AD只有1個公共點.綜上，x≥18.

回顧反思：本題綜合圓與三角形、四邊形，主要考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、相似三角形、三角函數(shù)、弧長計算等.第（1）問比較基礎(chǔ)，難度不大.第（2）問的主要難點在于求圓的半徑，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造相似三角形，可以看出此處互相垂直的OP和PC與HK組成了常見的相似三角形的基本圖形（簡稱“K型”，如圖5）.而第（3）問的難點在于構(gòu)圖分析，要構(gòu)造出符合要求的等腰三角形進行分析，有助于快速“看出”答案.這大概也是命題組將這一小問設(shè)置成“直接寫出答案”的意圖，即讓思維層次高的學生可以通過洞察問題結(jié)構(gòu)，直接看出答案.當然，這里“算法簡單的方法往往需要付出邏輯思維的代價”（史寧中教授語）.

圖5

圖6

二、圍繞考題的“一題一課”教學設(shè)計

教學環(huán)節(jié)（一） 鋪墊設(shè)問，拾級而上

例1如圖6，AB=3，BC=15，tan∠CBP=.點P為AB的延長線上一點，過點A作⊙O切CP于點P，設(shè)BP=x.當圓心O落在AP上時，⊙O的半徑是多少？

教學預(yù)設(shè)：這是上面考題的第（1）問，“單獨”列出來讓學生先想清辨明，教學時通過恰當?shù)淖穯柺沟酶鄬W生都理解清楚，有利于繼續(xù)向后續(xù)問題前進.

教學環(huán)節(jié)（二） 變式跟進，成果擴大

例2如圖7，AB=3，BC=15，tan∠CBP=.點P為AB的延長線上一點，過點A作⊙O切CP于點P，設(shè)BP=x.當圓心O落在AP上方時，你能不能用含x的代數(shù)式表示出⊙O的半徑？

圖7

圖8

教學預(yù)設(shè)：已知△CBP中兩邊長，要求圓的半徑，連接OP.由于已知的兩邊長之比不是熟知的特殊角的邊角關(guān)系，所以不太方便直接使用邊的關(guān)系得出角度.而考慮到本題是圓與三角形的綜合題，要注意使用圓中特殊角度，尤其是隱含的直角（往往是直徑所對的圓周角）.如圖8，連接OP，∠OPC=90°，過點C作CK⊥AP于點K，過點O作OH⊥AP于點H，可以構(gòu)造出一對相似三角形.在Rt△CPK中，CK=12，PK=BK-BP=9-x.在Rt△OPH中，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以用含x的代數(shù)式表示出OP，即為圓的半徑.

變式追問：如圖9，當圓心O落在AP下方時，用含x的代數(shù)式表示出⊙O的半徑.

圖9

圖10

教學預(yù)設(shè)：隨著點P繼續(xù)在AB的延長線上向右移動，點O落在了AP下方，但是題目內(nèi)在聯(lián)系依舊存在，仍然可以構(gòu)造出一對相似三角形，充分利用相切這個條件.如圖10，連接OP，∠OPC=90°，過點C作CN⊥AP于點N，過點O作OM⊥AP于點M，可以構(gòu)造出一對相似三角形.在Rt△CPN中，CN=12，PN=BP-BN=x-9.在Rt△OPM中，MP=（3＋x）.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以用含x的代數(shù)式表示出OP，即為圓的半徑.

教學環(huán)節(jié)（三） 考題呈現(xiàn)，獨立挑戰(zhàn)

呈現(xiàn)上文“考題”，學生可以在以上鋪墊問題的啟示之下獨立挑戰(zhàn)，再全班交流講評.

三、進一步的思考

較難題的講評需要在教學講評之前精心預(yù)設(shè)，這里的精心預(yù)設(shè)不只是教師本人貫通思路、獲得解答，而且需要在此基礎(chǔ)上思考“一題多解”，并善于比較和優(yōu)化不同思路，明確哪些方法或解題路徑是最優(yōu)路徑，然后研判學情，明辨學生可能的難點、障礙點、易錯點，在這些基礎(chǔ)上預(yù)設(shè)出一些鋪墊式設(shè)問，幫助學生理解題意并啟示學生獨立探索解題思路，一些啟發(fā)式設(shè)問都可成為學生以前“自我發(fā)問”的思考出發(fā)點，比如，“題中有哪些條件”“題中哪些條件是確定的，并能帶來點、圖形位置的確定”“圖中哪些條件是不確定的，對應(yīng)著哪些點是運動的，哪些線或圖形的位置是不確定的”“隨著問題的深入，圖形在不同位置狀態(tài)下有哪些狀態(tài)是特殊位置關(guān)系”，等等，這些設(shè)問都能幫助學生獲得思路或校正思考方向，有助于最終解答.事實上，通過精心預(yù)設(shè)的解題教學，最終要達到“教，是為了不教”，也就是“通過解題，學會解題”.