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    歐拉不等式的一個加強的改進

    2019-10-22 10:13:28張青山
    數(shù)學通報 2019年9期
    關(guān)鍵詞:內(nèi)切圓外接圓歐拉

    張青山

    (四川職業(yè)技術(shù)學院應用數(shù)學與經(jīng)濟系 629000)

    文[1]將歐拉不等式加強為:

    定理1在三角形ABC中,外接圓半徑R,內(nèi)切圓半徑r,則(∑表示循環(huán)和)

    (1)

    文[2]將定理1改進為:

    定理2在三角形ABC中,外接圓半徑R,內(nèi)切圓半徑r,則

    (2)

    我們發(fā)現(xiàn)不等式

    成立,這是由于

    故設想將不等式(2)改進為

    定理3在三角形ABC中,外接圓半徑R,內(nèi)切圓半徑r,則

    (3)

    那么

    記三角形ABC的內(nèi)心為I,

    令AB=AC,BC→0,

    注1

    2(R+r)≥IA+IB+IC.

    (4)

    同理有

    那么就得出不等式(4)的一個等價結(jié)論:

    (5)

    注2運用上面證明中的基本數(shù)學事實,可以簡捷地證明一些不等式,如:

    定理4在三角形ABC中,恒有(∏表示循環(huán)積)

    (6)

    (7)

    我們僅證明(6)式,將(7)式的證明留給讀者.

    等價于

    由(6)式可知

    就可以得到歐拉不等式的又一個加強:

    (8)

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