幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探索

李如咬

[摘 ? 要]結(jié)合具體教學(xué)案例，分析幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用，突顯幾何畫板輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的特有優(yōu)勢(shì)：體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于實(shí)踐，源于生活;體現(xiàn)“以學(xué)生發(fā)展為本”;體現(xiàn)“數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”;體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵.

[關(guān)鍵詞]幾何畫板;數(shù)學(xué)教學(xué);應(yīng)用

[中圖分類號(hào)] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號(hào)] ? ?1674-6058（2019）26-0009-03

在初中階段，圖形的特征認(rèn)識(shí)及其相關(guān)的證明以及函數(shù)圖像這些圖形類的內(nèi)容是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，更是困擾很多學(xué)生的“結(jié)”點(diǎn).學(xué)生對(duì)圖形缺少實(shí)際的認(rèn)識(shí)，對(duì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)只停留在概念的層面，難以進(jìn)行串聯(lián)性記憶和綜合運(yùn)用.如何讓數(shù)學(xué)課“活”過來，讓學(xué)生最大限度地釋放數(shù)學(xué)思維的火花，很值得我們思考.

幾何畫板讓幾何“活”了，數(shù)學(xué)“動(dòng)”了.幾何畫板的最大特點(diǎn)就是“動(dòng)態(tài)性”，并具有簡(jiǎn)明、樸素、短小的特點(diǎn)，擁有強(qiáng)大的圖形、圖像和動(dòng)畫功能，具有入門容易、操作簡(jiǎn)單、節(jié)省資源等優(yōu)點(diǎn).幾何畫板為學(xué)生提供了一個(gè)進(jìn)行幾何實(shí)驗(yàn)的環(huán)境，為教師和學(xué)生提供了一個(gè)探索幾何圖形內(nèi)在關(guān)系的平臺(tái).因此，研究幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用有著重要的意義.

一、利用幾何畫板調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師發(fā)現(xiàn)能真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)之美的學(xué)生很少.其原因大多是教師受傳統(tǒng)教學(xué)模式的影響，課堂上講的內(nèi)容太多，留給學(xué)生獨(dú)立思考、討論練習(xí)的時(shí)間太少，學(xué)生覺得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)枯燥無味，容易出現(xiàn)倦怠、厭煩等不穩(wěn)定情緒，慢慢地，也就失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.幾何畫板集圖、聲、色、文于一體，能讓學(xué)生清楚地看到圖形變化的全過程，化靜為動(dòng)、化繁為簡(jiǎn)、化虛為實(shí)，使枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)趣味化，提高學(xué)生主動(dòng)探究的積極性，激活學(xué)生的創(chuàng)新思維.

二、利用幾何畫板設(shè)計(jì)生動(dòng)的問題情境

一個(gè)好的問題情境的設(shè)計(jì)能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，能使教師教得輕松，學(xué)生學(xué)得愉快.而利用幾何畫板可設(shè)計(jì)生動(dòng)的問題情境.

例如，九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《圖形的旋轉(zhuǎn)》的教學(xué)中，教師首先給學(xué)生展示了幾個(gè)美麗的動(dòng)畫，當(dāng)動(dòng)畫結(jié)束時(shí)，出現(xiàn)了一個(gè)個(gè)美麗的圖案（如圖1）.學(xué)生被這些美麗的圖案迷住了，立即產(chǎn)生了濃厚的學(xué)習(xí)興趣.這樣的開始就預(yù)示著課堂教學(xué)已成功了一半.在好奇心的驅(qū)使下，學(xué)生就會(huì)結(jié)合具體情境，運(yùn)用已有知識(shí)，借助類比、聯(lián)想、猜測(cè)等方法，與教師共同探索，進(jìn)行知識(shí)遷移，掌握“旋轉(zhuǎn)”的概念、性質(zhì)，學(xué)會(huì)如何進(jìn)行旋轉(zhuǎn)作圖.隨著對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)概念的深入理解，學(xué)生會(huì)迫不及待地親自動(dòng)手設(shè)計(jì)圖案，教師可適時(shí)給予幫助和指正，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)成功的喜悅.

同一章節(jié)中的中心對(duì)稱的知識(shí)，也可借助幾何畫板加深學(xué)生對(duì)其變換過程中坐標(biāo)變化的認(rèn)識(shí).如圖2中，任意拖動(dòng)點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)A′、點(diǎn)B′、點(diǎn)C′中的任一點(diǎn)，改變其線段的長(zhǎng)度或方向，圖中的坐標(biāo)都會(huì)隨后展現(xiàn)準(zhǔn)確的數(shù)值，能讓學(xué)生直觀地觀察到各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓕?duì)應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的相反數(shù).

三、利用幾何畫板指引探究型問題的思考方向

美國(guó)實(shí)用主義教育學(xué)家杜威認(rèn)為，教學(xué)過程是學(xué)生直接經(jīng)驗(yàn)的不斷改造和增大意義的過程，即“從做中學(xué)”的過程.學(xué)生應(yīng)該在做事中學(xué)習(xí)，做事的過程也就是從做中學(xué)的過程.

例如，講授《直線與圓的位置關(guān)系》新課之前，我讓學(xué)生收集了大量相關(guān)的實(shí)際素材，同時(shí)設(shè)計(jì)了一些適合學(xué)生探究的問題，并嘗試使用幾何畫板制作如下課件以加強(qiáng)視覺感.其中，對(duì)直線與圓相切的理解是學(xué)生的思維難點(diǎn)，也是本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn).

課件的基本操作如下：

（1）如圖3，畫出一個(gè)半徑為r的圓O以及任意一條直線[l]，過點(diǎn)O作直線[l]的垂線，垂足是E.

（2）拖動(dòng)直線[l]上任意一點(diǎn)A、點(diǎn)B或整條直線[l]，改變直線與圓的位置關(guān)系，讓學(xué)生從不同的動(dòng)態(tài)效果多角度地觀察與思考：直線[l]與圓有幾個(gè)交點(diǎn)？同時(shí)跟蹤線段OE的長(zhǎng)度（即圓心O到直線[l]的距離）變化，比較它與半徑r的大小關(guān)系.

實(shí)驗(yàn)操作后，學(xué)生可以總結(jié)變化過程中各種位置關(guān)系的特征：當(dāng)直線[l]與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線與圓相交，且OEr.

又如，《切線長(zhǎng)定理》一節(jié)中，也可以設(shè)置活動(dòng)的圖形探尋過圓外一點(diǎn)切線長(zhǎng)的形成和切線長(zhǎng)定理的有關(guān)內(nèi)容.

為了便于學(xué)生理解和操作，如圖4，假設(shè)圓外一點(diǎn)P，在圓上取一點(diǎn)B，拖動(dòng)B點(diǎn)在圓上搜尋并跟蹤觀察何時(shí)[∠PBO]等于[90°]，結(jié)合此時(shí)[∠PBO]的角度和切線長(zhǎng)定理易知：PB[⊥]OB，另外不難發(fā)現(xiàn)[∠PAO]等于[90°]，PA[⊥]OA，即PA、PB都是圓O經(jīng)過P點(diǎn)的切線.

學(xué)生還可以自主地發(fā)現(xiàn)線段PA、PB的長(zhǎng)度關(guān)系，OP分[∠APB]為相等的兩個(gè)角，即OP是[∠APB]的角平分線.在此猜測(cè)的基礎(chǔ)上，結(jié)合相關(guān)的條件和定理不難證明這些結(jié)論的正確性.

創(chuàng)設(shè)探究型問題，讓學(xué)生動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)、總結(jié)，這種帶著問題的探索是一種模擬數(shù)學(xué)家探尋結(jié)論的類似情境.啟發(fā)學(xué)生像前人那樣，主動(dòng)地觀察，獨(dú)立地研究，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和發(fā)展的奇妙過程.實(shí)踐出真知，讓學(xué)生在實(shí)踐操作中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)的美，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生輕松掌握數(shù)學(xué)知識(shí).

四、利用幾何畫板培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力

幾何畫板除了幫助學(xué)生理解概念，使一些抽象、難懂的定理變得易于掌握外，還能彌補(bǔ)傳統(tǒng)解題中的直觀性、立體感和動(dòng)態(tài)感等方面的缺陷.

例如，求證等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高.

如圖5，等腰三角形ABC中，AB=AC，BC上任意一點(diǎn)D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BH⊥AC于H.求證： DE+DF=BH.該題是八年級(jí)比較典型的一道開放性證明題，難度不大，但很經(jīng)典，證明方法很多.

在幾何畫板中，能生動(dòng)地看到每種變化有可能帶來的突變.

變化一：當(dāng)D點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論就會(huì)發(fā)生變化，即[DE-DF=BH].

變化二：當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到等腰三角形的內(nèi)部設(shè)為點(diǎn)O時(shí)（如圖6），視等腰三角形的形狀而定.（1）當(dāng)三角形是頂角小于[60°]的等腰三角形時(shí)，三段高的和大于腰上的高;（2）當(dāng)三角形是頂角大于[60°]的等腰三角形時(shí)，三段高的和小于腰上的高;（3）當(dāng)三角形是有一個(gè)角為[60°]的等腰三角形，即正三角形時(shí)，就有“正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離的和等于等邊三角形的一條高”的結(jié)論.

變化三：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到等邊三角形的外面時(shí)，結(jié)論形式雖有所不同，但研究道理是相似的.

如圖7，設(shè)點(diǎn)P是等邊三角形外一點(diǎn)，P到三角形ABC三邊AB、AC、BC（或其延長(zhǎng)線）的距離分別為[h1，h2，h3]，三角形ABC的高為h.通過數(shù)據(jù)跟蹤觀察結(jié)合計(jì)算結(jié)果，學(xué)生很容易接受和理解得出的結(jié)論：[h1+h2-h3=h].幾何畫板讓比較難懂的知識(shí)變得易于理解，同時(shí)逐步培養(yǎng)了學(xué)生的抽象概括能力.在經(jīng)歷了自身的動(dòng)手操作后，將無形的知識(shí)通過有形的操作來掌握，將無趣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變?yōu)橛腥さ臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的形成感到親切、自然，進(jìn)而輕松愉快地掌握了知識(shí).

五、利用幾何畫板架設(shè)數(shù)形結(jié)合的橋梁

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，數(shù)與形結(jié)合在一起，內(nèi)容上互相聯(lián)系，方法上互相滲透，并在一定的條件下可以互相轉(zhuǎn)化.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可以使數(shù)與形各展其長(zhǎng)，使邏輯思維與形象思維完美地統(tǒng)一起來.而幾何畫板為我們提供了這樣的平臺(tái).

靜態(tài)的圖形、圖像使原本相互聯(lián)系的知識(shí)割裂開來，失去了知識(shí)之間的內(nèi)部聯(lián)系，會(huì)使學(xué)生只注意事物的局部而忽視整體.幾何畫板能動(dòng)態(tài)地展示問題的特點(diǎn)，可以克服靜態(tài)圖形的缺陷.

例如，九年級(jí)下冊(cè)《相似》一章中，研究三角形內(nèi)接矩形的面積變化規(guī)律的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”.如圖8，在△ABO中，C是OA邊上的任意一點(diǎn)，以C為頂點(diǎn)作△ABO的內(nèi)接矩形CDEF，使矩形的一邊CD在OA上，點(diǎn)C在OA上運(yùn)動(dòng)，矩形CDEF的面積隨之變化.設(shè)OC為x，建立x與矩形面積S間的函數(shù)關(guān)系.讓學(xué)生探究，當(dāng)x變化時(shí)，矩形面積的變化特點(diǎn)及是否有最大值.

通過制圖，設(shè)立關(guān)于x與面積S=FC [×] FE的參數(shù)函數(shù)，然后幾何畫板自動(dòng)顯示當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)I（x，S）（S為矩形面積）的運(yùn)動(dòng)軌跡（其軌跡為開口向下的一段拋物線）.不斷改變△ABC的形狀，研究△ABC的底邊OA或OA邊上的高變化時(shí)，對(duì)拋物線形狀有什么影響.當(dāng)已知OA與OA上高的值時(shí)，我們就可以算出x等于多少時(shí)，矩形CDEF的面積最大.

對(duì)于較復(fù)雜、抽象、需有一定想象能力的問題，教師光用嘴和筆常常說不清楚，借助于幾何畫板強(qiáng)大的圖形、圖像功能，把“數(shù)”與“形”緊緊結(jié)合在一起，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入課堂教學(xué)中，可以活躍課堂氣氛，減輕教學(xué)負(fù)擔(dān)，大大激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和促進(jìn)了學(xué)生認(rèn)知主體作用的有效發(fā)揮.

以上便是我利用“幾何畫板”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的一些嘗試與探索，幾何畫板作為現(xiàn)代信息技術(shù)與教學(xué)整合的一項(xiàng)杰出創(chuàng)作，應(yīng)用幾何畫板可以提高數(shù)學(xué)教學(xué)的直觀性和準(zhǔn)確性，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)方式在直觀感、立體感和動(dòng)態(tài)感等方面的不足，讓學(xué)生更深刻地體會(huì)到數(shù)學(xué)“動(dòng)”的一面，從而達(dá)到改進(jìn)部分章節(jié)教學(xué)方法和手段的目的，更好地提高課堂教學(xué)的有效性.真正體現(xiàn)課堂教學(xué)中學(xué)生的主體地位和教師的主導(dǎo)地位，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和教師的教學(xué)能力有著重要的作用，同時(shí)也對(duì)我國(guó)的素質(zhì)教育起著重要的推進(jìn)作用.

[ ?參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ?]

[1] ?王伍增.新編多媒體課件制作培訓(xùn)教程：計(jì)算機(jī)職業(yè)培訓(xùn)叢書[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2008.

[2] ?中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[3] ?繆亮.幾何畫板輔助數(shù)學(xué)教學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2006.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）