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    數(shù)學(xué)問(wèn)題解答

    2019-10-22 10:13:38
    數(shù)學(xué)通報(bào) 2019年9期
    關(guān)鍵詞:平分三邊垂線

    2019年8月號(hào)問(wèn)題解答

    (解答由問(wèn)題提供人給出)

    (浙江省富陽(yáng)二中 許康華 311400)

    證明將n表示成p進(jìn)制形式,即令

    n=nkpk+nk-1pk-1+…+n1p+n0,(0≤ni

    (1)

    同樣,可令

    n=mlql+ml-1ql-1+…+m1q+m0,(0≤mi

    (2)

    若存在滿(mǎn)足題意的常數(shù)a,則由(1),(2)得

    (3)

    所以有

    (4)

    因?yàn)閚≥pk,n≥ql,所以k≤logpn,l≤logqn,

    ≤a(p-1)q(l+1)+(q-1)p(k+1)

    ≤a(p-1)q(logqn+1)+(q-1)p(logpn+1).

    若(p-1)a-(q-1)≠0,

    則任取0<ε<|(p-1)a-(q-1)|,

    存在一個(gè)正整數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí),必有

    這與(4)式矛盾.

    所以,此時(shí)使得(4)式成立的正整數(shù)n只有有限多個(gè),與題意不符.

    綜上知,如果存在正常數(shù)a符合題意,

    即n的p進(jìn)制表示與它的q進(jìn)制表示的數(shù)碼和相等.

    2497已知:如圖,在線段AB中垂線上取兩點(diǎn)C、D(不是AB中點(diǎn)).直線AD與BC相交于點(diǎn)E,直線BD與AC相交于點(diǎn)F.過(guò)A作AE的垂線,過(guò)B作BC的垂線,這兩條垂線相交于點(diǎn)X.求證:∠CXF=∠DXE.

    (重慶市長(zhǎng)壽龍溪中學(xué) 吳 波 401249)

    證明因?yàn)椤蟈AE=∠XBE=90°,

    所以X、A、E、B四點(diǎn)共圓.

    設(shè)所共之圓為⊙O,圓心O在斜邊XE上.

    又CD垂直平分⊙O的弦AB,

    所以圓心O也在CD上,

    因此直線CD與XE的交點(diǎn)即是圓心O.

    如圖,由此可作出⊙O.

    由對(duì)稱(chēng)性,點(diǎn)F也在⊙O上.

    作X關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)X',

    連接X(jué)X'、BX'、DX'.

    由對(duì)稱(chēng)性知 ∠X'BD=∠XAD=90°.

    而∠XBE=90°,所以∠XBX'=∠CBD.

    因AB⊥CD,XB⊥BC,則∠XBA=∠BCD.

    而由對(duì)稱(chēng)性知XX'⊥CD,

    因此XX'//AB.則∠XBA=∠BXX',

    所以∠BXX'=∠BCD,

    又∠X'BD=∠XAD=90°,

    所以△BDX'∽△BCX,有∠BXC=∠BX'D.

    又由對(duì)稱(chēng)性知 ∠BX'D=∠AXD,

    所以∠AXD=∠BXC,

    所以∠AXC=∠BXD.

    又易知EF//AB,所以AF=BE,

    有∠AXF=∠BXE,

    由此即得 ∠CXF=∠DXE.

    2498設(shè)△ABC三邊長(zhǎng),三個(gè)旁切圓半徑分別為a,b,c,ra,rb,rc,則有

    (天津水運(yùn)高級(jí)技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

    由旁切圓半徑公式及正弦定理,可得

    那么就有

    從而就有

    以上證明用到了熟知的公式

    2499如圖,O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),AO平分∠BAC.過(guò)點(diǎn)A的直線MN∥BC,射線BO分別交AC,MN于點(diǎn)P,M,射線CO分別交AB,MN于點(diǎn)Q,N.求證:AB=AC的充要條件是PM=QN.

    (江蘇省興化市第一中學(xué) 張 俊 225700)

    證明(必要性)

    因?yàn)锳B=AC,AO平分∠BAC,

    所以∠ABC=∠ACB,△ABO≌△ACO,

    所以BO=CO,∠ABO=∠ACO,

    又∠BOQ=∠COP,

    所以△BOQ≌△COP,所以O(shè)P=OQ.

    又由MN∥BC,BO=CO,

    知∠M=∠OBC=∠OCB=∠N,

    所以O(shè)M=ON.

    故PM=OM-OP=ON-OQ=QN.

    (充分性)

    如果AB≠AC,不妨假設(shè)AB

    在AC上取點(diǎn)D使AD=AB,

    聯(lián)結(jié)DO,延長(zhǎng)AO交BC于F.

    因?yàn)锳O平分∠BAC,所以△ABO≌△ADO.

    所以∠ODC>∠AOD=∠AOB>∠AFB>∠ACB>∠ACO,

    所以CO>OD=BO,所以∠OBC>∠OCB,

    又MN∥BC,

    所以∠M=∠OBC>∠OCB=∠N

    所以O(shè)N>OM,

    所以CN=CO+ON>BO+OM=BM.

    因?yàn)镻M=QN,

    所以BM-PM

    因?yàn)椤螦BO=∠ADO>∠ACO,

    故可在線段OQ上找點(diǎn)E使∠EBO=∠ACO,

    所以E,B,C,P四點(diǎn)共圓,

    所以∠BEC=∠BPC.

    所以∠EBC=∠EBO+∠OBC

    >∠ACO+∠OCB=∠PCB,

    因?yàn)镋C,BP分別為圓周角∠EBC,∠PCB所對(duì)的弦,

    所以EC>BP,又CQ>EC,

    所以CQ>BP. (2)

    (1)與(2)矛盾說(shuō)明假設(shè)不成立,故AB=AC.

    2500設(shè)n是正整數(shù),且n≥3,證明:對(duì)正實(shí)數(shù)x1≤x2≤…≤xn,有不等式

    ≥x1+x2+…+xn.

    (上海市七寶中學(xué) 李佳偉 201101)

    事實(shí)上,由ax≤x≤y得到(1-a)(y-ax)≥0,

    即a2x+y≥ax+ay,

    代入得

    上式對(duì)i=1,2,…,n-2求和,即得到

    x1+x2+…+xn-2+

    由①+②即得到原不等式成立.

    2019年9月號(hào)問(wèn)題

    (來(lái)稿請(qǐng)注明出處——編者)

    2501設(shè)△ABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,三角形的面積△,求證:

    (1)

    當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)式中等號(hào)成立.

    (河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467000)

    2502設(shè)AM為銳角三角形ABC的外接圓直徑,N為邊BC的中點(diǎn),P為∠BAC的平分線AP與直線MN的交點(diǎn),E,F(xiàn)分別為點(diǎn)P在兩邊AB和AC上的射影,證明:直線MN與EF的交點(diǎn)H是△ABC的垂心.

    (河南輝縣一中 賀基軍 453600)

    2503△ABC中,a,b,c分別表示三角形三邊長(zhǎng),I為△ABC的內(nèi)心,則

    (浙江省永康市第六中學(xué) 呂永軍 321300)

    2504已知a,b,c>0,abc=1,求證:

    (河南省南陽(yáng)師范學(xué)院軟件學(xué)院 李居之 孫文雪 473061)

    2505如圖,△ABC中,D,E,F分別是邊BC,CA,AB上的點(diǎn),且BD=mBC,CE=mCA,AF=mAB,0

    求證:△ABC與△PQR的重心重合.

    (湖北省公安縣第一中學(xué) 楊先義 434300)

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