高中解析幾何的備考策略

王欣寧

[摘 要]解析幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是歷年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，在高考中所占分值較大。如何提高解析幾何的解題能力，在高三備考中值得深思。筆者根據(jù)自己在教學(xué)實(shí)踐中遇到的問題，結(jié)合近年高考的命題情況，深入探究解析幾何高考備考策略。

[關(guān)鍵詞]高考;解析幾何;思想方法;備考策略

解決考生在解析幾何的困惑，成為我校提高數(shù)學(xué)成績(jī)的突破口。要制定合適高考備考方案，必須弄清解析幾何教學(xué)存在問題，研究高考命題動(dòng)向。

一、解析幾何教學(xué)中存在的問題

（一）學(xué)生存在的問題

在解析幾何的教學(xué)中，學(xué)生對(duì)圓錐曲線的基本概念、性質(zhì)不夠重視，從而不能將知識(shí)有效地運(yùn)用到解題中去;解題時(shí)不理解問題形成機(jī)理，只是生搬硬套教師的方法，不能根據(jù)題目特點(diǎn)優(yōu)選方法;平時(shí)不愿花時(shí)間運(yùn)算上，運(yùn)算能力差，考試時(shí)知道算法，也不能在預(yù)定時(shí)間算出結(jié)果。

（二）教學(xué)中存在的問題

在復(fù)習(xí)備考中，教師的態(tài)度與觀念引領(lǐng)著學(xué)生復(fù)習(xí)應(yīng)考的方向。有的教師把側(cè)重點(diǎn)放在“三角函數(shù)”“概率統(tǒng)計(jì)”“立體幾何”，把解析幾何歸為難學(xué)難搞的一類，認(rèn)為自己的學(xué)生是不可能做好它的。因此，教師在復(fù)習(xí)解析幾何時(shí)，投入的精力與時(shí)間都會(huì)有所保留。在這樣的指導(dǎo)思想下，教師對(duì)解析幾何的研究是欠缺的，并人為地給學(xué)生制造出解析幾何“難”的印象，學(xué)生對(duì)解析幾何自然會(huì)輕視、消極與害怕，做解析幾何的積極性不高。我們發(fā)現(xiàn)有些教師在復(fù)習(xí)解析幾何時(shí)用時(shí)明顯不足，且草草收?qǐng)?。有的教師很重視解析幾何，恨不得把所有題目都講完，但課堂上沒有做到精選例題習(xí)題，實(shí)施滿堂灌，給學(xué)生思考消化的時(shí)間不夠，沒能理解其中的奧妙之處，解題只能生搬硬套;課堂沒有給學(xué)生演算時(shí)間，講解時(shí)很多學(xué)生被動(dòng)接受，不得其法。

這些問題嚴(yán)重阻礙著學(xué)生在解析幾何上的發(fā)展，也學(xué)生對(duì)解析幾何有恐懼感的原因。

二、解析幾何高考命題動(dòng)向

（一）題型結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，模型主調(diào)清晰

近五年全國課標(biāo)卷I中對(duì)解析幾何的考查，均是2個(gè)客觀題和1個(gè)解答題，分值22分，解答題都是固定在20題，說明題型結(jié)構(gòu)十分穩(wěn)定。從近五年的考點(diǎn)分布來看，直線單獨(dú)考查概率小，理科與向量交匯概率大;客觀題以雙曲線、橢圓、拋物線為主;文科解答題以圓與橢圓為主，理科解答題以橢圓與拋物線為主，符合考綱中關(guān)于圓錐曲線的考查要求。

（二）立足基本性質(zhì)，熱點(diǎn)問題頻現(xiàn)

曲線的方程與幾何性質(zhì)，是解析幾何考查時(shí)的重中之重。 由方程得幾何性質(zhì)，由幾何性質(zhì)求方程，或者運(yùn)用幾何性質(zhì)直接解決問題，是解題的必經(jīng)之路。

從近五年的考點(diǎn)分布表看出，每年均涉及一些經(jīng)典的熱點(diǎn)問題，如直線與圓錐曲線位置關(guān)系中弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、軌跡、方程組與韋達(dá)定理或判別式、圓錐曲線中的三角形面積，定值、最值、定點(diǎn)等。

三、備考策略與建議

針對(duì)教學(xué)存在問題，依據(jù)高考命題趨勢(shì)，我們對(duì)高三的備考提出以下策略和建議。

（一）轉(zhuǎn)變師生的認(rèn)識(shí)觀念，合理定位，消除懼怕心理

在“信心比黃金還重要”的年代，首先教師要給自己信心，學(xué)生也要給自己信心。一線教師備考時(shí)首先要轉(zhuǎn)變解析幾何是難題，學(xué)生沒辦法拿分這種錯(cuò)誤的觀念，把解析幾何合理定位到與三角函數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、立體幾何等同的位置上來，加強(qiáng)對(duì)解析幾何試題的深入研究，特別是要研究新課程改革以來的全國Ⅰ卷命題特點(diǎn)與方向，找到規(guī)律，認(rèn)真?zhèn)淇?，讓考生高考時(shí)做題有更多的選擇空間，并幫助學(xué)生消除對(duì)解析幾何題的恐懼感，讓學(xué)生能放心大膽去嘗試接觸解析幾何題。

（二）突出概念的形成過程，強(qiáng)化概念應(yīng)用意識(shí)

概念的形成是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)化過程，有特例分析，也有抽象概括，有合情推理，也有演繹推理，有直覺思維，也有理性思維，有符號(hào)化的過程，也有實(shí)際意義的解釋，要經(jīng)歷觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、類比、聯(lián)系、歸納等一系列的思維活動(dòng)，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維方法。因此，高三復(fù)習(xí)中的概念復(fù)習(xí)課，要重新讓學(xué)生經(jīng)歷一次完整的數(shù)學(xué)化過程，從中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)表達(dá)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)。如果學(xué)生能在高三復(fù)習(xí)中，把高中數(shù)學(xué)課程中的核心概念的形成過程都完整地經(jīng)歷一次，并且能在教師的引導(dǎo)下，不斷地體驗(yàn)、領(lǐng)悟，這對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)會(huì)產(chǎn)生什么影響？學(xué)生通過高一高二的學(xué)習(xí)，積累了大量的素材和經(jīng)驗(yàn)，有了自己的一些對(duì)數(shù)學(xué)的看法，但倘若教師不對(duì)學(xué)生的積累進(jìn)行提煉和去粗取精，一些錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)得不到糾正，那么學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)始終會(huì)停留在意識(shí)的淺層上，存在許多不確定性的內(nèi)容，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)將得不到優(yōu)化，這對(duì)解題能力的提高必會(huì)造成巨大的障礙和危害。

同時(shí)，在圓錐曲線概念中，包含有豐富的內(nèi)容。

（1）語義的理解：文字表達(dá)。

（2）符號(hào)的理解：橢圓|MF1|MF2|=2a>|F1|F2|=2c雙曲線|MF1|-|FM2|=2a<|F1F2|=2c與|MF2|-|MF1|=2a<|F1F2|=2c的區(qū)別，以及||MF1|-|MF2||=2a<|F1F2|=2c

拋物線|MF|=d，d表示動(dòng)點(diǎn)到直線的距離。

（3）圖形：橢圓與雙曲線——曲線上的動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形。

拋物線：準(zhǔn)線、拋物線上動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線段與到焦點(diǎn)的距離、對(duì)稱軸構(gòu)成一個(gè)直角梯形。

（4）如何建系求標(biāo)準(zhǔn)方程：如何得到最簡(jiǎn)方程的思考

（5）標(biāo)準(zhǔn)方程形式的最終表達(dá)形式，如橢圓通過令b2=a2-c2將標(biāo)準(zhǔn)方程表示為，形式簡(jiǎn)潔漂亮且使用方便。

（6）拋物線的定義中蘊(yùn)含著重要的轉(zhuǎn)化思想：到焦點(diǎn)的距離通常會(huì)轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，從而使問題變得更加直觀。

在復(fù)習(xí)備考中要精心設(shè)計(jì)相應(yīng)的概念運(yùn)用的習(xí)題，讓學(xué)生的思維得到強(qiáng)化訓(xùn)練。如類似下面的習(xí)題是必要的。

（1）已知△ABC的一邊BC長(zhǎng)為8，周長(zhǎng)為20，則頂點(diǎn)A的軌跡是（ ? ?）

A 橢圓 B 橢圓，除去兩個(gè)點(diǎn) C 拋物線 D 橢圓的上半部分

（2）橢圓的焦點(diǎn)為F1F2，點(diǎn)P在橢圓上.且PF1PF2①求△PF1F2的面積;②求△PF1F2外接圓方程.

（3）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，1），若P是拋物線y2=4x上的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，則|PA|+|PF|的最小值為（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6

（三）注重基本題型，強(qiáng)化學(xué)生的運(yùn)算能力

從對(duì)近幾年的全國高考數(shù)學(xué)卷的分析來看，“兩小一大”的格局非常穩(wěn)定，客觀題（選擇題和填空題）的計(jì)算量往往較少，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)解析幾何相關(guān)概念及性質(zhì)的掌握程度，且注重通性通法，減少與其他知識(shí)模塊交匯的試題;解答題以常規(guī)題為主，一般處在第20題的位置，往往是把關(guān)題，采取遞進(jìn)設(shè)問方式，第一步往往是求曲線方程，較為簡(jiǎn)單;后面則很可能設(shè)定定點(diǎn)問題、定值問題、最值問題、參數(shù)范圍等問題，有一定難度. 因此，解析幾何復(fù)習(xí)時(shí)，知識(shí)、方法、題型三方面可以如下嘗試。

（1）第一輪復(fù)習(xí)應(yīng)以小題與中檔解答題為主，確保知識(shí)的全覆蓋，靈活選用代入檢驗(yàn)、篩選排除等方法，掌握解析幾何小題的解題技巧，避免“小題大做”。這些小題以中等難度為主，主要考查方程的求解和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，每年常為一選擇一填空，是多數(shù)學(xué)生可以得分的部分。

（2）第二輪復(fù)習(xí)采用題組的形式，對(duì)定點(diǎn)問題、定值問題、最值問題、參數(shù)范圍等問題進(jìn)行針對(duì)性強(qiáng)化訓(xùn)練. 讓學(xué)生會(huì)一題，懂一類，舉一反三，觸類旁通。解析幾何大題一般的解題模式是“由方程畫曲線—結(jié)合圖形審題破題—相對(duì)繁雜的數(shù)式運(yùn)算—求得結(jié)果”，過好畫圖的基礎(chǔ)關(guān)，突破運(yùn)算關(guān)是解析幾何大題的得分關(guān)鍵。

突破運(yùn)算難點(diǎn)是解幾題是否順利解答的關(guān)鍵。可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練：其一，用足圓錐曲線的定義求方程。 此處所提“用足”包含兩層含義——用定義列方程可避免繁雜的計(jì)算量，用定義可排除不符合條件的點(diǎn);其二，利用簡(jiǎn)單的平面幾何知識(shí)進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化。比如，已知從某動(dòng)點(diǎn)看兩已知點(diǎn)的視角為鈍角，可聯(lián)想到動(dòng)點(diǎn)在以兩已知點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓內(nèi)，轉(zhuǎn)化為圓的問題，計(jì)算量大減;其三，精選?？碱}型，給足時(shí)間放手讓學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，進(jìn)行計(jì)算專題指導(dǎo)。

四、強(qiáng)化作圖能力，突出數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用

近幾年的全國Ⅰ卷中，解析幾何題一律沒有配圖，這就要求教師在平時(shí)的教學(xué)中要幫助學(xué)生建立作圖用圖的意識(shí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生養(yǎng)成讀題畫圖的習(xí)慣。因?yàn)楫媹D是解題的第一關(guān)，準(zhǔn)確畫出圖形有利于學(xué)生理解問題形成的過程，使數(shù)和形有機(jī)結(jié)合起來，從而突破難點(diǎn)，解決問題。很多時(shí)候我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：作圖的過程其實(shí)就是解題的思路。為了強(qiáng)化作圖能力，突出數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，筆者建議從三個(gè)方面做好這項(xiàng)工作：其一，從選題上就要適應(yīng)高考的要求，盡量不配圖，特別要用好近幾年的高考題，對(duì)其進(jìn)行變式研究，精講;其二，課堂上要舍得花時(shí)間給學(xué)生讀題作圖，最好能讓學(xué)生在黑板上板演并點(diǎn)評(píng)或由教師與學(xué)生一起讀題作圖解題，使學(xué)生能潛移默化的養(yǎng)成讀題作圖分析的好習(xí)慣;其三，用好教材中的例習(xí)題，并進(jìn)行變式研究;對(duì)一些經(jīng)典的傳統(tǒng)試題或習(xí)題進(jìn)行改編，使學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合的便利。

五、挖掘教材，設(shè)置開放性的探究問題，重視探究能力的培養(yǎng)

探究能力是學(xué)生研究能力的體現(xiàn)，是新課標(biāo)的一個(gè)重要的能力要求。把探究能力當(dāng)做一種習(xí)慣去培養(yǎng)，這不僅是解析幾何才有這種要求的，而是要在整個(gè)高三備考中堅(jiān)持做這項(xiàng)工作，一旦學(xué)生的探究能力得到強(qiáng)化，學(xué)生的學(xué)習(xí)和解決問題的能力會(huì)有質(zhì)的飛躍。在人教A版《選修2-1》中有許多探究的素材，教師要充分挖掘，設(shè)置一些開放性的問題，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力。那么，為什么要強(qiáng)調(diào)從教材中選素材呢？原因有三：其一，不要把探究能力當(dāng)作是什么很神秘的東西，從學(xué)生熟悉的情境設(shè)置問題，是學(xué)生愿意接受和容易理解的;其二，探究能力要當(dāng)作一種習(xí)慣去培養(yǎng)，通過教材的再次挖掘，讓學(xué)生回到高一高二的學(xué)習(xí)中去思考自己的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促其有改變和自我調(diào)整的意愿;其三，高考本身是離不開教材的，高三備考同樣也不能丟掉教材，要改變現(xiàn)在許多教師用一本教輔資料搞完整個(gè)高三的做法，讓教師重視教材研究。

例：已知點(diǎn)A（-5，0），B（5，0），直線l1過點(diǎn)A，直線l2過點(diǎn)B，若l1.l2的斜率之積為，求l1、l2的交點(diǎn)P的軌跡方程。

探究1：分析結(jié)論與題設(shè)的關(guān)系，你有什么發(fā)現(xiàn)？并證明你的結(jié)論。

學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)，結(jié)論點(diǎn)P的軌跡是橢圓（X≠±2），題設(shè)中的A，B恰好是橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，常數(shù)。推廣到一般有：橢圓的兩個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)分別為A1A2，點(diǎn)P是橢圓上異于A1A2的動(dòng)點(diǎn)，則。

探究2：將題中的常數(shù)改為，結(jié)論有什么變化？為什么？

探究3：將題中的點(diǎn)A（-5，0），B（5，0）改為點(diǎn)A（0，-5），B（0，5），結(jié)論又有什么變化？為什么？由此請(qǐng)同學(xué)們完善你的研究結(jié)論，并給出證明。

教材中還有不少類似的問題，教師應(yīng)該在高三復(fù)習(xí)時(shí)充分挖掘教材素材，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行探究活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的探究習(xí)慣與提高學(xué)生的探究能力。同時(shí)，糾正部分教師的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)：認(rèn)為探究活動(dòng)只應(yīng)該在高一高二進(jìn)行。

六、解題策略多指導(dǎo)，難題也是能得分

解析幾何試題的難度還在于較高的綜合性，如此內(nèi)容常與平面向量綜合，利用平面向量列出關(guān)系式;與不等式綜合，利用基本不等式求最值;還與解方程、函數(shù)、解三角形等綜合，平時(shí)要有所涉及，讓學(xué)生具備相關(guān)內(nèi)容的方法與技能。策略上要告訴學(xué)生學(xué)會(huì)分步得分，部分得分。對(duì)于不能評(píng)講的部分，可將詳細(xì)的答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)印給學(xué)生，不同層次的學(xué)生各取所需，各自取得最大限度的發(fā)展。

總之，要提高學(xué)生在解析幾何的解題能力，教師必須根據(jù)考試必須根據(jù)解析幾何試題題型特點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的問題，研究制訂策略，在學(xué)生全面掌握解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)、基本題型的同時(shí)，總結(jié)近年高考試題特點(diǎn)、相關(guān)解題方法，培養(yǎng)學(xué)生解題能力，提升教學(xué)效果。

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