從“數(shù)”“怎么數(shù)”到“不數(shù)”
——“平行四邊形的面積”教學(xué)實(shí)踐

朱孟迪

一、“數(shù)”還是“不數(shù)”

學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積”之前，我們進(jìn)行了前測：給定一個(gè)平行四邊形（底6cm，高4cm，鄰邊5cm）,讓學(xué)生想辦法得到這個(gè)平行四邊形的面積，結(jié)果如下：

調(diào)查情況6×4=24 6×5=30 6×5=30 30×2=60人數(shù)29 15 1 5百分比58%30%2%10%典型方法割補(bǔ)法，沿高畫線，移補(bǔ)成一個(gè)長方形，按照長方形的面積計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算鄰邊相乘，用長方形的面積計(jì)算方法來計(jì)算把平行四邊形分成兩個(gè)三角形，三角形面積未學(xué)，計(jì)算錯(cuò)誤完全沒有頭緒

前測表明，58%的學(xué)生已經(jīng)知道了“平行四邊形的面積是底乘高”，在追問“為什么是底乘高”的道理時(shí)，50%的學(xué)生已然能用“拼剪成長方形”加以思考。這讓我們聚焦這樣一個(gè)核心問題：平行四邊形面積的教學(xué)要不要進(jìn)行“數(shù)”單位面積的活動(dòng)？為什么？

支持“數(shù)”的教師認(rèn)為：（1）教材中安排了“數(shù)”單位面積；（2）“數(shù)”是求一個(gè)平面圖形面積的基本方法；（3）雖然有一半多的學(xué)生已經(jīng)知道平行四邊形面積的探索，但還有一半左右的學(xué)生不明就理，需要利用課堂活動(dòng)習(xí)得。

支持“不數(shù)”的教師認(rèn)為：（1）本課的重點(diǎn)并非“數(shù)”單位面積，而是“轉(zhuǎn)化”，因此要把更多的時(shí)間集中在“轉(zhuǎn)化”上；（2）前測數(shù)據(jù)表明，學(xué)生有足夠的經(jīng)驗(yàn)自主習(xí)得平行四邊形的面積了，再回到“數(shù)”，是舍本逐末。（3）基于學(xué)情，如果學(xué)生想到了“數(shù)”就呈現(xiàn)，如果學(xué)生沒有想到“數(shù)”就不呈現(xiàn)。

二、“怎么數(shù)”

（一）“怎么數(shù)”單位面積

貼合學(xué)情，找準(zhǔn)起點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在三年級(jí)下學(xué)期已經(jīng)充分積累了“整格”單位面積“數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)，能借助數(shù)單位面積探索長方形的面積公式；根據(jù)長和寬邊上的單位面積的數(shù)量推算長方形的面積（包括變式），甚至對半格的單位面積數(shù)法也已涉及（見圖1）。

圖1

學(xué)生會(huì)如何去“數(shù)”平行四邊形的面積呢？

（1）先整再零。先數(shù)“整格”的單位面積，再數(shù)“不滿整格”的，把不滿整格的當(dāng)作半格來數(shù)。20個(gè)整格，8個(gè)半格，共24平方厘米（見圖2，下同）。

（2）移成整格。將不滿整格的“小三角形”想象平移（或旋轉(zhuǎn)），變成整格再數(shù)，每行都是6個(gè)面積單位，有4行（或上面兩行各5個(gè)單位面積，下面兩行各7個(gè)單位面積），共24平方厘米。

（3）移成長方形。將一部分三角形（或梯形）想象著平移，變成長為6厘米、寬為4厘米的一個(gè)長方形，得到面積為24平方厘米。

圖2

（二）“怎么數(shù)”的思維意蘊(yùn)

在用數(shù)單位面積解決平行四邊形面積這個(gè)新問題的時(shí)候，學(xué)生要聚焦一個(gè)核心問題——不滿整格的該怎么“數(shù)”。我們分析第一種數(shù)法是承接源經(jīng)驗(yàn)，緊緊依托“整格”單位面積“數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)，并將“不滿整格的按半格來數(shù)”；第二種數(shù)法是承接過程經(jīng)驗(yàn)，借助“平移或旋轉(zhuǎn)”的經(jīng)驗(yàn)，將“不滿整格的”變換成整格的來解決；第三種數(shù)法是將經(jīng)驗(yàn)上升為想象，通過想象平移，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形來解決。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生較喜歡后兩種方法，尤其是轉(zhuǎn)化成長方形，深入人心。

學(xué)生為什么喜歡后兩種方法？主要原因有二：一是轉(zhuǎn)化思想的前經(jīng)驗(yàn)與潛能力。皮亞杰說過，7歲兒童就已經(jīng)具備了面積守恒觀念。在教學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)多次接觸類似的經(jīng)驗(yàn)（見圖3）。二是思維發(fā)展的必然。小學(xué)生逐步從“具體形象”思維逐步向“抽象邏輯”思維發(fā)展，他們更樂于用“優(yōu)化”來思維。與一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)相比，整體平移變成長方形更容易數(shù)。在“數(shù)”的過程中，有新的方法出現(xiàn)，最終走向“不數(shù)”。

圖3

三、“不數(shù)”

（一）“不數(shù)”是目的

不數(shù)，是基于建立“面積計(jì)算”的模型。在長方形面積計(jì)算公式的探索中，學(xué)生借助“數(shù)單位面積”，通過若干個(gè)不同的長方形，利用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)長方形的面積可以用“乘法”進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而得到面積計(jì)算公式。在這個(gè)過程中，數(shù)單位面積的意義就在于從“數(shù)”走向“不數(shù)”。

本課的一個(gè)重要的過程性目標(biāo)，就是讓學(xué)生體會(huì)到平行四邊形可以通過圖形轉(zhuǎn)化得到其面積計(jì)算公式，其中平行四邊形的“數(shù)”與長方形的“數(shù)”異曲同工，有助于學(xué)生建立平行四邊形的面積計(jì)算模型。而且使學(xué)生明白，只要能將未知面積計(jì)算公式的圖形轉(zhuǎn)化成已知面積計(jì)算公式的圖形，就能求出其面積。如此一來，為今后求三角形、梯形等圖形的面積提供了策略與方法。

（二）“怎么數(shù)”是“數(shù)”與“不數(shù)”的橋梁

綜上分析可知，本課的教學(xué)要溝通“數(shù)”與“不數(shù)”。數(shù)，只是一個(gè)引子；不數(shù)，才是最終目的?！皵?shù)單位面積”對于平行四邊形的面積來講，已經(jīng)不再是重要經(jīng)驗(yàn)了。本課的“數(shù)”是要在“怎么數(shù)”中升華出“轉(zhuǎn)化”的思想，是轉(zhuǎn)化思想的“元認(rèn)知”。

基于以上的認(rèn)識(shí)，我們進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐。

四、教學(xué)實(shí)踐——從“數(shù)”向“不數(shù)”的跨越

教學(xué)，需要準(zhǔn)確掌握知識(shí)的“邏輯起點(diǎn)”和學(xué)生的“現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)”，優(yōu)化學(xué)生的“學(xué)習(xí)之路”，最終達(dá)到高效課堂的目的。

（一）基于學(xué)情，引發(fā)“數(shù)”的需要

前測表明，學(xué)生對平行四邊形的面積已經(jīng)有了一定的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。無論是學(xué)生頭腦中“數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)，還是“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗(yàn)，都是非常重要的資源。為了與學(xué)生的“元經(jīng)驗(yàn)”接軌，我們讓“數(shù)”自然顯現(xiàn)。

【片段一】

師：今天我們要研究平行四邊形，確定這個(gè)平行四邊形的面積，你想知道什么信息？（出示一個(gè)無數(shù)據(jù)的平行四邊形）

生：我想知道它的底和高。

生：我想知道每條邊的長度。

師：好吧。（出示數(shù)據(jù)，見圖4）現(xiàn)在你知道它的面積是多少嗎？

圖4

生：24平方厘米。

生：30平方厘米。

師：有同學(xué)猜測是24平方厘米，也有同學(xué)猜測是30平方厘米。到底是多少呢？讓我們一起來研究研究。請你靜靜地想一想，確定一個(gè)平面圖形的面積，我們以前有過這樣的經(jīng)驗(yàn)嗎？你想到了什么？

生：我們以前學(xué)習(xí)長方形的時(shí)候用到了數(shù)格子的方法。

師：是的，那么這個(gè)平行四邊形是不是也可以用數(shù)格子的方法來確定面積呢？

生：可以。

教學(xué)中，教師充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的現(xiàn)有起點(diǎn)和心理需求，引導(dǎo)學(xué)生先猜測后驗(yàn)證。面對一個(gè)新圖形，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用以前學(xué)習(xí)長方形面積的經(jīng)驗(yàn)，“數(shù)單位面積”自然浮出水面。

（二）貼合學(xué)情，探究“怎么數(shù)”

【片段二】

師：下面，讓我們來聽聽同學(xué)們的想法。

生：我是先數(shù)整格的，再數(shù)半格的，最后加起來，是24平方厘米。

生：我是把平行四邊形的這個(gè)部分割下來，然后填補(bǔ)到這里，就變成了一個(gè)長方形，長方形的面積就是長×寬。

師：同學(xué)們請看，跟長方形相比，“數(shù)”平行四邊形面積的困難是什么？

生：有半格。

師：以前，我們是沒有這個(gè)經(jīng)驗(yàn)的，今天，我們是怎么解決的？

生：把半格的跟半格的拼起來，變成一格。

生：我們可以一個(gè)個(gè)去拼，也可以把整部分（用手比畫）切下來拼成一個(gè)長方形，這樣就很容易數(shù)出來了。

師：既然如此，數(shù)格子幫了我們這么大的忙，那么，用這個(gè)方法應(yīng)該可以快速地說出下面這些平行四邊形面積吧（見圖5）。來，試試看。

圖5

（第3幅學(xué)生無法口答）

師：看來，“數(shù)格子”并不是萬能的。那么，還有別的方法可以得到平行四邊形的面積嗎？

生：我們可以把左邊的小三角形剪下來，拼到右邊變成長方形，得到了長方形的面積也就得到了平行四邊形的面積。

師：你是怎么想到的？

生：我是通過剛才數(shù)格子得到的啟發(fā)。

數(shù)單位面積的方法有局限性，但“數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)孕育了“剪拼轉(zhuǎn)化”的方法。至此，學(xué)生思維的脈絡(luò)體現(xiàn)得淋漓盡致。

（三）回顧總結(jié)，執(zhí)果索源

如果從平行四邊形的面積公式推導(dǎo)的角度來教學(xué)，當(dāng)然要用到“剪拼法”，但會(huì)顯得比較突兀，而從學(xué)生“面積經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀背霭l(fā)，數(shù)單位面積起到了承前啟后的作用。

【片段三】

遇到一個(gè)新問題，學(xué)生提出猜想，有人猜可能是6乘5，有人猜可能是6乘4，怎么辦呢？我們想到了以前學(xué)習(xí)長方形面積的經(jīng)驗(yàn)——數(shù)格子。我們嘗試了幾個(gè)平行四邊形，借助數(shù)格子的方法確實(shí)能得到許多平行四邊形的面積，但后來出現(xiàn)了這樣的一個(gè)平行四邊形，就數(shù)不了。怎么辦呢？有學(xué)生借助數(shù)格子的經(jīng)驗(yàn)想到了“剪拼法”，平行四邊形都可以“轉(zhuǎn)化”成長方形，這樣一來，知道了長方形的面積也就知道平行四邊形的面積。觀察剪拼前后，我們發(fā)現(xiàn)——平行四邊形的底與長方形的長相等，平行四邊形的高與長方形的寬相等，因?yàn)殚L方形的面積是長乘寬，所以平行四邊形的面積就是底乘高，以流暢的思維，完成了從“數(shù)”向“不數(shù)”的跨越（見圖6）。

圖6

課尾，教師帶領(lǐng)學(xué)生回望學(xué)習(xí)歷程，建構(gòu)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)框架。在“面積探究”中，由“數(shù)單位面積”引發(fā)了“剪拼法”的發(fā)現(xiàn)，達(dá)到了“不數(shù)”的目的，體現(xiàn)了數(shù)單位面積的價(jià)值。

在平行四邊形面積的教學(xué)中，“數(shù)”或“不數(shù)”僅僅是一種手段，教師真正應(yīng)該關(guān)注的是其背后的“思維進(jìn)程”，基于學(xué)生“數(shù)”的源經(jīng)驗(yàn)，然后跳出“數(shù)”，形成“不數(shù)”的新經(jīng)驗(yàn)（轉(zhuǎn)化）。