為什么除法豎式不一樣*
——兼談豎式的記錄功能及不同形式

章勤瓊 唐 娟

筆算與豎式一直是小學(xué)數(shù)學(xué)的必學(xué)內(nèi)容，有人認(rèn)為，應(yīng)該特別強(qiáng)調(diào)筆算方法及其規(guī)范性，因?yàn)楣P算不僅是運(yùn)算的書面記錄，與運(yùn)算的過(guò)程也是對(duì)應(yīng)的，可以間接看成是運(yùn)算法則的直觀化。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，筆算的重要地位取決于它的“精致性”和“嚴(yán)密性”。但也有人認(rèn)為，“過(guò)去，對(duì)傳統(tǒng)的筆算方法的精通程度一直是衡量學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)掌握程度的標(biāo)準(zhǔn)，這樣的觀點(diǎn)現(xiàn)在再也站不住腳了。事實(shí)上，對(duì)脫離具體情境的傳統(tǒng)筆算方法進(jìn)行過(guò)度訓(xùn)練反而會(huì)阻礙學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中整體目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)?！盵1]

在加減乘除四則運(yùn)算的豎式中，除法豎式在形式上與其他豎式運(yùn)算不同，對(duì)很多小學(xué)生來(lái)說(shuō)，掌握起來(lái)并不容易。不少學(xué)生最早接觸除法豎式時(shí)，并不理解除法豎式每一步所代表的意義，甚至可能會(huì)出現(xiàn)如圖1這樣錯(cuò)誤遷移的例子。

圖1

那么，跟除法豎式相關(guān)的數(shù)學(xué)概念有哪些，該如何幫助學(xué)生理解并掌握除法豎式呢？我們應(yīng)該對(duì)其相關(guān)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行梳理，進(jìn)而對(duì)教學(xué)有進(jìn)一步的思考。

一、除法豎式與計(jì)算過(guò)程的對(duì)應(yīng)

筆算是常用的計(jì)算方法之一，指的是用筆書寫演算過(guò)程的計(jì)算方法。筆算要求寫出豎式，計(jì)算時(shí)有嚴(yán)格、固定的順序，有明確的計(jì)算法則。[2]豎式是筆算的一種書寫方式，可作為橫式的說(shuō)明或補(bǔ)充。[3]在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒有給出豎式的明確定義，但是在學(xué)習(xí)加法、減法、乘法、除法的筆算時(shí)，都出現(xiàn)了豎式，并且要求學(xué)生會(huì)用豎式進(jìn)行計(jì)算。[4]

由此可以看出，豎式作為筆算的形式，其主要功能是記錄計(jì)算的過(guò)程。以豎式記錄的形式，要求有既定的格式，一般會(huì)將豎式計(jì)算的方法稱作“標(biāo)準(zhǔn)算法”。但需要注意的是，“標(biāo)準(zhǔn)算法”并不是唯一的計(jì)算方式，在很多時(shí)候，學(xué)生自主使用的計(jì)算策略與標(biāo)準(zhǔn)算法并不一致。

首先，學(xué)生自主創(chuàng)造的計(jì)算策略通常是將要計(jì)算的數(shù)作為整體來(lái)處理的，而標(biāo)準(zhǔn)算法則是基于每一數(shù)位上的數(shù)字（0-9）進(jìn)行計(jì)算。如在計(jì)算45+32時(shí)，對(duì)于十位上的計(jì)算，學(xué)生的自主計(jì)算策略會(huì)以“40+30”來(lái)代替“4+3”，而標(biāo)準(zhǔn)算法則是在十位上計(jì)算“4+3”。再如在計(jì)算618-254時(shí)，學(xué)生的自主計(jì)算策略可能是從600-200=400開始，另外一種可能的方法是將減254看成先減300，再加上46。無(wú)論哪種方法，都是把參與運(yùn)算的數(shù)當(dāng)作完整的數(shù)來(lái)看，而不是作為某一數(shù)位上的數(shù)字來(lái)考慮。

其次，學(xué)生自主創(chuàng)造的計(jì)算策略通常是從數(shù)的最高位開始的。比如在計(jì)算263+126的時(shí)候，一般都會(huì)從計(jì)算200+100=300開始。然而，標(biāo)準(zhǔn)的算法要從右邊算起，先從計(jì)算“3+6=9”開始，需要遵循從最低位開始算的原理。只有除法的標(biāo)準(zhǔn)算法除外。

再次，標(biāo)準(zhǔn)算法一般會(huì)強(qiáng)調(diào)“一種正確的方法”，而學(xué)生自主創(chuàng)造的計(jì)算策略會(huì)具有更多的選擇。因?yàn)樽灾鲃?chuàng)造的計(jì)算策略是依賴于具體數(shù)字的，因此學(xué)生可以根據(jù)不同的情況有更多的選擇。譬如在計(jì)算465+230和526+98時(shí)，多數(shù)學(xué)生會(huì)使用不同的策略或方法。然而，標(biāo)準(zhǔn)算法則要求能用同樣的工具和方法解決所有問(wèn)題。[5]

從上面的論述可以看出，除法豎式作為唯一一種從最高位開始計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)筆算方法，與學(xué)生常用的自主計(jì)算策略順序相同。然而，我們?cè)诮虒W(xué)除法豎式時(shí)，往往會(huì)從形式上有更多要求。比如當(dāng)出示豎式4)583時(shí)，要求先從百位除起，用“5”除以4之后從“5”里減去1個(gè)4，剩下來(lái)的“1”再和掉下來(lái)的8一起組成18，繼續(xù)除以4。這樣的過(guò)程，對(duì)于很多學(xué)生來(lái)說(shuō)并不容易理解，比如為什么可以直接忽略“83”而用“5”去除？

因此，在面對(duì)這個(gè)問(wèn)題時(shí)，我們希望學(xué)生能將583理解成5個(gè)百、8個(gè)十和3個(gè)一。而不只是三個(gè)數(shù)位上的不同數(shù)字5、8和3。其中一種常用的方法是可以使用學(xué)生熟悉的情境，如10條能量棒可以捆成1盒，而10盒又可以裝成1箱?？梢越o出這樣一個(gè)問(wèn)題：有5箱、8盒以及3條能量棒，現(xiàn)在需要平均分給4個(gè)學(xué)校，每個(gè)學(xué)?？梢苑值蕉嗌贄l能量棒？在這樣一個(gè)情境中，學(xué)生容易理解，要先對(duì)能量棒以箱為單位進(jìn)行平分直到不能再分，再將剩下的箱子拆開，與原有的盒子一起，以盒為單位進(jìn)行平分，同樣分到不能再分以后，再拆開和條合在一起，再以條為單位進(jìn)行平分。[6]

除法的本質(zhì)是不斷地對(duì)不同單位的總數(shù)進(jìn)行平分的過(guò)程，分了之后對(duì)剩余的進(jìn)行轉(zhuǎn)化，與下面的單位進(jìn)行合并以后再重復(fù)這樣的過(guò)程。這也解釋了為什么除法豎式要和其他三種豎式的計(jì)算形式不一樣，因?yàn)榧臃?、減法和乘法都只涉及參與計(jì)算的兩個(gè)數(shù)以及運(yùn)算結(jié)果，但除法卻還要涉及余數(shù)以及對(duì)余數(shù)的轉(zhuǎn)化處理，因此必須要采取這種可以連續(xù)進(jìn)行記錄的方式。除法的計(jì)算過(guò)程其實(shí)就是要回答這么幾個(gè)問(wèn)題：分誰(shuí)？分多少份？每份分多少？已分出去了多少？還余下多少？余下的怎么辦？[7]為了回答這幾個(gè)問(wèn)題，在記錄除法的計(jì)算過(guò)程中，需要包含4個(gè)關(guān)鍵的步驟：第一，平分并記錄下每組獲得的數(shù)量；第二，記錄下已經(jīng)分掉的數(shù)量的總和，這里的數(shù)量需要通過(guò)乘法來(lái)計(jì)算得出；第三，記錄下還剩余部分的數(shù)量，這里需要通過(guò)減法來(lái)獲得這個(gè)數(shù)量；第四，將剩余的部分繼續(xù)轉(zhuǎn)化為較小的單位，并與已有的較小單位進(jìn)行合并，在下一欄記錄下新的數(shù)量總和。[8]

這是除法意義的本質(zhì)，也是在除法豎式中需要反映出來(lái)的過(guò)程。

二、除法豎式的不同形式

筆算除法的形式并不只有我們現(xiàn)在熟悉的這一種樣子，歷史上出現(xiàn)過(guò)許多現(xiàn)在看起來(lái)極其煩瑣的計(jì)算方法。[9]中世紀(jì)歐洲流行的除法和現(xiàn)在就大不相同。其中，較通用的一種方法稱為“帆船除法”或“勾畫除法”。其算法是先將被除數(shù)與除數(shù)寫下來(lái)，然后進(jìn)行演算。在演算過(guò)程中隨時(shí)將已處理完的數(shù)勾畫掉。演算完畢，在沙盤或紙上留下一行又一行已劃掉的數(shù)，好像一只帆船。以106704÷456為例，“帆船除法”的算法如圖2所示，這種方法在歐洲盛行了300年以上。[10]

圖2

“帆船除法”的記錄過(guò)程過(guò)于復(fù)雜，早已被淘汰?，F(xiàn)在我們經(jīng)常使用的除法豎式記錄方法稱為“長(zhǎng)除法”，但長(zhǎng)除法也并不是只有一種形式。如圖3所示的記錄方法，并沒有要求每一步都按照數(shù)位對(duì)齊一步除到位，而是分步驟來(lái)除。事實(shí)上，這與前面提到的記錄除法過(guò)程的四個(gè)步驟是一致的。

圖3

事實(shí)上，標(biāo)準(zhǔn)的除法豎式也并非一定要采用一成不變的形式?？紤]到除法豎式在形式上對(duì)不少學(xué)生來(lái)說(shuō)存在困難，Van De Walle提出了另外一種稱作“明確轉(zhuǎn)化法（Explicit-Trade Method）”的除法豎式。如圖4，跟標(biāo)準(zhǔn)算法的每一步“掉下來(lái)”的方法相比，“明確轉(zhuǎn)化法”將每一步除不完的部分都先劃去，經(jīng)過(guò)“轉(zhuǎn)化”以后再和下一個(gè)單位合在一起繼續(xù)除，這個(gè)過(guò)程就和前面提到的那個(gè)能量棒的情境相通。相比而言，像這樣的“明確轉(zhuǎn)化法”對(duì)學(xué)生而言更容易理解。[11]

圖4

如圖5所示，與左邊的標(biāo)準(zhǔn)豎式相比，通過(guò)“明確轉(zhuǎn)化法”可以幫助學(xué)生更好地建立豎式與模型的聯(lián)系，適當(dāng)減輕他們的認(rèn)知負(fù)荷，而在數(shù)位之間加上間隔的豎線，可以幫助他們更好地避免數(shù)位對(duì)不齊帶來(lái)的錯(cuò)誤，尤其是當(dāng)商的中間數(shù)位上出現(xiàn)0的時(shí)候。

圖5

還有一點(diǎn)需要特別指出的是，圖5中，不論是標(biāo)準(zhǔn)豎式還是“明確轉(zhuǎn)化法”，在試商的時(shí)候都采取將除數(shù)“63”往大估成70的方式，最后當(dāng)發(fā)現(xiàn)個(gè)位的商太小的時(shí)候，并沒有擦去原來(lái)的記錄“8”，而是直接在上面寫了“1”，最后在結(jié)果中加上1。像這樣的記錄方式，雖然看著不是十分規(guī)整干凈，但卻完整地記錄了思維的過(guò)程，也減輕了學(xué)生試商的心算負(fù)擔(dān)。

三、兩點(diǎn)教學(xué)建議

第一，要加強(qiáng)對(duì)除法意義本質(zhì)的理解，溝通心算策略與豎式的關(guān)聯(lián)。我們期望所有學(xué)生最終都能使用有效的筆算方法進(jìn)行計(jì)算。但是，只有循序漸進(jìn)地建立這些方法，并不斷地完善和擴(kuò)展這些心算策略，筆算方法對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)才是有意義的。因此，只有讓學(xué)生理解了除法的意義，并以除法的意義來(lái)促進(jìn)他們對(duì)豎式中每一步過(guò)程的理解，才可能讓學(xué)生真正掌握除法豎式的形式。[12]在有的數(shù)學(xué)教材中，在學(xué)習(xí)除法豎式的時(shí)候先學(xué)習(xí)有余數(shù)除法，再學(xué)習(xí)沒有余數(shù)的除法豎式，[13]因?yàn)橛杏鄶?shù)的除法豎式的每一步能更好地與平分模型的計(jì)算過(guò)程對(duì)應(yīng)起來(lái)。

第二，教學(xué)豎式時(shí)，應(yīng)注重靈活性和規(guī)范性，以期達(dá)到學(xué)生自主創(chuàng)造的計(jì)算方法和標(biāo)準(zhǔn)算法的平衡。豎式的作用是記錄計(jì)算的思考過(guò)程，減輕心算帶來(lái)的認(rèn)知負(fù)擔(dān)。如果對(duì)豎式的要求在格式上過(guò)于嚴(yán)格，可能會(huì)造成學(xué)生在列豎式進(jìn)行計(jì)算時(shí)仍然有比較沉重的心算負(fù)擔(dān)。比如學(xué)生在學(xué)習(xí)筆算乘法時(shí)，在學(xué)了格子乘法的方法以后，[14]遇到比較復(fù)雜的三位數(shù)乘兩位數(shù)（如379×78），不少學(xué)生喜歡畫格子用格子乘法來(lái)做，而不喜歡用豎式。究其原因，在用豎式計(jì)算379×78時(shí)，要分別心算379×8和379×7，這對(duì)很多學(xué)生而言并不容易。而利用格子乘法，雖然記錄的內(nèi)容增加了，但每一步的計(jì)算都非常簡(jiǎn)單，只要能完成表內(nèi)乘法和20以內(nèi)加減并做好記錄，就能解決。在除法豎式的教學(xué)中，也要思考如何更好地體現(xiàn)除法的計(jì)算過(guò)程，并通過(guò)記錄來(lái)減輕學(xué)生的心算負(fù)擔(dān)，而不是片面強(qiáng)調(diào)格式的統(tǒng)一性和規(guī)范性。

此外，不論使用的計(jì)算策略是心算、筆算還是使用計(jì)算器，其合理性取決于問(wèn)題本身、所運(yùn)用的數(shù)字以及計(jì)算的目的，教師需要培養(yǎng)學(xué)生靈活地選擇合適的計(jì)算策略的技能。[15]