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    一道數(shù)學壓軸題的多解探究

    2019-11-12 07:39周杰華
    中學教學參考·理科版 2019年9期
    關鍵詞:壓軸題導數(shù)函數(shù)

    周杰華

    [摘 ? 要]探究一道壓軸題的多種解法,以喚醒學生的創(chuàng)新意識,激活學生的發(fā)散性思維,提升學生的解題能力.

    [關鍵詞]壓軸題;多解;函數(shù);導數(shù)

    [中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058(2019)26-0005-02

    數(shù)學壓軸題具有典型性、示范性和代表性的特征,通過對其進行一題多解教學,有利于培養(yǎng)學生的直觀想象能力,促使學生思維發(fā)散,提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

    【題目】已知函數(shù)[f(x)=x2+2x+alnx],記[f(x)]的圖像為曲線[C].

    (Ⅰ)當[a=1]時,求曲線[C]在點[(1,f(1))]處的切線方程;

    (Ⅱ)當[a≤4]時,記[f(x)]的導函數(shù)為[g(x)],對任意兩個不相等的正數(shù)[x1,x2],證明:[g(x1)-g(x2)>x1-x2] .

    【多解探究】本題(Ⅰ)比較簡單,當[a=1]時, [f(x)=x2+2x+lnx],求導得[f '(x)=2x-2x2+1x],所以曲線[C]在點[(1,f(1))]處的切線斜率為[f '(1)=1].又由[f(1)=3]知切點坐標為[(1,3)],故所求切線方程為[y-3=x-1],即[x-y+2=0].

    以下著重給出本題(Ⅱ) 的多解探究.

    解法一:由題設得[g(x)=f '(x)=2x-2x2+ax,x>0],所以[g'(x)=2+4x3-ax2] [=2x3-ax+4x3,x>0].

    設函數(shù)[t(x)=2x3-ax+4,x>0],當[a≤0]時,易知[t(x)>0];當[00],所以[t(x)>0.]

    于是,可知當[a≤4]時,[2x3-ax+4>0]在[(0,+∞)]上恒成立,從而可得[g'(x)>0],所以函數(shù)[g(x)]在[(0,+∞)]上單調遞增.

    不妨設[x1x1-x2],即證[g(x2)-g(x1)>x2-x1],即證[g(x2)-x2>g(x1)-x1],亦即證函數(shù)[h(x)=g(x)-x]在[(0,+∞)]上單調遞增.

    求導得[h'(x)=g'(x)-1=x3-ax+4x3,x>0].

    設函數(shù)[m(x)=x3-ax+4,x>0],當[a≤0]時,易知[m(x)>0];當[00],所以[m(x)>0].于是,可知當[a≤4]時, [x3-ax+4>0]在[(0 ,+∞)]上恒成立,從而可得[h'(x)>0],所以函數(shù)[h(x)]在[(0 ,+∞)]上單調遞增.故得證.

    解法二:在解法一的基礎上,僅做兩處改進。

    改進1:證明當[a≤4]時,[2x3-ax+4>0]在[(0,+∞)]上恒成立.

    當[x>0]時,[2x3-ax+4>0]恒成立[?a<2x2+4x]恒成立[?a<2x2+4xmin=6],所以當[a≤4]時,可得[2x3-ax+4>0]在[(0,+∞)]上恒成立.

    改進2:證明當[a≤4]時,[x3-ax+4>0]在[(0,+∞)]上恒成立.

    當[x>0]時,[x3-ax+4>0]恒成立[?a0]在[(0,+∞)]上恒成立.

    解法三:由題設得[g(x)=f '(x)=2x-2x2+ax],所以[g(x1)-g(x2)=2(x1-x2)+2(x21-x22)x21x22+a(x1-x2)x1x2=][(x1-x2)2+2(x1+x2)x21x22-ax1x2.]

    于是,欲證[g(x1)-g(x2)>x1-x2],

    即證[x1-x2?2+2(x1+x2)x21x22-ax1x2>x1-x2],又由[x1≠x2]知[x1-x2>0],所以即證[2+2(x1+x2)x21x22-ax1x2>1].

    接下來,給出兩種不同的證明.

    證法1:由基本不等式及[a≤4]可得[2+2(x1+x2)x21x22-ax1x2≥2+4(x1x2)3-4x1x2] . ①

    設函數(shù)[u(t)=4t3-4t2+2],其中[t=1x1x2>0],則因為[u'(t)=12t2-8t],所以易知當[t∈0,23]時,[u'(t)<0];當[t∈23,+∞]時,[u'(t)>0].于是,函數(shù)[u(t)]在[0,23]上單調遞減,在[23,+∞]上單調遞增,所以[u(t)≥u23=3827>1].

    從而,可得[2+4(x1x2)3-4x1x2>1],進而結合①可知[2+2(x1+x2)x21x22-ax1x2>1],所以[2+2(x1+x2)x21x22-ax1x2 ? ? >1].故得證.

    證法2:由基本不等式可得[x1x2+2(x1+x2)x1x2>x1x2+4x1x2] .②

    設函數(shù)[m(t)=t2+4t],其中[t=x1x2>0],則因為[m(t)=t2+2t+2t≥343>4],所以[x1x2+4x1x2>4].于是,結合②及[a≤4]可得[x1x2+2(x1+x2)x21x22>a],所以兩邊同除以[x1x2]得[1+2(x1+x2)x1x2>ax1x2],所以再移項且兩邊同時加上1可得[2+2(x1+x2)x21x22-ax1x2>1],所以[2+2(x1+x2)x21x22-ax1x2>1].故得證.

    【反思】上述解法一先分析函數(shù)[g(x)]在[(0,+∞)]上的單調性,以便去掉目標不等式中的絕對值,再經(jīng)過適當移項變形可發(fā)現(xiàn)結構特點,有利于構造函數(shù)求解目標問題;解法二改進的證明思路可敘述為:借助不等式恒成立的等價轉化策略(分離參數(shù),等價轉化為求相關函數(shù)的最值),巧妙證明兩個不等式恒成立;解法三先將欲證不等式具體化,有利于等價轉化目標問題,然后給出兩種不同的思路,其關鍵都是將含有[x1+x2]和[x1x2]的混合表達式放縮為只含有[x1x2]的表達式,以便換元、構造函數(shù),利用函數(shù)的單調性或基本不等式進行放縮處理(其中證法1先利用基本不等式對絕對值內部進行適當放縮,再構造函數(shù),利用其單調性加以求解;證法2的書寫過程利用了綜合法,其思路是利用分析法獲得的,這是因為不等式[2+2(x1+x2)x21x22-ax1x2>1][?a

    綜上,思考角度不同,呈現(xiàn)不一樣的解法,真正取得了“教一題,會一類,通一片”的教學效果.

    (責任編輯 黃桂堅)

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