寓數(shù)于形 以形解數(shù)

黃春媚 周日新

【摘要】本文論述數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透，通過羅列一些數(shù)形結(jié)合的課例，證實(shí)數(shù)形結(jié)合思想能夠?yàn)閷W(xué)生構(gòu)建出一個(gè)具體、直觀、形象的學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)概念、建立數(shù)學(xué)模型、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)計(jì)算，為學(xué)生綜合素質(zhì)的提高打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合 數(shù)學(xué)思想

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2019）08A-0135-03

數(shù)學(xué)是一門研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)?shù)量關(guān)系與空間圖形相對(duì)應(yīng)，借助直觀生動(dòng)的“形”來闡述數(shù)量之間的關(guān)系，或者利用“數(shù)”所具有的嚴(yán)謹(jǐn)性和精確性闡明“形”的屬性，將抽象問題具體化，將復(fù)雜問題簡單化。由于小學(xué)階段的學(xué)生理解抽象知識(shí)的能力有限，利用數(shù)形結(jié)合的方式，能夠幫助學(xué)生更好地理解小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，并有效提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。因此，教師應(yīng)有意識(shí)地將數(shù)形結(jié)合思想滲透在日常教學(xué)之中，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維，提高個(gè)人綜合素質(zhì)。

一、以形解數(shù)，利用圖形學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，是有效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)公式的基礎(chǔ)知識(shí)，在教學(xué)中占據(jù)著極為重要的位置。然而數(shù)學(xué)概念對(duì)于小學(xué)生而言較為抽象，為了幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念，教師應(yīng)該充分利用數(shù)形結(jié)合思想，將抽象的數(shù)學(xué)概念具象化、趣味化。

例如，筆者在教學(xué)倍數(shù)這一數(shù)學(xué)概念時(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想，采取直觀圖例的方式，幫助學(xué)生初步建立倍的概念。

教學(xué)目標(biāo)：在完成對(duì)數(shù)的認(rèn)知后，理解一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)幾倍的含義，初步建立倍的概念，并使學(xué)生初步體會(huì)數(shù)學(xué)概念與日常生活之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、表達(dá)能力和實(shí)踐操作能力。

教學(xué)過程：

師：請(qǐng)同學(xué)們用數(shù)學(xué)的眼光來觀察一下，每種花都有幾朵呢？（向?qū)W生展示課件：無規(guī)律擺放紅、黃、藍(lán)三種花朵圖片）

師：如果我們把這三種顏色的花各自歸類排起來，是不是就比較容易數(shù)了呢？（再次展示課件：將紅黃藍(lán)三種花以顏色排列的圖片）

學(xué)生報(bào)告每種顏色花朵的數(shù)量。

師：非常好！大家剛才都是一朵一朵地?cái)?shù)，請(qǐng)問還可以用什么方法數(shù)？（向?qū)W生展示新的課件，如圖1）

生：紅花有2朵，黃花有6朵。

師：回答正確！假如我們說紅花有1個(gè)2朵，那么黃花有幾個(gè)2朵？

生：黃花有3個(gè)2朵。

師：非常正確！此時(shí)如果我們把2朵紅花看成1份，那么黃花就有3份2朵，所以我們說，黃花的朵數(shù)是紅花的3倍。

師：我們接著來看下一幅圖。（展示新課件，如圖2）

師：繼續(xù)把2朵紅花看成1份，請(qǐng)問黃花有幾份2朵？黃花的朵數(shù)是紅花的幾倍？

生：黃花有5份2朵，黃花的朵數(shù)是紅花的5倍。

筆者肯定了學(xué)生的答案后，再次展示新課件。（如圖3）

師：如果紅花的數(shù)量變成了3朵，現(xiàn)在黃花的朵數(shù)是9朵，請(qǐng)問黃花的朵數(shù)是紅花的幾倍？

經(jīng)過之前兩次練習(xí)，學(xué)生已經(jīng)初步理解了倍數(shù)的概念，很快作出了正確的回答。

生：黃花的朵數(shù)是紅花的3倍！

師：非常正確！請(qǐng)大家思考一下，為什么紅花、黃花的朵數(shù)與圖1不同，但黃花都是紅花的3倍呢？

生：雖然紅花的朵數(shù)不一樣，但如果將3朵紅花看作1份，那么黃花的份數(shù)就是3份，所以還是3倍。

點(diǎn)評(píng)：在理解了倍數(shù)的概念之后，通過相似的題目進(jìn)行比較練習(xí)，并利用圖形輔助學(xué)生觀察思考，幫助學(xué)生鞏固概念，加深理解，能夠達(dá)到舉一反三的作用，而非機(jī)械記憶。

完成上述練習(xí)后，筆者給學(xué)生布置了一道思考題目。（如圖4）

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)想紅花的朵數(shù)，然后回答黃花的朵數(shù)是紅花的幾倍，并且告訴老師，為什么黃花朵數(shù)是12朵，但和紅花對(duì)應(yīng)的倍數(shù)卻不一樣呢？

學(xué)生掌握了倍數(shù)概念，非常順利地回答了這個(gè)問題。

師（小結(jié)）：雖然黃花都是12朵，但由于紅花的朵數(shù)不同，所以倍數(shù)就各有不同。

課堂總結(jié)：利用數(shù)形結(jié)合思想，使用色彩鮮明、形象直觀的圖片來表現(xiàn)抽象概念，激發(fā)學(xué)生的興趣，引導(dǎo)學(xué)生親自動(dòng)手?jǐn)?shù)數(shù)，明確數(shù)量這一概念，再通過取某個(gè)數(shù)量為1個(gè)單位的形式構(gòu)建模型，幫助學(xué)生理解一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)幾倍的含義，建立起倍的概念，并初步培養(yǎng)模型思想。

二、寓數(shù)于形，利用直觀圖形建立數(shù)學(xué)模型

利用寓數(shù)于形的方式，能夠充分發(fā)揮直觀圖形在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的支持作用，幫助學(xué)生通過具體化的圖形、親身體驗(yàn)將具體的數(shù)學(xué)問題抽象構(gòu)建成通用的數(shù)學(xué)模型的過程，為理解掌握數(shù)學(xué)知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該充分利用學(xué)生已經(jīng)具備的日常生活經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)熟悉的學(xué)習(xí)情境，幫助學(xué)生迅速代入其中。

例如，筆者教學(xué)“四舍五入”這一內(nèi)容時(shí)，利用一幅“數(shù)字拜訪”圖（如圖5），以具體的情境幫助學(xué)生理解這一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)。

筆者指著圖5向?qū)W生詢問：11到19這九個(gè)數(shù)字，要去10或者20這兩個(gè)數(shù)字的家，如果選擇最近的路，它們會(huì)去誰家呢？

學(xué)生表示，11一定會(huì)去10的家，因?yàn)樗鼈儍蓚€(gè)數(shù)字之間距離最近。以此類推，12、13、14都距離10更近，應(yīng)該會(huì)去10的家;而16、17、18、19則距離20更近，因此它們會(huì)去20的家。

筆者肯定了學(xué)生的看法，并總結(jié)：去誰的家，就表示近似于誰，我們可以說11的近似值是10，寫作“11≈10”，同樣12、13、14都可以記為約等于10。

學(xué)生此時(shí)提出：15距離10和20兩家的距離是一樣的，應(yīng)該兩個(gè)家都能去。

筆者對(duì)此表示贊許，并告訴學(xué)生：為了避免這種兩難的局面，我們硬性規(guī)定15應(yīng)該去20的家，記為“15≈20”。

隨后，筆者為學(xué)生總結(jié)其中的規(guī)律：凡尾數(shù)是1、2、3、4的數(shù)字，都會(huì)舍掉，而結(jié)尾是5～9的數(shù)字，則向前進(jìn)1，這種方法叫做“四舍五入”，用來求一個(gè)數(shù)的近似值。

有了前面的圖示，學(xué)生順利理解了這一概念。為了鞏固學(xué)生對(duì)四舍五入學(xué)習(xí)內(nèi)容的印象，筆者再次展示一個(gè)圖例。（如圖6）

筆者指著圖中的728向?qū)W生提問：這個(gè)數(shù)字更接近哪個(gè)整數(shù)？

學(xué)生有了之前四舍五入的知識(shí)基礎(chǔ)，推測出兩個(gè)答案：1.由于728的個(gè)位數(shù)是8，大于5，因此距離730更近，應(yīng)該向前進(jìn)1，所以728≈730;2.由于728的十位數(shù)是2，距離700更近，應(yīng)當(dāng)舍去，所以728≈700。

筆者再次詢問：這道題我們獲得了兩個(gè)答案，二者之間是不是有矛盾呢？

學(xué)生經(jīng)過思考后認(rèn)為，二者并不矛盾，因?yàn)?28≈730是四舍五入到十位，而728≈700是四舍五入到百位。

在這一課例中，筆者利用“最近的路”這種具體圖形，營造了一個(gè)形象的教學(xué)情境，自然而然地生成“四舍五入”的使用原理，幫助學(xué)生構(gòu)建起一個(gè)觸類旁通的數(shù)學(xué)模式，使其能通過對(duì)一個(gè)數(shù)的判斷推理出不同精確度的近似值?？梢?，寓數(shù)于形，可以解決某些教學(xué)難點(diǎn)。

三、數(shù)形結(jié)合，利用解題思路學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)計(jì)算

數(shù)學(xué)計(jì)算始終貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)章節(jié)，學(xué)生需要反復(fù)進(jìn)行數(shù)學(xué)題目的解答練習(xí)，從中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)方法，因此，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力是重要的教學(xué)目標(biāo)之一。利用數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)⒊橄蟮乃闶骄呦蠡?，使解題思考過程具有可視性，幫助學(xué)生尋找解題思路，靈活選擇計(jì)算原理，從而更好地完成數(shù)學(xué)計(jì)算。

（一）利用直觀圖形尋找解題思路

利用圖形直觀性這一特點(diǎn)，能夠幫助學(xué)生有效地尋找解題的切入點(diǎn)，激發(fā)解題思路。例如，筆者曾經(jīng)給出一道計(jì)算題目：3點(diǎn)15分時(shí)，分針和時(shí)針之間呈多少度角？

在這道題目中，先運(yùn)用以形解數(shù)的方式，展示一個(gè)時(shí)鐘示意圖（如圖7），將題目與其特征對(duì)應(yīng)起來。通過觀察鐘表可知，表盤作為一個(gè)正圓，它的一周為360°，而分針60分鐘走完一圈，因此分針1分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)6°。3點(diǎn)15分時(shí)，分針的角度與12點(diǎn)的角度是15×6°=90°，正好指向表盤3的位置。再通過觀察發(fā)現(xiàn)，此時(shí)的時(shí)針位于3和4之間，因此，只需要計(jì)算出時(shí)針此時(shí)相對(duì)于3的位置發(fā)生了多大角度的轉(zhuǎn)動(dòng)即可，至此，解題思路已經(jīng)明確：計(jì)算從時(shí)針指向3，即3點(diǎn)整到3點(diǎn)15分，時(shí)針轉(zhuǎn)過了多少角度。我們知道，表盤被劃分為12個(gè)小時(shí)，所以時(shí)針每小時(shí)走30°，因此每分鐘時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)30°/60=0.5°，那么從3點(diǎn)整至3點(diǎn)15分鐘時(shí)這15分鐘里，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了0.5°×15=7.5°，完整的算式就是：

15×30°/60=7.5°

最終答案是：當(dāng)3點(diǎn)15分時(shí)，分針和時(shí)針之間呈7.5度角。

在上述課例中，通過引入時(shí)鐘這一直觀形象，有效地化解了原本題目抽象這一難點(diǎn)。同時(shí)，時(shí)鐘是學(xué)生在日常生活中常見的物品，因此在這樣的教學(xué)情境中，學(xué)生能夠非常輕松地獲得直觀體驗(yàn)和進(jìn)行模型識(shí)別，在明確解題思路之后進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算，便能迅速算出準(zhǔn)確答案。

（二）通過圖形分析數(shù)據(jù)

對(duì)于一些比較抽象的題目，小學(xué)生在解題時(shí)往往連解題所必須的數(shù)據(jù)都無從獲取，因此很難找到解題突破點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合思想利用圖形的直觀性，將抽象數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為具體形象呈現(xiàn)給學(xué)生，幫助學(xué)生快速從中提取解題所需的數(shù)據(jù)信息。

例如，一條全長100cm的線段，從左向右每6cm標(biāo)記一個(gè)點(diǎn)，同時(shí)從右向左每隔5cm標(biāo)記一個(gè)點(diǎn)，然后從標(biāo)記點(diǎn)處截取線段，請(qǐng)問能夠獲得多少段4cm的線段？

在這一題目中，如果采用代數(shù)方法解決，因?yàn)檩^為抽象，學(xué)生往往無從下手，此時(shí)利用圖形的形式，將[5，6]=30最小公倍數(shù)的線段圖形繪制出來，題目便能一目了然，問題也被簡化了。（如圖8）

學(xué)生通過觀察這一圖形發(fā)現(xiàn)，從左向右和從右向左截取的點(diǎn)在30cm的位置發(fā)生了重合，其中包含了2個(gè)4cm的線段，100cm的線段中包含3個(gè)30cm，剩余的10cm中只可能截取1個(gè)4cm。通過這些數(shù)據(jù)，學(xué)生可以非常順利地得出答案：共計(jì)7段。完整算式如下：

2×[（100-10）÷30]+1=7

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透寓數(shù)于形、以形解數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，能夠?yàn)閷W(xué)生構(gòu)建一個(gè)具體、直觀、形象的學(xué)習(xí)情境，有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主體的作用，幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提高自身綜合素養(yǎng)。

作者簡介：

黃春媚（1978— ），女，壯族，廣西南寧人，一級(jí)教師，大學(xué)本科學(xué)歷，研究方向：數(shù)學(xué)教育教學(xué)。

周日新（1978— ），男，壯族，廣西南寧人，一級(jí)教師，大學(xué)本科學(xué)歷，研究方向：數(shù)學(xué)教育教學(xué)。

（責(zé)編 黃健清）