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    從“數(shù)”“怎么數(shù)”到“不數(shù)”
    ——“平行四邊形的面積”教學(xué)實(shí)踐

    2019-11-05 02:52:26朱孟迪
    教學(xué)月刊(小學(xué)版) 2019年29期
    關(guān)鍵詞:半格格子長方形

    朱孟迪

    一、“數(shù)”還是“不數(shù)”

    學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積”之前,我們進(jìn)行了前測:給定一個(gè)平行四邊形(底6cm,高4cm,鄰邊5cm),讓學(xué)生想辦法得到這個(gè)平行四邊形的面積,結(jié)果如下:

    調(diào)查情況6×4=24 6×5=30 6×5=30 30×2=60人數(shù)29 15 1 5百分比58%30%2%10%典型方法割補(bǔ)法,沿高畫線,移補(bǔ)成一個(gè)長方形,按照長方形的面積計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算鄰邊相乘,用長方形的面積計(jì)算方法來計(jì)算把平行四邊形分成兩個(gè)三角形,三角形面積未學(xué),計(jì)算錯(cuò)誤完全沒有頭緒

    前測表明,58%的學(xué)生已經(jīng)知道了“平行四邊形的面積是底乘高”,在追問“為什么是底乘高”的道理時(shí),50%的學(xué)生已然能用“拼剪成長方形”加以思考。這讓我們聚焦這樣一個(gè)核心問題:平行四邊形面積的教學(xué)要不要進(jìn)行“數(shù)”單位面積的活動(dòng)?為什么?

    支持“數(shù)”的教師認(rèn)為:(1)教材中安排了“數(shù)”單位面積;(2)“數(shù)”是求一個(gè)平面圖形面積的基本方法;(3)雖然有一半多的學(xué)生已經(jīng)知道平行四邊形面積的探索,但還有一半左右的學(xué)生不明就理,需要利用課堂活動(dòng)習(xí)得。

    支持“不數(shù)”的教師認(rèn)為:(1)本課的重點(diǎn)并非“數(shù)”單位面積,而是“轉(zhuǎn)化”,因此要把更多的時(shí)間集中在“轉(zhuǎn)化”上;(2)前測數(shù)據(jù)表明,學(xué)生有足夠的經(jīng)驗(yàn)自主習(xí)得平行四邊形的面積了,再回到“數(shù)”,是舍本逐末。(3)基于學(xué)情,如果學(xué)生想到了“數(shù)”就呈現(xiàn),如果學(xué)生沒有想到“數(shù)”就不呈現(xiàn)。

    二、“怎么數(shù)”

    (一)“怎么數(shù)”單位面積

    貼合學(xué)情,找準(zhǔn)起點(diǎn),我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在三年級(jí)下學(xué)期已經(jīng)充分積累了“整格”單位面積“數(shù)”的經(jīng)驗(yàn),能借助數(shù)單位面積探索長方形的面積公式;根據(jù)長和寬邊上的單位面積的數(shù)量推算長方形的面積(包括變式),甚至對半格的單位面積數(shù)法也已涉及(見圖1)。

    圖1

    學(xué)生會(huì)如何去“數(shù)”平行四邊形的面積呢?

    (1)先整再零。先數(shù)“整格”的單位面積,再數(shù)“不滿整格”的,把不滿整格的當(dāng)作半格來數(shù)。20個(gè)整格,8個(gè)半格,共24平方厘米(見圖2,下同)。

    (2)移成整格。將不滿整格的“小三角形”想象平移(或旋轉(zhuǎn)),變成整格再數(shù),每行都是6個(gè)面積單位,有4行(或上面兩行各5個(gè)單位面積,下面兩行各7個(gè)單位面積),共24平方厘米。

    (3)移成長方形。將一部分三角形(或梯形)想象著平移,變成長為6厘米、寬為4厘米的一個(gè)長方形,得到面積為24平方厘米。

    圖2

    (二)“怎么數(shù)”的思維意蘊(yùn)

    在用數(shù)單位面積解決平行四邊形面積這個(gè)新問題的時(shí)候,學(xué)生要聚焦一個(gè)核心問題——不滿整格的該怎么“數(shù)”。我們分析第一種數(shù)法是承接源經(jīng)驗(yàn),緊緊依托“整格”單位面積“數(shù)”的經(jīng)驗(yàn),并將“不滿整格的按半格來數(shù)”;第二種數(shù)法是承接過程經(jīng)驗(yàn),借助“平移或旋轉(zhuǎn)”的經(jīng)驗(yàn),將“不滿整格的”變換成整格的來解決;第三種數(shù)法是將經(jīng)驗(yàn)上升為想象,通過想象平移,將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形來解決。經(jīng)統(tǒng)計(jì),我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生較喜歡后兩種方法,尤其是轉(zhuǎn)化成長方形,深入人心。

    學(xué)生為什么喜歡后兩種方法?主要原因有二:一是轉(zhuǎn)化思想的前經(jīng)驗(yàn)與潛能力。皮亞杰說過,7歲兒童就已經(jīng)具備了面積守恒觀念。在教學(xué)中,學(xué)生已經(jīng)多次接觸類似的經(jīng)驗(yàn)(見圖3)。二是思維發(fā)展的必然。小學(xué)生逐步從“具體形象”思維逐步向“抽象邏輯”思維發(fā)展,他們更樂于用“優(yōu)化”來思維。與一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)相比,整體平移變成長方形更容易數(shù)。在“數(shù)”的過程中,有新的方法出現(xiàn),最終走向“不數(shù)”。

    圖3

    三、“不數(shù)”

    (一)“不數(shù)”是目的

    不數(shù),是基于建立“面積計(jì)算”的模型。在長方形面積計(jì)算公式的探索中,學(xué)生借助“數(shù)單位面積”,通過若干個(gè)不同的長方形,利用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)長方形的面積可以用“乘法”進(jìn)行計(jì)算,進(jìn)而得到面積計(jì)算公式。在這個(gè)過程中,數(shù)單位面積的意義就在于從“數(shù)”走向“不數(shù)”。

    本課的一個(gè)重要的過程性目標(biāo),就是讓學(xué)生體會(huì)到平行四邊形可以通過圖形轉(zhuǎn)化得到其面積計(jì)算公式,其中平行四邊形的“數(shù)”與長方形的“數(shù)”異曲同工,有助于學(xué)生建立平行四邊形的面積計(jì)算模型。而且使學(xué)生明白,只要能將未知面積計(jì)算公式的圖形轉(zhuǎn)化成已知面積計(jì)算公式的圖形,就能求出其面積。如此一來,為今后求三角形、梯形等圖形的面積提供了策略與方法。

    (二)“怎么數(shù)”是“數(shù)”與“不數(shù)”的橋梁

    綜上分析可知,本課的教學(xué)要溝通“數(shù)”與“不數(shù)”。數(shù),只是一個(gè)引子;不數(shù),才是最終目的?!皵?shù)單位面積”對于平行四邊形的面積來講,已經(jīng)不再是重要經(jīng)驗(yàn)了。本課的“數(shù)”是要在“怎么數(shù)”中升華出“轉(zhuǎn)化”的思想,是轉(zhuǎn)化思想的“元認(rèn)知”。

    基于以上的認(rèn)識(shí),我們進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐。

    四、教學(xué)實(shí)踐——從“數(shù)”向“不數(shù)”的跨越

    教學(xué),需要準(zhǔn)確掌握知識(shí)的“邏輯起點(diǎn)”和學(xué)生的“現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)”,優(yōu)化學(xué)生的“學(xué)習(xí)之路”,最終達(dá)到高效課堂的目的。

    (一)基于學(xué)情,引發(fā)“數(shù)”的需要

    前測表明,學(xué)生對平行四邊形的面積已經(jīng)有了一定的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。無論是學(xué)生頭腦中“數(shù)”的經(jīng)驗(yàn),還是“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗(yàn),都是非常重要的資源。為了與學(xué)生的“元經(jīng)驗(yàn)”接軌,我們讓“數(shù)”自然顯現(xiàn)。

    【片段一】

    師:今天我們要研究平行四邊形,確定這個(gè)平行四邊形的面積,你想知道什么信息?(出示一個(gè)無數(shù)據(jù)的平行四邊形)

    生:我想知道它的底和高。

    生:我想知道每條邊的長度。

    師:好吧。(出示數(shù)據(jù),見圖4)現(xiàn)在你知道它的面積是多少嗎?

    圖4

    生:24平方厘米。

    生:30平方厘米。

    師:有同學(xué)猜測是24平方厘米,也有同學(xué)猜測是30平方厘米。到底是多少呢?讓我們一起來研究研究。請你靜靜地想一想,確定一個(gè)平面圖形的面積,我們以前有過這樣的經(jīng)驗(yàn)嗎?你想到了什么?

    生:我們以前學(xué)習(xí)長方形的時(shí)候用到了數(shù)格子的方法。

    師:是的,那么這個(gè)平行四邊形是不是也可以用數(shù)格子的方法來確定面積呢?

    生:可以。

    教學(xué)中,教師充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的現(xiàn)有起點(diǎn)和心理需求,引導(dǎo)學(xué)生先猜測后驗(yàn)證。面對一個(gè)新圖形,教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用以前學(xué)習(xí)長方形面積的經(jīng)驗(yàn),“數(shù)單位面積”自然浮出水面。

    (二)貼合學(xué)情,探究“怎么數(shù)”

    【片段二】

    師:下面,讓我們來聽聽同學(xué)們的想法。

    生:我是先數(shù)整格的,再數(shù)半格的,最后加起來,是24平方厘米。

    生:我是把平行四邊形的這個(gè)部分割下來,然后填補(bǔ)到這里,就變成了一個(gè)長方形,長方形的面積就是長×寬。

    師:同學(xué)們請看,跟長方形相比,“數(shù)”平行四邊形面積的困難是什么?

    生:有半格。

    師:以前,我們是沒有這個(gè)經(jīng)驗(yàn)的,今天,我們是怎么解決的?

    生:把半格的跟半格的拼起來,變成一格。

    生:我們可以一個(gè)個(gè)去拼,也可以把整部分(用手比畫)切下來拼成一個(gè)長方形,這樣就很容易數(shù)出來了。

    師:既然如此,數(shù)格子幫了我們這么大的忙,那么,用這個(gè)方法應(yīng)該可以快速地說出下面這些平行四邊形面積吧(見圖5)。來,試試看。

    圖5

    (第3幅學(xué)生無法口答)

    師:看來,“數(shù)格子”并不是萬能的。那么,還有別的方法可以得到平行四邊形的面積嗎?

    生:我們可以把左邊的小三角形剪下來,拼到右邊變成長方形,得到了長方形的面積也就得到了平行四邊形的面積。

    師:你是怎么想到的?

    生:我是通過剛才數(shù)格子得到的啟發(fā)。

    數(shù)單位面積的方法有局限性,但“數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)孕育了“剪拼轉(zhuǎn)化”的方法。至此,學(xué)生思維的脈絡(luò)體現(xiàn)得淋漓盡致。

    (三)回顧總結(jié),執(zhí)果索源

    如果從平行四邊形的面積公式推導(dǎo)的角度來教學(xué),當(dāng)然要用到“剪拼法”,但會(huì)顯得比較突兀,而從學(xué)生“面積經(jīng)驗(yàn)?zāi)P汀背霭l(fā),數(shù)單位面積起到了承前啟后的作用。

    【片段三】

    遇到一個(gè)新問題,學(xué)生提出猜想,有人猜可能是6乘5,有人猜可能是6乘4,怎么辦呢?我們想到了以前學(xué)習(xí)長方形面積的經(jīng)驗(yàn)——數(shù)格子。我們嘗試了幾個(gè)平行四邊形,借助數(shù)格子的方法確實(shí)能得到許多平行四邊形的面積,但后來出現(xiàn)了這樣的一個(gè)平行四邊形,就數(shù)不了。怎么辦呢?有學(xué)生借助數(shù)格子的經(jīng)驗(yàn)想到了“剪拼法”,平行四邊形都可以“轉(zhuǎn)化”成長方形,這樣一來,知道了長方形的面積也就知道平行四邊形的面積。觀察剪拼前后,我們發(fā)現(xiàn)——平行四邊形的底與長方形的長相等,平行四邊形的高與長方形的寬相等,因?yàn)殚L方形的面積是長乘寬,所以平行四邊形的面積就是底乘高,以流暢的思維,完成了從“數(shù)”向“不數(shù)”的跨越(見圖6)。

    圖6

    課尾,教師帶領(lǐng)學(xué)生回望學(xué)習(xí)歷程,建構(gòu)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)框架。在“面積探究”中,由“數(shù)單位面積”引發(fā)了“剪拼法”的發(fā)現(xiàn),達(dá)到了“不數(shù)”的目的,體現(xiàn)了數(shù)單位面積的價(jià)值。

    在平行四邊形面積的教學(xué)中,“數(shù)”或“不數(shù)”僅僅是一種手段,教師真正應(yīng)該關(guān)注的是其背后的“思維進(jìn)程”,基于學(xué)生“數(shù)”的源經(jīng)驗(yàn),然后跳出“數(shù)”,形成“不數(shù)”的新經(jīng)驗(yàn)(轉(zhuǎn)化)。

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