一道考題的解法探討

程雷虎

[摘 ? 要]從不同視角探討一道高中數(shù)學(xué)試題的解法，以開闊學(xué)生視野，提高學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞]考題;解法;高中數(shù)學(xué)

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2019）26-0003-02

有的高中數(shù)學(xué)試題簡潔、靈動，且背景熟悉、設(shè)問通俗、解法多樣.這些考題既考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本能力，又給后續(xù)的高中教學(xué)指明了方向，起到了良好的導(dǎo)向作用，有較大的研究空間和教學(xué)價值，值得我們?nèi)ヌ骄?下面筆者以一道考題為例，從不同視角探討多種思路和解法.

一、試題呈現(xiàn)

題目： 如圖1所示，菱形[ABCD]的邊長為[2，][∠D=60°，]點[H]為[DC]中點，現(xiàn)以線段[AH]為折痕將菱形折起，使得點[D]到達點[P]的位置且平面[PHA⊥平面ABCH，]點[E，F(xiàn)]分別為[AB，AP]的中點.

（2）求平面[PAH]與平面[PBC]所成銳二面角的余弦值.

二、解法探討

在[△ADH]中，運用余弦定理求得

[AH=AD2+DH2-2AD?DHcos60°=3，]符合勾股數(shù)[AH2+DH2=AD2，]有[AH⊥DH，PH⊥AH，]又平面[PHA⊥平面ABCH，]所以[PH⊥平面ABCD.]根據(jù)折疊原理和邊角關(guān)系，很容易求得[PA=2，PH=1，BH=7，PB=22，PC=2].

其實，此題還有如下多種解法.

解法1：垂面向量法

垂面向量法是教材介紹、大家熟知的一種方法，也是容易上手的一種方法.

該方法需要適當建立空間直角坐標系，通過方程組，求出平面[PBC]的法向量[n1]和平面[PAH]的法向量[n2]，即可求解.

如圖2，建立空間直角坐標系，易得

P（0，0，1），B（[3]，2，0），C（0，1，0），所以[PB=（3 ， 2 ，-1）]，[PC=（0，1，-1）]，設(shè)平面[PBC]的法向量為[n1=（x，y，z）]，

由[PB?n1=0，PC?n1=0]得[3x+2y-z=0 ，y-z=0 ，]

得[y=z ，z=-3x .]

取[n1=（1，-3，-3）]，由題意易知平面[PAH]的法向量為[n2=（0，1，0）.]

設(shè)平面[PAH]與平面[PBC]所成銳二面角的平面角為[θ，]故

[cosθ=cos=n1?n2n1?n2=37=217.]

解法2：射影面積法

在大小為銳角[θ]的二面角[α-l-β]中，若[α]內(nèi)面積為[S]的多邊形在[β]內(nèi)的射影面積為[S′，]則[cosθ=S′S].

因為[CH⊥平面PAH，BA⊥平面PAH，]所以[△PBC]在平面[PAH]內(nèi)的射影就是[△PAH.]在[△PBC]中，[cos∠BCP=BC2+PC2-PB22×BC×PC=-122，]所以

[S△PBC=12×2×2×sin∠BCP=72，]

又因為[S△PAH=12×1×3=32，]

易得[cosθ=S△PAHS△PBC=3272=217.]

解法3：定義法

用定義法求二面角的大小，首先要過二面角的棱上某點分別在兩個半平面內(nèi)作出或找到垂直于棱的線段而構(gòu)成二面角的平面角.本題中的平面[PAH]與平面[PBC]的公共棱在圖形中沒有體現(xiàn)出來，這就需要將兩個平面對外延伸，找出公共棱.

如圖3所示，在原圖形中，根據(jù)平面的性質(zhì)，將[AH]，[BC]延長相交于點[M]，連接[PM]，則[PM]為平面[PAH]與平面[PBC]的公共棱.在[△PHM]中，作[HN⊥PM，]垂足為[N，]連接[CN].

在[△PHM]中，易知[HM=AH=3]，[PM=2]，所以[HN=PH?HMPM=32]，[PN=12.]

在[△PCM]中，[cos∠CPM=PM2+PC2-CM22×PM×PC=PN2+PC2-CN22×PN×PC]，代入數(shù)據(jù)求得[CN=72]，所以在[△PCN]中，有[PN2+CN2=PC2，]故[CN⊥PM，]所以[∠HNC]為平面[PAH]與平面[PBC]所成二面角的平面角，故由余弦定理知

[cosθ=HN2+CN2-HC22×HN×CN=322+722-122×32×72=217.]

解法4：垂棱向量法

方法介紹：在兩個平面內(nèi)分別作公共棱的垂線（垂足可以不同），由向量性質(zhì)及二面角的定義知，兩垂線所在向量的夾角即為二面角的大?。▋上蛄康钠瘘c均為各自的垂足）.

如圖4，建立空間直角坐標系，

[H（0，0，0）]，[P（0，0，1）]，[M（-3，0，0）]， [B（3，2，0）] .

[PM]上任意一點的坐標設(shè)為[N（x，y，z）]，不妨設(shè)[PN=λPM]，故有[x=-3λ，]

[y=0，z=1-λ]，所以[N（-3λ，0，1-λ）.]

在平面[PAH]內(nèi)，作[HN1⊥PM，]由[HN1?PM=0，]得[N1H=34，0，-34.]

同理，在平面[PBC]內(nèi)，作[BN2⊥PM.]由[BN2?PM=0，]得[N2B=32，2，-32.]

故[θ==<4N1H，2N2B>，]所以[cosθ=（4N1H）?（2N2B）4N1H?2N2B=217.]

解法5：等體積法

由解法3，如圖3，[HN⊥PM，]則點[H]到平面[PCM]的距離為[HN?sinθ.]

由于[PH⊥平面HMC，]

所以[VP-HMC=13×1×12×1×3=36.]

又因為[S△PMC=12×142×2=72]且[VH-PMC=VP-HMC]，

所以[13×72×HN?sinθ=36，]求得[sinθ=27，]進而有[cosθ=217.]

解法6：公式法

普通高中課程標準實驗教科書人教版數(shù)學(xué)教材選修2-1第三章第二節(jié)的例2指出：如圖5所示，[α?β=l]，[AC?α ，BD?β]，且[AC⊥l]，[BD⊥β]，則二面角[α-l-β]的余弦值為[AC2+BD2+CD2-AB22AC?BD.]

由解法3，如圖6，[HN⊥PM，] [BK⊥PM，]計算得[HN=32]，[BK=7]，[NK=32]，由公式得[cosθ=HN2+NK2+BK2-BH22HN?BK][=217.]

三、教學(xué)建議

1.立足教材素材

本題的素材來源于普通高中課程標準實驗教科書人教版數(shù)學(xué)教材選修2-1的總復(fù)習(xí)題B組第（3）題，與高考命題“源于教材，高于教材”的指導(dǎo)思想一致.問題簡潔易懂，表述通俗，意圖清晰，難易適中，學(xué)生通過所學(xué)知識容易解決.試題立足教材，以教材中的習(xí)題為題源，給學(xué)生以親切感，同時對教師的教和學(xué)生的學(xué)起到很好的導(dǎo)向作用.

2.突出通性通法

本題的解法可謂靈活多樣，可以從空間向量的法向量入手，也可以從空間向量的線向量入手，還可以從幾何圖形的定義入手，或者從教材例題的結(jié)論入手，還可以從體積的角度入手.從不同的視角可以得到解決問題的不同思路.但不同的思路，運算的繁簡程度也不盡相同.在立體幾何的二面角問題解決中，要抓住空間圖形結(jié)構(gòu)，突出通性通法的考查.在解題教學(xué)中，要把通性通法的訓(xùn)練當作重頭戲，要讓學(xué)生獨立思考、嘗試解答，在問題求解中掌握通性通法.

3.提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

本題的解題思想，大多數(shù)學(xué)生都會直接用熟悉的、最直接的向量法，而不是垂面向量法.垂面向量法有時會使得計算量很大，學(xué)生陷于繁雜的運算中不能自拔，運算容易發(fā)生錯誤，導(dǎo)致功虧一簣.另外，垂面向量法的思想是通過兩個平面的法向量來求解二面角的大小，這需要學(xué)生能夠精準地判斷所求得的法向量是“穿進”還是“穿出”，這是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個難點，也是容易出錯的一個地方.基于此，如何引導(dǎo)學(xué)生理解多種解題思路，使學(xué)生養(yǎng)成探究、應(yīng)用的習(xí)慣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，應(yīng)引起教師的高度重視.

（責任編輯 黃桂堅）