對(duì)平面幾何問(wèn)題求解入手點(diǎn)的思考

湖南省雙峰縣永豐中學(xué) 匡牡丹

在初中數(shù)學(xué)平面幾何問(wèn)題的求解中，我們會(huì)遇到各種類型題，每類題都有不同的思路和解法.這些題型是否具有共同的本質(zhì)？不同的解法之間是否有相通之處？到底應(yīng)該從哪里下手來(lái)解決這些問(wèn)題？該如何作輔助線？下面，介紹一下筆者對(duì)于解答平面幾何問(wèn)題的思考與感悟.

一、從特殊角入手

在平面幾何題目的條件中，往往給出一些特殊角，如30°、45°、60°（或150°、120°、135°）、90°等，或者兩個(gè)角之間存在倍半關(guān)系，幾個(gè)角之間存在和差關(guān)系.如果出現(xiàn)90°角，可以構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理求解；如果出現(xiàn)60°角，可以與其他條件相結(jié)合，構(gòu)造等邊三角形等.

在這類問(wèn)題的求解中，利用這些特殊角，通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形，常?？梢钥焖僬业胶?jiǎn)潔的求解思路.

例1如圖1所示，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，且∠ACD=30°，∠BCD=90°.則

分析：本題中給了兩個(gè)特殊角∠ACD=30°，∠BCD=90°，因此可基于此構(gòu)造特殊三角形求解.

圖1

圖2

方法1：如圖2所示，過(guò)點(diǎn)A作CD的垂線，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

在直角△ACE中，因?yàn)椤螦CD=30°，所以AC=2AE.

在△ADE和△BCD中，∠AED=∠BCD=90°，∠ADE=∠BDC，所以所以，所以BC=3AE.

方法2：如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DF垂直AC于點(diǎn)F.

圖3

二、從特殊邊入手

特殊邊或邊的關(guān)系主要有：勾股關(guān)系，即一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，進(jìn)而可以得到直角三角形，利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，證明垂直關(guān)系.

邊的倍、半、和、差關(guān)系等.與倍半有關(guān)的定理有：“直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”“三角形的中位線等于相應(yīng)邊的一半”.

邊的相等關(guān)系.主要有：“等角對(duì)等邊”“平行四邊形的對(duì)邊相等”“軸對(duì)稱圖形的對(duì)應(yīng)邊相等”等.此外，還可以運(yùn)用全等三角形得到邊的相等關(guān)系.

解題中遇到與上述條件有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)該想到應(yīng)用這些關(guān)系，構(gòu)造特殊圖形.例如，當(dāng)我們看到角平分線時(shí)，應(yīng)想到過(guò)角平分線上的已知點(diǎn)作垂直于角的兩邊的線段；當(dāng)我們看到中點(diǎn)時(shí)，應(yīng)想到添加輔助線，使兩中點(diǎn)所連線段成為某三角形的中位線.這樣，許多難題便迎刃而解.

例2已知：如圖4所示，在△ABC中，點(diǎn)M為AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，且AB=4AE，連接EM并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.求證：BC=2CD.

分析：本題的條件中含有相等線段及比例線段，因此可通過(guò)構(gòu)造平行線或三角形的中位線等進(jìn)行求解.

方法1：如圖5，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交DE于點(diǎn)F.

因?yàn)辄c(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，所以AM=CM.

因?yàn)镃F∥AB，所以∠BAC=∠MCF.又∠AME=∠CMF，AM=CM，所以，所以AE=CF.

因?yàn)锳B=4AE，BE=AB-AE，所以BE=3AE，所以

因?yàn)锽C=BD-CD，所以BC=2CD.

圖4

圖5

方法2：如圖6，過(guò)點(diǎn)C作CF∥DE交AB于點(diǎn)F.

圖6

因?yàn)辄c(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，所以AC=2AM，AF=2AE，AE=EF.

三、從特殊圖形入手

特殊的圖形主要包括正方形、長(zhǎng)方形、等腰或等邊三角形、平行四邊形、菱形、圓等.例如，遇到涉及圓的問(wèn)題，首先要想到構(gòu)造已知直徑所對(duì)的圓周角；若已知切線，要想到連接圓心和切點(diǎn)等.熟練運(yùn)用輔助線，化未知為已知，從而解決不能直接運(yùn)用定理解決的平面幾何題.

例3如圖7所示，點(diǎn)C是以AB為直徑的圓O上一點(diǎn)，直線AC與過(guò)點(diǎn)B的切線相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，直線CE交直線AB于點(diǎn)F.

（1）求證：CF是圓O的切線；

（2）若ED=3，EF=5，求圓O的半徑.

分析：本題所給的條件中有直徑、有切線，據(jù)此構(gòu)造垂直關(guān)系，可迅速找到解題的切入點(diǎn).

（1）方法1：如圖8，連接CB、OC.

因?yàn)锽D為圓O的切線，AB是圓O的直徑，所以∠ACB=90°，∠ABD=90°，∠BCD=90°.

因?yàn)椤螧CD=90°，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，所以CE=BE，所以∠BCE=∠CBE.又因?yàn)椤螼CB=∠OBC，所以∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，所以O(shè)C⊥CF.

所以CF是圓O的切線.

圖7

圖8

方法2：如圖9所示，連接OE.

因?yàn)镈B是圓O的切線，所以∠OBD=90°.

因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以BC ⊥AD，所以△BCD是直角三角形.

圖9

因?yàn)椤螧CO=90°，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，所以CE=BE.

在△OCE和△OBE中，OC=OB，OE為兩三角形的公共邊，CE=BE，所以所以∠OBE=∠OCD=90°，所以O(shè)C⊥CF.

所以CF是圓O的切線.

（2）解：因?yàn)镃E=BE=DE=3，EF=5，所以CF=CE+EF=8.

因?yàn)椤螦BD=90°，所以∠EBF=90°.又因?yàn)椤螼CF=90°，所以∠EBF=∠OCF.又因?yàn)椤螰=∠F，所以所以，所以O(shè)C=6，即圓O的半徑為6.

另外，需要注意的是，在某一問(wèn)題中這些關(guān)系并不是獨(dú)立給出的，求解時(shí)要綜合運(yùn)用這些特殊關(guān)系.

總之，在平面幾何問(wèn)題的求解中，熟練運(yùn)用特殊角、特殊邊、特殊圖形，快速聯(lián)想，熟記定理，適當(dāng)添加輔助線，運(yùn)用這些方法，即可快速找到問(wèn)題的求解思路，從而順利、準(zhǔn)確解決問(wèn)題.