談一類遞推數(shù)列通項公式的求法

王小龍

[摘 ? 要]數(shù)列因容易與函數(shù)、不等式等知識綜合，已成為高考命題的好素材，是考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法的理想載體.文章主要研究利用待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列求解遞推數(shù)列通項公式的方法.

[關(guān)鍵詞]遞推數(shù)列;通項公式;等差數(shù)列;等比數(shù)列

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2019）26-0022-01

遞推數(shù)列通項公式的求解在高考中屢見不鮮，其豐富的內(nèi)涵對培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性具有較高的價值，同時對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力也具有十分重要的意義.

構(gòu)造輔助數(shù)列是求遞推數(shù)列通項公式的常用方法，本文主要研究利用待定系數(shù)法求一類遞推數(shù)列通項公式的問題.

[例題]已知數(shù)列[an]滿足：[a1=1，an+1=3an+2]，求數(shù)列[an]的通項公式.

分析1：觀察遞推關(guān)系式[an+1=3an+2]，發(fā)現(xiàn)兩邊同時加1，即可得到[an+1+1=3（an+1）]，所以數(shù)列[{an+1}]是以1為首項、3為公比的等比數(shù)列，即得[an+1=3n-1]，所以[an=3n-1-1].

分析2：由遞推關(guān)系設(shè)[an+1+λ=3（an+λ）]，即[an+1=3an+2λ]，對照已知遞推關(guān)系式可得[λ=1]，所以有[an+1+1=3（an+1）]，即數(shù)列[{an+1}]是以1為首項、3為公比的等比數(shù)列，即得[an+1=3n-1]，所以[an=3n-1-1].

由上面的例題我們還可得到如下一般性結(jié)論：

結(jié)論一：對于數(shù)列[an]，若[a1=a（a≠0）]，[an]滿足：[an+1=pan+q]（[p，q]都為非零常數(shù)，且[p≠1];注：當(dāng)[p=1]時，[an]為等差數(shù)列），則數(shù)列[an+qp-1]是以[a1+qp-1]為首項、[p]為公比的等比數(shù)列.

證明：[∵an+1=pan+q]，①則可設(shè)[an+1+λ=p（an+λ）]，整理即得[an+1=pan+λ（p-1）]，對照①式，則[λ（p-1）=q]，解得[λ=qp-1]，

[∴an+1+qp-1=pan+qp-1]，

[∴]數(shù)列[an+qp-1]是以[a+qp-1]為首項、[p]為公比的等比數(shù)列.

類比結(jié)論一可得到結(jié)論二：

結(jié)論二：對于數(shù)列[an]，若[a1=a（a≠0）]，[an]滿足：[an+1=pan+qn]（[p，q]都為非零常數(shù)），則

（Ⅰ）當(dāng)[p=1]，[q≠1且q≠0]時，數(shù)列[an]的通項為[an=q（1-qn-1）1-q+a].

（Ⅱ）當(dāng)[p=q]時，數(shù)列[anpn]是以[a1p]為首項、[1p]為公差的等差數(shù)列.

（Ⅲ）當(dāng)[p≠q]時，數(shù)列[an+1p-q?qn]是以[a1+qp-q]為首項、[p]為公比的等比數(shù)列.

證明：

（Ⅰ） 當(dāng)[p=1]，[q≠1且q≠0]時，已知條件為[an+1=an+qn]，[∴an+1-an=qn]，

[∴an-an-1=qn-1an-1-an-2=qn-2?a2-a1=q]

相加得：[an-a1=q+q2+…+qn]，

[∴an=q（1-qn-1）1-q+a].

（Ⅱ）當(dāng)[p=q]時，原式即為[an+1=pan+pn]，等式兩邊同除[pn+1]得[an+1pn+1=anpn+1p] ，[∴]數(shù)列[anpn]是以[a1p]為首項、[1p]為公差的等差數(shù)列.

（Ⅲ）當(dāng)[p≠q]時，對于[an+1=pan+qn]， ?①

設(shè)[an+1+λ?qn+1=p（an+λ?qn）]，

整理后得[an+1=pan+λ?qn（p-q）]，

對照①式得[λ?qn（p-q）=qn]，得[λ=1p-q]，

[∴][an+1+1p-q?qn+1=pan+1p-q?qn]，

[∴]數(shù)列[an+1p-q?qn]是以[a1+qp-q]為首項、[p]為公比的等比數(shù)列.

本文介紹了用待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列求解遞推數(shù)列通項公式的方法.當(dāng)然此法并不是唯一的方法，還有方程組法等，在此不再贅述.本文中構(gòu)造輔助數(shù)列這一思想方法尤為重要.高中學(xué)段所研究的遞推數(shù)列是以兩類特殊的遞推數(shù)列——等差數(shù)列和等比數(shù)列為基礎(chǔ)，將一般遞推數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列、等比數(shù)列，進(jìn)而解決問題.

（責(zé)任編輯 黃春香）