融于核心素養(yǎng)，科學(xué)備戰(zhàn)中考
——以“二元一次方程”為例

☉江蘇省儀征市實驗中學(xué) 余葉軍

在中考前，學(xué)校要求在近一周的時間內(nèi)，每位初三一線的教師上一節(jié)高標準、高質(zhì)量的專題研討課，以作為中考臨陣前的一次有力沖鋒.備課組教師精心分工，緊密合作，將備考專題進行了分解，筆者所講授的是一節(jié)關(guān)于“二元一次方程”專題內(nèi)容的研討課.在任務(wù)下達之后，筆者認真分析了2018年江蘇省各地中考試題，同時翻閱了省外其他地區(qū)的試卷，從中尋覓挖掘出一些解題策略，在課堂上采用學(xué)生自主探究的方法將這部分知識進行了認知消化、歸納總結(jié).

一、典例引領(lǐng)，讓學(xué)生在思考中潛移默化

中考數(shù)學(xué)備考的風向標是什么樣的？這是值得每位初三一線教師深思的問題.教師在備考中引導(dǎo)的不僅僅是知識與能力，更應(yīng)該是一種學(xué)科核心素養(yǎng)，一種將知識與能力融為一體的學(xué)科體系，能逐步形成學(xué)生綜合運用知識的能力，內(nèi)化為學(xué)生情感、態(tài)度、價值觀及數(shù)學(xué)思想等方面的均衡成長.基于此，筆者的課堂設(shè)計是這樣的：

1.情境導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生探究興趣

首先用電子白板給出一道2019年南京市的中考試題：設(shè)x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個根，且x1+x2=-1，則x1=_____，x2=_____.

讓學(xué)生從一元二次方程的基礎(chǔ)思考，教師在課堂上巡視，留心學(xué)生得出的結(jié)果，將不同的方法進行展示.預(yù)設(shè)結(jié)果是：

（1）因為x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個根，所以可以得到：

這就成了解含有二次方的方程組，難度較大.

（2）因為x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個根，所以可以寫出（x-x1）（x-x2）=x2-mx-6=0.

即x2-（x1+x2）x+x1x2=x2-mx-6=0.

看出m=x1+x2=-1，x1x2=-6，再進行求解.

（3）學(xué)生可以直接利用韋達定理，根據(jù)“兩根之和為一次項系數(shù)的相反數(shù)，兩根之積為常數(shù)項”得出再求解.

創(chuàng)設(shè)目的：從基礎(chǔ)抓起，讓學(xué)生再次認識一元二次方程的求解過程.通過（2）和（3）兩種方法的展示，學(xué)生會再次通過一元二次方程的基礎(chǔ)知識理解韋達定理，韋達定理其實就是利用一元二次方程的兩根推斷的，讓學(xué)生再次對一元二次方程進行建模，形成數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

2.趁熱打鐵，構(gòu)建學(xué)生知識體系

俗話說“百煉成鋼”，中考備考的目的在于讓學(xué)生能夠在最短時間內(nèi)完成答題，練習是最有效的抓手.在課堂上，選用2018年內(nèi)江市中考試題.

（電子白板展示）已知關(guān)于x的方程ax2+bx+1=0的兩根為x1=1，x2=2，則方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的兩根之和為______.

讓學(xué)生在前面掌握了一元二次方程的基礎(chǔ)上思考，得出結(jié)果，將不同的方法展示出來.預(yù)設(shè)結(jié)果是：

（1）設(shè)方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的兩根分別是x3、x4.

根據(jù)韋達定理，可以得出：

則a=0.5，b=-1.5.

代入a（x+1）2+b（x+1）+1=0，化簡得到x2-x=0.

得出x3=0，x4=1，即x3+x4=1.

（2）與（1）的前半部分方法相同，得出x2-x=0后，再次用韋達定理得出x3+x4=1.

（3）采用參數(shù)方法.

設(shè)方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的兩根分別是x3、x4.

令x+1=m，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0化為am2+bm+1=0.

由方程ax2+bx+1=0的兩根為x1=1，x2=2，可知m1=1，m2=2.

得出m1+m2=3，即（x3+1）+（x4+1）=3，故x3+x4=1.

創(chuàng)設(shè)目的：獨立思考是中考重點考核的素養(yǎng)，學(xué)生在回歸舊知的基礎(chǔ)上進行思考與拓展，在思考中讓學(xué)科知識系統(tǒng)化，讓應(yīng)用能力最佳化，從而達到舉一反三的目的.學(xué)生學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)模型是課堂教學(xué)的根本宗旨，也是初中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一，因此，通過課堂練習可以有效鞏固知識、拓展能力，形成學(xué)科素養(yǎng).

二、小組交流，讓學(xué)生在融合中啟迪智慧

當代的課堂應(yīng)該是知識、生活和生命的融合和演繹，為了不忽視和不逃避課堂現(xiàn)場的問題和意外，既要針對學(xué)生的學(xué)啟發(fā)他們?nèi)ズ献?，讓學(xué)生的思維和學(xué)習在交流中引向更深、更高的境地，同時要激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習的積極性.在不同的智慧融合中啟迪心智，在不同思維的碰撞中迸發(fā)潛能.

教師就是取之不盡用之不竭的知識寶庫，作為中考備考，必須做出針對性的訓(xùn)練，為了讓學(xué)生站得高看得遠，筆者是這樣設(shè)計該課堂環(huán)節(jié)的：

討論：在一元二次方程x2-2ax+b=0中，若a2-b＞0，則稱a是該方程的中點值.

（1）討論方程x2-8x+3=0的中點值是多少.（自主完成）

（2）當a2-b＞0時，x1、x2為方程的兩個根，求證：x2-a=a-x1.（交流完成）

（3）已知x2-mx+n=0的中點值是3，其中一個根是2，求mn的值.（交流完成）

預(yù)設(shè)課堂結(jié)果：

（1）直接根據(jù)方程的中點值定義得出2a=8，求出a=4.

（2）討論題干給定的條件a2-b＞0說明了什么，沒有這個條件會出現(xiàn)什么結(jié)論.［當判別式Δ=4（a2-b）＞0時，該一元二次方程才有兩個實數(shù)根，其根x1、x2在實數(shù)范圍內(nèi)才可以運算］

討論一元二次方程的兩個根與該方程的中點值有什么關(guān)系.（可以根據(jù)韋達定理來解決）

最終學(xué)生通過討論，得出一元二次方程在判別式Δ＞0時有兩個實數(shù)根，這兩個根滿足韋達定理.于是可以推斷x1+x2=2a，完成（2）的證明.

（3）方程x2-mx+n=0的中點值是什么？怎樣建立中點值與m的關(guān)系？（中點值的定義是二次方程的一次項系數(shù)的相反數(shù)的一半，故=3，則m=6）

知道了m的值和一個根，用什么方法可以求出n？（代入法，將m和方程的根代入方程，得4-12+n=0，則n=8，可以計算出mn=48）

創(chuàng)設(shè)目的：備考時進行小組討論是訓(xùn)練思維的常用方式.在給出題目之后，給予學(xué)生獨立思考的時間來完成（1）.然后進入小組討論環(huán)節(jié)，教師不斷觀察、引導(dǎo)學(xué)生對問題進行建模，從而調(diào)控各小組的活動，步步為營，讓不同的智慧融合來啟迪心智，在不同思維的碰撞中迸發(fā)挑戰(zhàn)的潛能.

三、針對訓(xùn)練，讓學(xué)生在錘煉中茁壯成長

在現(xiàn)代初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，備考復(fù)習時必須依據(jù)教材內(nèi)容對數(shù)學(xué)理論及數(shù)學(xué)證明進行融合，給學(xué)生以數(shù)學(xué)邏輯性與思維性，切忌忽略復(fù)習重要概念及公式的數(shù)學(xué)原型，備考時間緊，任務(wù)重，雖然無需將每個數(shù)學(xué)概念和定理都弄清楚來龍去脈，但應(yīng)注重主次分明，突出重點和難點.就像課堂交流環(huán)境一樣，對于課堂上已經(jīng)建構(gòu)過的知識，必須讓學(xué)生做到將適當?shù)膶嶋H問題進行簡化，尋求變量間的相互關(guān)系，得出相應(yīng)的方程.因此，課堂教學(xué)中融入的數(shù)學(xué)建模思想必須及時鞏固，有針對性地訓(xùn)練.一般給出6道左右的訓(xùn)練題，讓學(xué)生在錘煉中茁壯成長.題型最好是開放性的，如：

案例：閱讀材料：

方法1：若x+3是x2+mx-3的一個因式，我們不難得到x2+mx-3=（x+3）（x-1），易得m=2.

方法2：觀察上面的等式，可以發(fā)現(xiàn)當x=-3時，x2+mx-3=（x+3）（x-1）=0，即x=-1是方程x2+mx-3=0的一個根，

將x=-3代入方程x2+mx-3=0，求得m=2.

應(yīng)用：（1）若x-4是x2-mx-12的一個因式，應(yīng)用方法1求m的值；

（2）若x+2是2x3+x2+mx-12的一個因式，應(yīng)用方法2求m的值.

解題過程和另外幾題就不再贅述了.

創(chuàng)設(shè)目的：讓學(xué)生將因式分解與方程求解融為一體，成為數(shù)學(xué)的建模.當知識發(fā)生關(guān)聯(lián)時，弄清概念的本質(zhì)最有效的方法就是建模，試題本身就給出了數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生有了更高的要求，因此，設(shè)置這類題型具有挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造力，讓學(xué)生在解題過程中學(xué)會建模是形成學(xué)科素養(yǎng)的重要途徑.

總之，為了科學(xué)備考，為了在中考中旗開得勝，學(xué)校的出發(fā)點是以生為本，讓每一名學(xué)生都成才.備課組的細致安排更是錦上添花，每一位教師都上一節(jié)高標準、高質(zhì)量的專題研討課，專題可以共享，備考更加精準，課堂更加高效.我相信，只要課堂上做到情境導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生探究興趣；小組交流，讓學(xué)生在融合中啟迪智慧；針對訓(xùn)練，讓學(xué)生在錘煉中茁壯成長，就一定能夠培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)能力，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，從而在中考的戰(zhàn)場上盡情馳騁.