“變量與函數(shù)”的教學(xué)設(shè)計

四川省內(nèi)江市翔龍中學(xué) 李 超

數(shù)學(xué)新課程的教學(xué)理念認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的“意義建構(gòu)”的過程.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗（情境）出發(fā)，精心設(shè)計教學(xué)問題，學(xué)生通過對數(shù)學(xué)問題的思考、探究、小組討論（爭論）、表征、解決等過程，逐步形成對數(shù)學(xué)知識的“意義建構(gòu)”，在教學(xué)活動中真正獲得數(shù)學(xué)“雙基”、感悟數(shù)學(xué)思想、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)的設(shè)計，充分運用了數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計理論中的“情境性”“生活化”“問題性”“意義建構(gòu)”等理念.本文依據(jù)這些教學(xué)理念，對“變量與函數(shù)”做了教學(xué)設(shè)計.

一、“變量與函數(shù)”的教材分析

1.地位和作用

“變量與函數(shù)”是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)華東師大版數(shù)學(xué)教材八年級下冊第十七章“函數(shù)及其圖像”的第一節(jié)課，是函數(shù)概念課.函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)重要概念之一，是研究現(xiàn)實世界變化規(guī)律的一個重要模型.本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)掌握的常量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，思考變量及變量之間的關(guān)系，讓學(xué)生初步感受函數(shù)，為學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)打下基礎(chǔ).

2.教學(xué)重點

（1）通過生活實例，分析變量和變量的關(guān)系.

（2）理解函數(shù)的概念，會判斷兩個變量之間的關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系.

3.教學(xué)難點

（1）從具體實例中抽象概括函數(shù)概念，理解函數(shù)概念.

（2）初步理解函數(shù)概念的內(nèi)涵，體會函數(shù)是研究變化與對應(yīng)的重要數(shù)學(xué)模型.

二、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo)：了解常量與變量的意義和函數(shù)的概念，會舉出與函數(shù)有關(guān)的實例，并會判斷兩個變量之間的關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系.

過程與方法目標(biāo)：讓學(xué)生經(jīng)歷由實例得到函數(shù)概念的過程，通過觀察發(fā)現(xiàn)事物的共同屬性，進(jìn)而抓住其本質(zhì)特征進(jìn)行提煉概括來建構(gòu)函數(shù)概念.

情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)：（1）通過合作學(xué)習(xí)讓學(xué)生經(jīng)歷從“具體—抽象”到“抽象—具體”的函數(shù)概念形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和合情推理能力；

（2）讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，會用數(shù)學(xué)的眼光看世界，提高學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.

三、學(xué)情分析

初二是學(xué)生智力和心理發(fā)展的關(guān)鍵階段，也是學(xué)生易厭學(xué)的敏感時期，學(xué)生的邏輯思維從經(jīng)驗型逐步向理論型發(fā)展.本節(jié)課是學(xué)生首次接觸函數(shù)，而函數(shù)概念對學(xué)生來說很抽象，他們不容易理解和掌握概念的本質(zhì).但是學(xué)生已經(jīng)具備了列代數(shù)式、求代數(shù)式的值、解決簡單的方程和不等式的能力，也積累了一些在具體問題情境中尋找數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗，這對本課學(xué)習(xí)是有利的.為了讓學(xué)生盡快、有效地掌握函數(shù)概念，基于課題研究，本節(jié)課從學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)設(shè)計一系列問題，讓學(xué)生參與活動，開展教學(xué).

由于本課函數(shù)概念比較抽象，處理不好，學(xué)生極易滋生厭學(xué)情緒，因而本設(shè)計大膽對教材內(nèi)容進(jìn)行了改動、加工與整合，依據(jù)教學(xué)設(shè)計的“情境性”“生活化”“意義建構(gòu)”等理念，對“變量與函數(shù)”做了教學(xué)設(shè)計.

四、教法與學(xué)法分析

1.教法分析

利用多媒體教學(xué)平臺增大教學(xué)容量，遵循認(rèn)知規(guī)律，從生活實例出發(fā)，讓學(xué)生在具體情境中充分感悟、體驗兩個變量之間的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上自主構(gòu)建函數(shù)概念.

2.學(xué)法分析

在學(xué)生獨立思考、充分感悟的基礎(chǔ)上，采用合作學(xué)習(xí)的方式，讓學(xué)生經(jīng)歷在函數(shù)概念形成過程中開展思考、探究、討論、分享、評價等教學(xué)活動.

五、教學(xué)過程設(shè)計

1.情境引入

活動1：通過讓學(xué)生聽音頻成語故事《烏鴉喝水》，想象烏鴉喝水前后瓶子里水位的變化及變化的原因，從而發(fā)現(xiàn)一個量（石頭的量）的變化決定另一個量（水位）的變化，從實際情境中感受變量，避開抽象的被動說教.

活動2：觀看加油站加油視頻：加油機(jī)加油時顯示屏上的數(shù)字變化，通過觀察視頻，可直接發(fā)現(xiàn)視頻中不變的數(shù)據(jù)（油的單價）和變化的數(shù)據(jù)（油量和油費），以及這三者之間的關(guān)系.

設(shè)計意圖：活動1的故事情節(jié)學(xué)生熟悉，且具有趣味性，可以調(diào)動學(xué)生的積極性，營造良好的氛圍，打破了外界給予學(xué)生的對函數(shù)的恐懼和茫然感，體會數(shù)學(xué)來源于生活并服務(wù)于生活；故事內(nèi)涵體現(xiàn)了函數(shù)的本質(zhì)：瓶中水位隨著石頭量的變化而變化.由于很多學(xué)生暫時還只看到故事的表象，不能滲透到函數(shù)層面，因此，設(shè)計中又加入了活動2，加油機(jī)屏幕上兩個數(shù)據(jù)變化的視頻，將油量和加油費之間的變化關(guān)系直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前，從而讓學(xué)生體會用數(shù)據(jù)描繪函數(shù).上述兩個情境的使用，在得出常量和變量的基礎(chǔ)上，也潤物無聲地滲透了函數(shù)的變化情況，從而自然地過渡到新課講解環(huán)節(jié).

2.新課講解

活動3：活動升華.

再次觀察加油視頻，完成下列問題：

（1）加6升、10升、20升和30升油時，應(yīng)付油費各多少元？

（2）試寫出視頻中三個量之間的關(guān)系.

（3）在加油過程中，根據(jù)不同的油量和對應(yīng)的油費列一個可以表示它們變化關(guān)系的表格，并結(jié)合視頻和表格說出油費隨油量的增加而發(fā)生怎樣的變化.

從視頻中我們可以看出，隨著油量的變化，相應(yīng)的油費也隨之變化.

設(shè)計意圖：問題（1）～（3），都是學(xué)生熟悉的知識，安排這三個實際問題，旨在讓學(xué)生通過直觀感知，領(lǐng)悟相關(guān)概念的意義.對于問題（1），因油費隨著油量的變化而變化，因此確定油量便能確定此時的油費，體現(xiàn)了函數(shù)的對應(yīng)思想.對于問題（2），學(xué)生通過觀察視頻中各數(shù)據(jù)的變化，直觀感受函數(shù)值隨自變量的變化而變化，從變化趨勢感受函數(shù)的單調(diào)性，對于函數(shù)的這些性質(zhì)，教學(xué)時可暫時不指明，只是引導(dǎo)學(xué)生感受，稍加滲透即可.

問題1：（1）若路程為1500千米，則汽車行駛的速度v（千米/時）與行駛的時間t（時）的關(guān)系是__________.

（2）汽車速度為85千米/時，則行駛的路程S（千米）與行駛的時間t（時）之間的關(guān)系是__________.

（3）汽車行駛的時間為5小時，則行駛的路程S（千米）與速度v（千米/時）之間的關(guān)系為__________.

設(shè)計意圖：在活動的基礎(chǔ)上加上問題1，旨在讓學(xué)生感受在相同情境中，不變的量和變化的量的相對性，并能靈活地表達(dá)兩個變量之間的關(guān)系，從而歸納總結(jié)出常量和變量的概念.

問題2：華東師大版教材“變量與函數(shù)——問題1”.

看圖回答：

圖1

（1）這一天中，最高氣溫是多少？最低氣溫是多少？

（2）這一天中，什么時段的氣溫在逐漸升高？什么時段的氣溫在逐漸降低？

問題3：某店賣米，數(shù)量x（千克）與總價y（元）之間的關(guān)系如表1：

表1

總價y與數(shù)量x之間的關(guān)系是__________.

設(shè)計意圖：通過問題2、問題3，借助圖像和表格感受兩個變量之間的關(guān)系，使學(xué)生明白：不管是生活情境中（現(xiàn)在）不能表達(dá)的，還是能表達(dá)的兩個變量的關(guān)系，我們都發(fā)現(xiàn)其中一個變量隨著另一個變量的變化而變化，更確切地說，就是一個變量取得某一個值，另一個變量都有唯一的值與之對應(yīng)，從而形成對函數(shù)的認(rèn)識.

3.歸納概括

（1）常量和變量的概念.

在某一變化過程中始終保持不變的量，稱為常量.在某一變化過程中可以取不同數(shù)值的量叫作變量.

（2）函數(shù)的概念.

函數(shù)的概念：如果在—個變化過程中，有兩個變量，假設(shè)為x與y，對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量.

活動4：學(xué)生舉生活中具有函數(shù)關(guān)系的例子.

活動目的：（1）檢查學(xué)生對函數(shù)的理解；（2）發(fā)現(xiàn)學(xué)生理解概念時出現(xiàn)的問題，從而及時引導(dǎo)學(xué)生更規(guī)范、更深刻地理解函數(shù)概念.

對于函數(shù)概念的理解，注意以下幾個方面：

在變化過程中一定是兩個變量，而不是多個變量.兩個變量中，一個為自變量，一個為因變量，對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應(yīng).假如y有兩個或多個值與它對應(yīng)，則y就不是x的函數(shù).例如y＝x2是y關(guān)于x的函數(shù)，而y2＝x，y就不是x的函數(shù).或者從圖像角度能直接看出因變量隨著自變量的變化而只有一種變化而不是同時有多種變化.注意自變量的取值范圍，或者是使函數(shù)表達(dá)式有意義，或者滿足情境中的生活實際需要，如問題1.（1）問中的時間就必須取正數(shù).

說明：對于學(xué)生發(fā)現(xiàn)、概括的概念，教師應(yīng)當(dāng)規(guī)范他們的語言，強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵點和易錯點.

（3）表示函數(shù)的方法.

①解析法，如問題1中所列出的表達(dá)式；

②圖像法，如問題2中氣溫與時間的曲線圖.

③列表法，如問題3中米的總價與數(shù)量的關(guān)系表.

4.強(qiáng)化與鞏固

（1）例題講解.

例1①一支蠟燭長35厘米，其燃燒速度為v厘米/分，燃燒時間為t分，則v與t的函數(shù)關(guān)系式是_________.其中，常量是__________，變量是__________.

②等腰三角形周長為22，則底長y和腰長x之間的函數(shù)關(guān)系式為_________，其中x的取值范圍是__________.

例2指出下列關(guān)系式哪些是y關(guān)于x的函數(shù)，并說明為什么.

（2）課堂練習(xí).

課本第30頁練習(xí)的第1、2、3題.

設(shè)計意圖：通過學(xué)生舉出有函數(shù)關(guān)系的實例，感受現(xiàn)實情境中函數(shù)的運用；第2題問題①要求學(xué)生運用統(tǒng)計知識，從統(tǒng)計數(shù)據(jù)觀察身高隨年齡的變化情況，感受函數(shù)的無處不在.而對于第3題，除鞏固學(xué)生已學(xué)知識外，要求他們寫出自變量的取值范圍，就要求學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上理解問題情境的意義，注意函數(shù)的實際背景對自變量取值范圍的限制.

5.課堂小結(jié).

由學(xué)生分小組總結(jié)，相互補(bǔ)充.

設(shè)計意圖：通過學(xué)生自己總結(jié)，強(qiáng)化本節(jié)課所學(xué)概念（常量、變量、函數(shù)）；確定自變量的取值范圍的問題是一個難點，可在下一節(jié)課再做強(qiáng)化.

6.作業(yè)

課本第33頁習(xí)題17.1第1、2題.

六、教學(xué)反思

“變量與函數(shù)”的概念教學(xué)是由常量教學(xué)引入變量教學(xué)，是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的一個升級.根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)與生活實際緊密聯(lián)系的情境，使學(xué)生從中認(rèn)識常量與變量，體會變量之間的變化規(guī)律.從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性.遵循以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)原則，整節(jié)課面向全體學(xué)生，但學(xué)生的個體差異是存在的，在教學(xué)中不能一概而論.合作交流能很好地彌補(bǔ)學(xué)生差異，實現(xiàn)每個學(xué)生得到不同的、最好的發(fā)展.在小組合作交流的時候，應(yīng)加強(qiáng)指導(dǎo)，真正讓每個學(xué)生都參與其中，真正體驗到學(xué)習(xí)的快樂和獲得心智的發(fā)展.

學(xué)生對函數(shù)概念的理解還不是很透徹，需要進(jìn)一步加強(qiáng)這方面的練習(xí)和指導(dǎo).